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Autor Tema: Altura y mediana  (Leído 230 veces)
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Michel
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« : 19/03/2017, 01:45:24 pm »

El cuadrilétero ABCD, inscrito en una circunferencia, tiene sus diagonales AC y BD perpendiculares.
Demostrar que la altura correspondiente a la hipotenusa de cada triángulo rectángulo (hay cuatro) es una mediana del triángulo rectángulo opuesto por el vértice.
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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 29/03/2017, 07:53:31 pm »

Sea [texx]E[/texx] el punto en que se cortan las diagonales. La perpendicular al lado [texx]CD\textrm{ por }E,\textrm{ con pie en }G,\textrm{ corta al lado }AB\textrm{ en un punto }F[/texx]. Veamos que es precisamente el punto medio del lado [texx]AB[/texx].




Por ser inscritos que abarcan el mismo arco, se tiene que [texx]\angle FBE = \angle ABD = \angle ACD[/texx]

Por ser ambos complementarios del [texx]\angle EDC, \angle ACD = \angle DEG[/texx]

Por ser opuestos por el vértice, [texx]\angle DEG = \angle FEB[/texx]

Por tanto, [texx]\angle FBE = \angle FEB \Rightarrow{}\triangle EFB\; isósceles \Rightarrow{} \overline{EF} = \overline{FB}[/texx]

De la misma forma se ve que [texx]\overline{EF} = \overline{AF}\textrm{ y por tanto }F\textrm{ es el punto medio de }\overline{AB}[/texx]

Para las otras tres líneas se demuestra de idéntica forma.

Las rectas perpendiculares a un lado de un cuadrilátero y que pasan por el punto medio del opuesto se llaman maltitudes. En cualquier cuadrilátero inscrito, las cuatro maltitudes concurren en el Anticentro del cuadrilátero, que es el simétrico del Circuncentro en el Baricentro: Maltitudes y anticentro de un cuadrilátero cíclico. Si además el cuadrilátero es ortodiagonal, como se ha visto, el anticentro coincide con el punto en que se cortan las diagonales.

Saludos,




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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
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