Duda en Métricas; (1)

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Buenas, me ha surgido otra duda, respecto a otro enunciado;
Sea [texx](X,d)[/texx] un esp. métrico y un punto [texx]a[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]X[/texx] [texx]\forall{p}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]X[/texx], se define la función [texx]f_p:X\rightarrow{R}[/texx] por [texx]f_p(x)=d(x,p)-d(x,a)[/texx].
Probar que [texx]f[/texx] es acotada y que [texx]d_\infty(f_p,f_q) = d(p,q)[/texx]

(Cualquier error o falta de precisión hacedmelo notar)
Para ver que esta acotada hemos de comprobar que se verifica dicha condición, es decir,

[texx]f[/texx] está acotada [texx]\Leftrightarrow{}[/texx] [texx]\exists{M}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{R}[/texx] tq [texx]M[/texx] [texx]\geq{|f_p|}[/texx] [texx]\forall{p} \in \mathbb{X}[/texx], según entiendo fijado dicho punto [texx]a[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{X}[/texx] y [texx]\forall{p}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{X}[/texx]

  [texx]|f_p(x)| = |d(x,p)-d(x,a)| \leq{} d(a,p)[/texx] , Cómo por hipótesis [texx](X,d)[/texx] es esp. métrico cumple M3) D.triangular, es decir

    [texx]d(x,p) \leq{} d(x,a) + d(a,p)[/texx] [texx]\forall{x,p,a}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{X}[/texx] y resolviendo dichas desigualdades, se concluye que si definimos [texx]h_p(x):=d(a,p)[/texx] la aplicación constante, observamos que [texx]|f_p| \leq{} h_p[/texx] en todo su dominio.

Y ahora he de ver que [texx]d_\infty(f_p,f_q) = d(p,q)[/texx], siendo [texx]d_\infty=máx\{|x_i - y_i |\}^n_i=1[/texx] pero en esta última parte no consigo ver la idea del todo, ¿alguien puede orientarme en esta parte?

Saludos

[EnRlquE]

Hola latex.

Probar que [texx]f[/texx] es acotada y que [texx]d_\infty(f_p,f_q) = d(p,q)[/texx]

 Aquí me queda la duda de qué es [texx]d_{\infty}.[/texx] No entiendo la definición que [texx]d_{\infty}[/texx] que escribes más abajo, hace parecer que corresponde a algún espacio euclidiano donde [texx]x_{i}, Y_{i}[/texx] son las coordenadas  . Además en la pregunta se pide acotar [texx]f,[/texx] pero nosotros solo tenemos una familia de funciones [texx]f_{p}[/texx] con [texx]p\in X,[/texx] no se si te ha faltado definir alguna cosa.

[texx]f[/texx] está acotada [texx]\Leftrightarrow{}[/texx] [texx]\exists{M}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{R}[/texx] tq [texx]M[/texx] [texx]\geq{|f_p|}[/texx] [texx]\forall{p} \in \mathbb{X}[/texx], según entiendo fijado dicho punto [texx]a[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{X}[/texx] y [texx]\forall{p}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{X}[/texx]

 Aquí nuevamente, no se quién es [texx]f,[/texx] empiezo a sospechar que debería ser más o menos así: [texx]f:X\to C_{b}(X)[/texx] donde [texx]C_{b}(X)[/texx] es el espacio de funciones continuas acotadas de valores reales con dominio en [texx]X,[/texx] y que [texx]f(p)=f_{p};[/texx] pero no estoy seguro. Lo que anotas como equivalencia de que [texx]f[/texx] sea acotada es decir que la familia de funciones [texx]f_{p}[/texx] con [texx]p\in X[/texx] es uniformemente cotada.

 Como mencionas en tu mensaje, de la desigualdad triangular puede deducirse que [texx]|f_{p}(x)|\leq d(a,p),[/texx] esto prueba que cada una de las funciones [texx]f_{p}[/texx] es acaotada, pero no muestra la acotación uniforme que anotaste antes. De hecho, si [texx]X[/texx] no es acotado, la familia de funciones [texx]f_{p},\,p\in X[/texx] no es uniformemente acotada, pues [texx]f_{p}(a)=d(a,p)[/texx] podría ser arbitrariamente grande.

 En resumen, si tratas de aclararnos un poco mejor quién es [texx]f[/texx] y cómo se define [texx]d_{\infty}[/texx] creo que podríamos ayudarte mejor.

Saludos,

Enrique.

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¡Hola Enrique!, el enunciado lo puse tal y cual esta, el problema no ofrece más recursos que esos. Para acotar [texx]f[/texx], supongo que se refiere a que para cada punto de el conjunto [texx]X[/texx], la función [texx]f_p[/texx] está acotada.

En cuanto [texx]d_\infty(f_p,f_q) = d(p,q)[/texx] (1), sabemos que [texx]d_\infty[/texx] es la distancia del ajedrez, o chebyshev

(https://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Chebyshov)

Pero no logro, determinar dicha distancia tal que se cumpla la igualdad (1).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¡Hola Enrique!, el enunciado lo puse tal y cual esta, el problema no ofrece más recursos que esos. Para acotar [texx]f[/texx], supongo que se refiere a que para cada punto de el conjunto [texx]X[/texx], la función [texx]f_p[/texx] está acotada.

Pues como dice Enrique, falta concretar significado y notación. Quizás en el contexto de tu asignatura te hayan definido los puntos que son  oscuros.

En cuanto [texx]d_\infty(f_p,f_q) = d(p,q)[/texx] (1), sabemos que [texx]d_\infty[/texx] es la distancia del ajedrez, o chebyshev

Pero en tu caso [texx]f_p[/texx] son funciones. No tiene sentido hablar de sus componentes [texx]p_i[/texx] como hace en el enlace. Podría referirse a la distancia del supremo, es decir:

[texx]d_\infty(f,g)=sup_{x\in X}|f(x)-g(x)|[/texx]

En ese caso:

[texx]|f_p(x)-f_q(x)|=|d(x,p)-d(x,q)|\leq d(p,q)[/texx]

Saludos.

[latex]

Vale, ya entiendo;

Entonces siguiendo tu desarrollo fijado [texx]a \in X[/texx], y dados [texx]p[/texx],[texx]q[/texx] definimos [texx]f_p(x),f_q(x)[/texx] de forma que

[texx]d_\infty(f_p,f_p)[/texx] [texx]=[/texx] [texx]máx\{ f_p(x)-f_q(x) \}_{\forall{x}\in X}[/texx] [texx]=[/texx] [texx]máx {(d(x,p)-d(x,a))-(d(x,q)-d(x,a))}_{\forall{x}\in X}[/texx]

[texx]= máx{|d(x,p)-d(x,q)|}_{\forall{x}\in X}[/texx](1) y este máximo se da cuando [texx]x=p[/texx], o [texx]x=q[/texx], luego (1) [texx]= d(p,q)[/texx] ¿no?

Saludos.

[EnRlquE]

Hola latex.

 Creo que antes de seguir conjeturando sobre cómo debería ser el ejercicio, sería mejor tratar de averiguar cuál es el significado de la notación que ahí se usa. Por ejemplo, sigo sin saber bien la definición de la función [texx]f,[/texx] imagino que tiene que ver con las funciones [texx]f_{p}[/texx] pero no estoy muy seguro. Tampoco me queda claro cómo es que se define la distancia [texx]d_{\infty}[/texx] en el contexto de tu ejercicio.

 Tal vez este ejercicio forma parte de una serie de ejercicios donde las cosas se definen en ejercicio previos, o tal vez la notación te la han explicado en clase  . Como te dije antes, si conseguimos entender completamente el enunciado del ejercicio, podremos ayudarte mejor.

Saludos,

Enrique.

[latex]

Hola Enrique, básicamente (lo que yo entiendo) se definida [texx]f[/texx] como [texx]f_p:X\rightarrow{R}[/texx] por [texx]f_p(x)=d(x,p)-d(x,a)[/texx], es decir para todo punto [texx]p[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]X[/texx], se define [texx]f_p[/texx] de esa forma, y probando entonces que [texx]f_p[/texx] es acotada para un punto [texx]p[/texx] arbitrario, digamos que se prueba que [texx]f[/texx]  es acotada. Y luego [texx]d_\infty[/texx] es la distancia del ajedrez, supongo que en este caso como dijo el_manco se refiere a la  máxima diferencia que toman [texx]f_p[/texx],[texx]f_q[/texx] , para [texx]p[/texx],[texx]q[/texx] arbitrarios, y para todo [texx]x \in X[/texx]. Luego supongo que con un razonamiento parecido al que puse que concluye que es igual a [texx]d(p,q)[/texx].

Saludos

Pd: El enunciado está tal cual de una hoja de ejercicios sin relación alguna con los demás. Cabe la posibilidad que este mal redactado, pero básicamente creo que la idea sería esa.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Enrique, básicamente (lo que yo entiendo) se definida [texx]f[/texx] como [texx]f_p:X\rightarrow{R}[/texx] por [texx]f_p(x)=d(x,p)-d(x,a)[/texx], es decir para todo punto [texx]p[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]X[/texx], se define [texx]f_p[/texx] de esa forma, y probando entonces que [texx]f_p[/texx] es acotada para un punto [texx]p[/texx] arbitrario, digamos que se prueba que [texx]f[/texx]  es acotada. Y luego [texx]d_\infty[/texx] es la distancia del ajedrez, supongo que en este caso como dijo el_manco se refiere a la  máxima diferencia que toman [texx]f_p[/texx],[texx]f_q[/texx] , para [texx]p[/texx],[texx]q[/texx] arbitrarios, y para todo [texx]x \in X[/texx]. Luego supongo que con un razonamiento parecido al que puse que concluye que es igual a [texx]d(p,q)[/texx].

Pero exactamente, ¿[texx]f[/texx] es una función definida desde qué espacio métrico?.

Pd: El enunciado está tal cual de una hoja de ejercicios sin relación alguna con los demás. Cabe la posibilidad que este mal redactado, pero básicamente creo que la idea sería esa.

No es buena idea obsesionarse por reinterpretar un mal enunciado para darle sentido. ¿Por qué no le preguntas al profesor?.

Saludos.

[latex]

Hola el_manco, esta duda me surgió el sábado mientras pensaba dicho ejercicio, y la verdad no me percate en tantos matices (pensando en que mi resolución podría ser válida y la redacción del ejercicio era correcta.) por eso nunca se me ocurrió preguntarle al profesor dichos detalles.

Respondiendo a tu otra pregunta sé que se define [texx]f_p[/texx], fijado un punto [texx]p\in X[/texx], ahora quién es [texx]f[/texx], no esta aclarado. Sin embargo lo interpreto como que para todo punto [texx]p[/texx], [texx]f_p[/texx]  es acotada. Luego en de forma general [texx]f[/texx] es acotada.

Saludos.