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Autor Tema: Distancia en el álgebra de las series formales  (Leído 127 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« : 17/03/2017, 08:58:03 am »

Propongo éste bonito problema, extraido del libro de Henry Cartan (no viene la solución), Teoría elemental de funciones analíticas de una o varias variables complejas.

Enunciado
Sea [texx]\mathbb{K}[/texx] un cuerpo conmutativo, [texx]X[/texx] una indeterminada y [texx]E=\mathbb{K}\left[[X]\right][/texx] el álgebra de las series formales con coeficientes en [texx]\mathbb{K}[/texx].
Para [texx]S[/texx] y [texx]T[/texx] pertenecientes a [texx]E[/texx] pongamos

          [texx]d(S,T)=\begin{cases} 0 & \text{si}& S=T\\e^{-k} & \text{si}& S\ne T& \text{y}& \omega (S-T)=k,\end{cases}[/texx]

en donde [texx]\omega (R)[/texx] denota el orden de la serie formal [texx]R.[/texx]

[texx]a)\; [/texx] Probar que [texx]d[/texx] define una distancia en [texx]E.[/texx]
      Subapartado añadido a sugerencia de Carlos Ivorra:
      Demostrar que [texx]d[/texx] es además distancia ultramétrica es decir,

          [texx]d(S, T)\leq \max\{d(S,U),d(U,T)\}\quad \forall S,T,U\in E.[/texx]
     
      Subapartado añadido a sugerencia de Fernando Revilla:
      Demostrar que todo triángulo en [texx]E[/texx] es equilàtero o isósceles.

[texx]b)\;[/texx] Demuéstrese que las aplicaciones:
         
               [texx](S,T)\to S+T,\quad (S,T)\to ST[/texx]

       definidas en [texx]E\times E,[/texx] con valores en [texx]E[/texx], son continuas con respecto a la topología definida por la métrica [texx]d[/texx].

[texx]c)\;[/texx] Demuéstrese que el álgebra [texx]\mathbb{K}[X][/texx] de polinomios como subconjunto de [texx]E[/texx] es densa por doquier en [texx]E[/texx].
[texx]d)\;[/texx] Pruébese que el espacio [texx]E[/texx] es completo.
[texx]e)\;[/texx] La aplicación [texx]S\to S'[/texx] (la derivada de [texx]S[/texx]) ¿es continua?     
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 17/03/2017, 11:26:53 am »

Yo añadiría que la distancia cumple una propiedad más fuerte que la mera desigualdad triangular, a saber, que

[texx]d(S, T)\leq \max\{d(S,U),d(U,T)\}[/texx],

lo que a su vez implica que una sucesión [texx]\{S_n\}_{n=0}^\infty[/texx] es de Cauchy si y sólo si [texx]\lim_n(S_{n+1}-S_n)=0[/texx],

y a su vez esto implica que una serie [texx]\sum\limits_{n=0}^\infty S_n[/texx] (donde cada [texx]S_n\in K[[X]][/texx] es una serie) es convergente si y sólo si [texx]\lim_nS_n=0[/texx].
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Fernando Revilla
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« Respuesta #2 : 17/03/2017, 01:07:31 pm »

Yo añadiría que la distancia cumple una propiedad más fuerte que la mera desigualdad triangular, a saber, que [texx]d(S, T)\leq \max\{d(S,U),d(U,T)\}[/texx],

Bien, lo he añadido como subapartado y además he añadido el típico resultado de las ultramétricas relativo a los triángulos.
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