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Autor Tema: Espacio Contráctil  (Leído 101 veces)
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« : 19/03/2017, 08:38:39 am »

Si definimos $$A_k = \{ (x,kx) : \ x \in \mathbb{R} \}$$ y consideramos la unión: $$X = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} A_k,$$ entonces la unión es contráctil.
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« Respuesta #1 : 19/03/2017, 09:00:18 am »

Hola

Si definimos $$A_k = \{ (x,kx) : \ x \in \mathbb{R} \}$$ y consideramos la unión: $$X = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} A_k,$$ entonces la unión es contráctil.

Usa que [texx]\mathbb{R}[/texx] es contractil (lo puedes contraer al cero por ejemplo) con una homotopía:

[texx]h: \mathbb{R}\times [0,1]\longrightarrow{}\mathbb{R}[/texx]

con [texx]h(\cdot,0)=id[/texx] y [texx]h(\cdot,1)=cte_0[/texx].

Entonces puedes definir la contracción:

[texx]H: X\times [0,1]\longrightarrow{} X[/texx]

[texx]H((x,kx),t)=(h(x,t),kh(x,t))[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 19/03/2017, 12:22:09 pm »

Hola, muchas gracias. Por mi parte lo intente teniendo en cuenta que al ser la unión un conjunto estrellado y por otro lado viendo que todo estrellado es contractil, ya lo  tenemos.  Lo que primero es probar que la unión es un conjunto estrellado y luego demostré que cualquier estrellado es contráctil y para ello fijamos un punto (que en nuestro caso particular es el origen) y después definimos la homotopía siguiente:
$$H:X\sim [0,1] \longrightarrow{X}, \ \ \ \text{donde}\ H(s,t) = (1-t)(0,0)+ts$$
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