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Autor Tema: Áreas y volúmenes usando el Teorema de Pappus.  (Leído 422 veces)
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rickyft
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« : 17/03/2017, 10:10:23 pm »

1) Aplique el 1er Teorema de Pappus para demostrar que el volumen de sólido generado al girar el trapezoide con vertices [texx](0,0),(0,h),(r_1,0)  y  (r_2,h)[/texx]con [texx]r_1\geq{r_2}\geq{0}[/texx]) alrededor del eje Y, es [texx]V=\displaystyle\frac{\pi h}{3}(r^2_1+r_1r_2+r^2_2)[/texx].

Pudiera unir los puntos y usar la ecuacón punto pendiente y cuando yo encuentre la recta sé que el centroide estaría justo en la mitad por que la recta es una función impar y luego no sé qué hacer.

2) Use el 2do Teorema de Pappus para determinar el área de la superficie obtenida al girar alrededor del eje Y la curva

[texx]y=\displaystyle\int_{1}^{x}\sqrt[ ]{\sqrt[ ]{t+4}-1}dt[/texx]

con [texx]0\leq{x}\leq{a}[/texx], [texx]a\geq{0}[/texx]

Este segundo ejercicio no tengo idea alguna de cómo hacerlo.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 18/03/2017, 04:35:19 pm »

Hola rickyft,

1) El segundo teorema de Pappus-Guldin dice que: "el volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje."

Entonces, podemos descomponer el trapecio en un rectángulo de base [texx]r_2\textrm{, altura }h\textrm{, superficie }r_2·h[/texx] y cuyo centro de gravedad está a una distancia [texx]\frac{r_2}{2}\textrm{ del eje }Oy[/texx], y un triángulo rectángulo de base [texx]r_1 - r_2\textrm{, altura }h\textrm{, superficie }\frac{(r_1 - r_2)·h}{2}\textrm{ y cuyo centro de gravedad está a una distancia }r_2 + \frac{r_1-r_2}{3}\textrm{ del eje }Oy[/texx], pues el centro de gravedad de un triángulo está a [texx]\frac{1}{3}[/texx] de la altura. Entonces,

[texx]V = 2 \pi \frac{r_2}{2}r_2 h + 2\pi\left( r_2 + \frac{r_1 - r_2}{3}\right)(r_1-r_2)h = \frac{1}{3}\pi h\left(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2\right)[/texx]

No tengo tiempo ahora de mirar la segunda parte.

Saludos,
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rickyft
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« Respuesta #2 : 18/03/2017, 11:48:33 pm »

Hola rickyft,

1) El segundo teorema de Pappus-Guldin dice que: "el volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje."

Entonces, podemos descomponer el trapecio en un rectángulo de base [texx]r_2\textrm{, altura }h\textrm{, superficie }r_2·h[/texx] y cuyo centro de gravedad está a una distancia [texx]\frac{r_2}{2}\textrm{ del eje }Oy[/texx], y un triángulo rectángulo de base [texx]r_1 - r_2\textrm{, altura }h\textrm{, superficie }\frac{(r_1 - r_2)·h}{2}\textrm{ y cuyo centro de gravedad está a una distancia }r_2 + \frac{r_1-r_2}{3}\textrm{ del eje }Oy[/texx], pues el centro de gravedad de un triángulo está a [texx]\frac{1}{3}[/texx] de la altura. Entonces,

[texx]V = 2 \pi \frac{r_2}{2}r_2 h + 2\pi\left( r_2 + \frac{r_1 - r_2}{3}\right)(r_1-r_2)h = \frac{1}{3}\pi h\left(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2\right)[/texx]

No tengo tiempo ahora de mirar la segunda parte.

Saludos,
Muchas gracias, en ese estaba con menos dudas solo me faltó deducir que el centro de gravedad del triángulo era ese  [texx]\frac{1}{3}[/texx] de la altura.

Cuando puedas ayudame con el ejercisio 2, ese no tengo idea alguna de que hacer
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« Respuesta #3 : 20/03/2017, 05:34:58 am »


2) Use el 2do Teorema de Pappus para determinar el área de la superficie obtenida al girar alrededor del eje Y la curva

[texx]y=\displaystyle\int_{1}^{x}\sqrt[ ]{\sqrt[ ]{t+4}-1}dt[/texx]

con [texx]0\leq{x}\leq{a}[/texx], [texx]a\geq{0}[/texx]

Este segundo ejercicio no tengo idea alguna de cómo hacerlo.

Creo que aquí hay que aplicar el primer teorema de Pappus-Guldin: "El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje"

Se necesita conocer entonces la longitud L de la curva y la distancia r a que se halla su centro de gravedad del eje Oy. La función la dan expresada como una integral definida de extremo superior variable. Se puede obtener explícitamente la función realizando la integral, pero no es necesario. La longitud de la gráfica de [texx]y = f(x)\textrm{ entre }x = a\textrm{ y }x = b[/texx] es:

[texx]L =\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{1 + \left(f'(x)\right)^2} dx[/texx]

Aplicando el Teorema fundamental del cálculo integral, la derivada de y es el integrando en el extremos superior:

[texx]f'(x) =\sqrt[ ]{\sqrt[ ]{x+4}-1} [/texx]

con lo que

[texx]\sqrt[ ]{1 + \left(f'(x)\right)^2} = \sqrt[ ]{1 + \left(\sqrt[ ]{\sqrt[ ]{x+4}-1}\right)^2}= \sqrt[ ]{\sqrt[ ]{x+4}}=(x+4)^\frac{1}{4}[/texx]

[texx]L = \displaystyle\int_{0}^{a}(x+4)^\frac{1}{4} dx = \frac{4}{5}\left |(x+4)^\frac{5}{4}\right | _0^a = \frac{4}{5}\left( (a + 4)^\frac{5}{4} - 4\sqrt[ ]{2}\right)[/texx]

La abcisa [texx]c[/texx] del centro de gravedad será aquella para la que la longitud de [texx]0\textrm{ a }c\textrm{ sea justamente }\frac{L}{2}[/texx]:

[texx] \frac{4}{5}\left( (c + 4)^\frac{5}{4} - 4\sqrt[ ]{2}\right) =  \frac{2}{5}\left( (a + 4)^\frac{5}{4} - 4\sqrt[ ]{2}\right) \Longrightarrow{} (c + 4)^\frac{5}{4} = \frac{(a+4)^\frac{5}{4} + 4\sqrt[ ]{2}}{2}[/texx]

[texx]c = \left( \frac{(a+4)^\frac{5}{4} + 4\sqrt[ ]{2}}{2}\right)^\frac{4}{5} - 4[/texx]

Y la superficie pedida es:

[texx]S = 2\pi \left(\left( \frac{(a+4)^\frac{5}{4} + 4\sqrt[ ]{2}}{2}\right)^\frac{4}{5} - 4 \right)  \frac{4}{5}\left( (a + 4)^\frac{5}{4} - 4\sqrt[ ]{2}\right)[/texx]

Expresión poco simplificable ... Eso si no me he confundido en algún sitio, cosa que es hasta probable.

Saludos,
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