Momento factorial

[FMCh]

Buen día, necesito demostrar que:
Sea X una variable aleatoria cuyos momentos factoriales existen, entonces:

[texx] M_{r}^{'} (X) = \displaystyle\sum_{k=0}^r S_{(r)}^{(k)} M_{[k]}(X)[/texx]

Donde [texx] S_{(r)}^{(k)} [/texx] son los números de stirling de segundo tipo. Que se denotan como:
[texx] S_{(r)}^{(k)} = \frac{1}{k!}\displaystyle\sum_{j=0}^k \displaystyle{k \choose j} (-1)^{(k-j)} j^r [/texx]

Agradezco sus colaboraciones.

[el_manco]

Hola

Buen día, necesito demostrar que:
Sea X una variable aleatoria cuyos momentos factoriales existen, entonces:

[texx] M_{r}^{'} (X) = \displaystyle\sum_{k=0}^r S_{(r)}^{(k)} M_{[k]}(X)[/texx]

Donde [texx] S_{(r)}^{(k)} [/texx] son los números de stirling de segundo tipo. Que se denotan como:
[texx] S_{(r)}^{(k)} = \frac{1}{k!}\displaystyle\sum_{j=0}^k \displaystyle{k \choose j} (-1)^{(k-j)} j^r [/texx]

Agradezco sus colaboraciones.

Simplmente tienes que aplicar el operador esperanza a la conocida fórmula:

[texx]x^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}S_{(n)}^{(k)}(x)_k[/texx]

donde [texx](x)_k=x(x-1)\ldots (x-k+1)[/texx].

La tienes probada en la página 4 de estas notas:

http://www.mathcs.emory.edu/~rg/Stirling.pdf

Saludos.

[FMCh]

Gracias.

Sin embargo, ¿Cómo se puedo constatar que: [texx] M_{[k]}(X)= x_k ?[/texx]

[el_manco]

Hola

Sin embargo, ¿Cómo se puedo constatar que: [texx] M_{[k]}(X)= x_k ?
[/texx]

Es que no es eso exactamente. Por definición

[texx] M_{[k]}(X)= E[(X)_k][/texx]

Si todavía no lo ves dime como te han definido  [texx]M_{[k]}(X)[/texx]

Saludos.

[FMCh]

Si, aplicando el valor esperado.

Me definieron  [texx] M_{[k]} (X) = E (\frac{X!}{(X-k)!}) = \displaystyle\sum_{r=k}^{\infty} \frac{r!}{(r-k)!}P(X=r) [/texx]

Saludos.

[el_manco]

Hola

Si, aplicando el valor esperado.

Me definieron  [texx] M_{[k]} (X) = E (\frac{X!}{(X-k)!}) = \displaystyle\sum_{r=k}^{\infty} \frac{r!}{(r-k)!}P(X=r) [/texx]

Bien. Es que:

[texx]\dfrac{X!}{(X-k)!}=X(X-1)\ldots (X-k+1)=(X)_r[/texx]

¿Entonces ahora entiendes la prueba?¿Sabes hacerlo?.

Saludos.

[FMCh]

Gracias.

Sin embargo, ¿Me podría ampliar la información de que:[texx] \frac{X!}{(X-k)!}=X(X−1)…(X−k+1)=(X)r [/texx] ? ¿Existe alguna demostración para esa afirmación?

Saludos.

[el_manco]

Hola

Sin embargo, ¿Me podría ampliar la información de que:[texx] \dfrac{X!}{(X-k)!}=X(X−1)…(X−k+1)=(X)r [/texx] ? ¿Existe alguna demostración para esa afirmación? 

Si X es entero sabes que:

[texx]X!=X(x-1)(x-2)\ldots 2\cdot 1[/texx]
[texx](X-k)!=(x-k)(x-k-1)\ldots 2\dot 1
[/texx]
y por tanto al dividir uno por otro del numerador se eliminan todos los términos a partir de [texx](X-k)[/texx] quedando los anteriroes:

[texx]X(X−1)…(X−k+1)[/texx]

Si [texx]X[/texx] no es entero en realidad la expresión [texx]X![/texx] no tiene un significado claro (hay alguna generalización usando la función gamma) y yo creo que en realidad están usando el cociente [texx]\dfrac{X!}{(X-k)!}[/texx] como notación para [texx]X(X−1)…(X−k+1)[/texx], sabiendo que en el caso entero coinciden.

En otro caso dime que interpretas por ejemplo por [texx](7/5)![/texx].

Saludos.

[FMCh]

Le agradezco su colaboración. Queda más claro el objetivo de mi pregunta.

Contestando a su comentario. Por definición de número factorial, eso no se tendría, puesto que [texx] (7/5)! [/texx] no es un número entero, entonces no se cumple para un número de ese tipo.

Saludos.

[el_manco]

Hola

Contestando a su comentario. Por definición de número factorial, eso no se tendría, puesto que [texx] (7/5)! [/texx] no es un número entero, entonces no se cumple para un número de ese tipo.

¡Claro!. Pero tu necesitas manejar el momento factorial para cualqueir variable aleatoria que podría tomar valores no enteros. Por eso te digo que creo que te están usando [texx]\dfrac{X!}{(X-k)!}[/texx] como simple notación para referirse a:
[texx]
X(X-1)\ldots (X-k+1)=(X)_r[/texx]

Saludos.