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Autor Tema: Cardinal de un conjunto y ortogonalidad  (Leído 141 veces)
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merumeru
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« : 19/03/2017, 01:17:36 am »

Hola, estudiando los apuntes de la clase me he topado con una afirmación que no logro entender el por qué.
Luego que definimos un conjunto ortogonal (el cual es el conjunto en el que el producto escalar da cero entre cada elemento del mismo) mi profesor escribió una observación:

Sea A un conjunto ortogonal. Entonces:

[texx]Si \ A \subset R^N \ ortogonal \ \implies \ card(A) \leq N+1[/texx]

No logro darme cuenta por qué menor que N+1 y no menor que N.
Pensé el siguiente ejemplo:
un conjunto A, incluido en [texx]R^1[/texx] formado por un vector cualquiera y el vector nulo, o sea

[texx]A=\{0, v\} / \ v∈R^1[/texx]

Este conjunto satisface ser ortogonal, pues el producto escalar (también llamado producto interno usual) : [texx]<0,v>=0[/texx]

En este caso #A = 2 (no estoy seguro de esto, ¿el vector nulo se cuenta en el cardinal?) y dim(R)=n=1.
Si este ejemplo es correcto entonces creo que respondería bien a mi duda.

Pero quizá el ejemplo sea erróneo o quizá exista una explicación más sencilla que este ejemplo que propuse.

Perdón si la pregunta es un poco básica, pero no estoy viendo la respuesta, necesitaría un empujón  :risa:.

¡Muchas gracias!
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 19/03/2017, 07:01:23 am »

Sea A un conjunto ortogonal. Entonces:
[texx]Si \ A \subset R^N \ ortogonal \ \implies \ card(A) \leq N+1[/texx]
No logro darme cuenta por qué menor que N+1 y no menor que N.

El ejemplo que has puesto se puede generalizar así: todo subconjunto [texx]A[/texx] de [texx]\mathbb{R}^n[/texx] formado por vectores ortogonales dos a dos y no nulos es linealmente independiente (mira el problema 2, apartado 4 aquí).

Como [texx]n[/texx] es el máximo número de vectores linealmente independientes en [texx]\mathbb{R}^n[/texx], [texx]A[/texx] tendra a lo sumo [texx]n[/texx] vectores si todos son no nulos y a lo sumo [texx]n+1[/texx] si se añade el nulo.
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merumeru
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« Respuesta #2 : 19/03/2017, 02:23:18 pm »

Entonces el n+1 iba por el lado del vector nulo como pensaba.
Muchas gracias por la pronta respuesta y darme la generalización de mi caso particular.

Un saludo Aplauso
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