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Autor Tema: Métrica Definida en R.  (Leído 300 veces)
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« : 18/03/2017, 02:56:44 pm »

Hola buenas tardes, tengo una duda respecto a una métrica definida por:

[texx]
\begin{equation}
d(p,q) = \left\lbrace
\begin{array}{ll}
|p| + |q|\ ,\ p\neq{}q\\
0\ ,\           p=q
\end{array}
\right.
\end{equation}
[/texx]


He comprobado que se trata una métrica [texx]d:\mathbb{R}x\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx], y la pregunta es, ¿cómo son sus bolas abiertas\cerradas?

En general una bola [texx]x \in{}B(p;r)_{r>0}[/texx] [texx]\Longrightarrow{}[/texx]  [texx]|p| + |x| < r[/texx] es decir [texx]|x| < r - |p|[/texx] ,  pero esto sólo tendría sentido si [texx]r > |p|[/texx] (1) , ¿no?.

¿Qué abiertos|cerrados podría encontrar yo en esta métrica de forma que no sean bolas? Se refiere a que cuándo no se cumple (1) ¿las bolas son conjuntos unipuntuales?

Gracias de antemano :sonrisa:

Saludos.


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« Respuesta #1 : 18/03/2017, 06:50:54 pm »

Hola latex.

 Sí, tienes razón, es como dices. Para todo [texx]p\neq 0[/texx] tenemos que las bolas [texx]B(p,r)=\{p\}[/texx] para todo [texx]r\leq p.[/texx] Nota que esto hace que todo conjunto que no contenga al origen sea un conjunto abierto. Por otro lado, cuando [texx]p=0[/texx] tenemos que [texx]B(0,r)=(-r,r).[/texx]

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 18/03/2017, 07:21:29 pm »

¡Entendido!

Saludos :sonrisa:
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