Buenas, me ha surgido otra duda, respecto a otro enunciado;
Sea [texx](X,d)[/texx] un esp. métrico y un punto [texx]a[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]X[/texx] [texx]\forall{p}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]X[/texx], se define la función [texx]f_p:X\rightarrow{R}[/texx] por [texx]f_p(x)=d(x,p)-d(x,a)[/texx].
Probar que [texx]f[/texx] es acotada y que [texx]d_\infty(f_p,f_q) = d(p,q)[/texx]
(Cualquier error o falta de precisión hacedmelo notar)
Para ver que esta acotada hemos de comprobar que se verifica dicha condición, es decir,
[texx]f[/texx] está acotada [texx]\Leftrightarrow{}[/texx] [texx]\exists{M}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{R}[/texx] tq [texx]M[/texx] [texx]\geq{|f_p|}[/texx] [texx]\forall{p} \in \mathbb{X}[/texx], según entiendo fijado dicho punto [texx]a[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{X}[/texx] y [texx]\forall{p}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{X}[/texx]
[texx]|f_p(x)| = |d(x,p)-d(x,a)| \leq{} d(a,p)[/texx] , Cómo por hipótesis [texx](X,d)[/texx] es esp. métrico cumple M3) D.triangular, es decir
[texx]d(x,p) \leq{} d(x,a) + d(a,p)[/texx] [texx]\forall{x,p,a}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{X}[/texx] y resolviendo dichas desigualdades, se concluye que si definimos [texx]h_p(x):=d(a,p)[/texx] la aplicación constante, observamos que [texx]|f_p| \leq{} h_p[/texx] en todo su dominio.
Y ahora he de ver que [texx]d_\infty(f_p,f_q) = d(p,q)[/texx], siendo [texx]d_\infty=máx\{|x_i - y_i |\}^n_i=1[/texx] pero en esta última parte no consigo ver la idea del todo, ¿alguien puede orientarme en esta parte?
Saludos
