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Autor Tema: Duda sobre solución general de una ED  (Leído 544 veces)
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Smagh
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« : 18/03/2017, 06:06:00 pm »

Buenas,

Tengo una duda un poco tonta. Se me pide encontrar la solución general de [texx](1-2x-x^2)y''+2(1+x)y'-2y=0[/texx], sabiendo de antemano que [texx]y=x+1[/texx] es una solución. Aplicando el método de reducción de orden encontré que [texx]y=x^2+2x+3[/texx] es otra solución de dicha ecuación. Ahora bien, teniendo esas dos soluciones, y sabiendo que la ecuación es de orden dos y en consecuencia la dimensión del espacio fundamental de soluciones de la ecuación es también dos, mi duda es si la solución general de la ecuación es la combinación lineal de las dos que ya obtuve, es decir:
[texx]y=a(x+1)+b(x^2+2x+3); a,b\in{\mathbb{R}}[/texx]

Gracias de antemano por sus comentarios.
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Samir M.
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« Respuesta #1 : 18/03/2017, 10:31:16 pm »

Hola.

No necesariamente. Fíjate que la ecuación diferencial planteada es no lineal. Como tal, no tiene definida una estructura matemática determinada, como la tiene el conjunto de las ecuaciones diferenciales lineales (forman un espacio vectorial afín). Por tanto, el principio de superposición no se satisface necesariamente, ni muchas otras de las propiedades de las ecuaciones diferenciales lineales. De hecho, una ecuación no lineal de segundo orden puede tener infinitos pares de soluciones (en vez de las dos típicas en una ecuación diferencial lineal de segundo orden). Por ejemplo, considera [texx]y'' = 6y^2[/texx]. En definitiva, no existe una 'solución general' para una ecuación diferencial ordinaria no lineal.

La ecuación planteada es lineal, y como tal, esta respuesta no se aplica a la misma.

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
Smagh
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« Respuesta #2 : 18/03/2017, 10:43:01 pm »

Ya veo, muchas gracias por la aclaratoria!
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ingmarov
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« Respuesta #3 : 18/03/2017, 11:15:46 pm »

...
No necesariamente. Fíjate que la ecuación diferencial planteada es no lineall.
...

Pero sí es lineal, o no he entendido.


Borrado (no tenía qué ver con la pregunta y estoy desde el móvil)


Lo borré por error, en resumen pregutaba a Smagh si ya había probado que la combinación lineal era solución
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Smagh
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« Respuesta #4 : 18/03/2017, 11:32:18 pm »

Cierto. Me confundí al pensar que se refería a que no era de coeficientes constantes.
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Samir M.
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« Respuesta #5 : 18/03/2017, 11:44:22 pm »

Hola.

Sí, perdona, leí mal la EDO o no sé por qué supuse que no era lineal. En cualquier caso me equivoqué, y sí, es lineal, por lo que mi respuesta anterior no se aplica. Como es lineal, el espacio de soluciones es un espacio vectorial afín de dimensión 2 y al encontrar dos funciones linealmente independientes, ya puedes generar todo el espacio con lo que sí, lo planteado sería la solución general. Te reitero las disculpas por mi error.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 19/03/2017, 09:48:23 am »

No hay problema, no te preocupes, yo también me confundí :risa: Te agradezco la aclaratoria y a ingmarov por su comentario sin el que me hubiese dado cuenta de la confusión.
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