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Autor Tema: BS Anand Intenta Refutar los Teoremas de Gödel  (Leído 2487 veces)
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LauLuna
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« : 02/01/2008, 18:00:40 pm »

A alguien podría interesarle echar un ojo a THE REASONER, el número II, 1 de Enero del 2008, en www.thereasoner.org

Y a alguien podría interesarle discutir el artículo de BS Anand CAN WE REALLY FALSIFY TRUTH BY DICTAT? en la p. 7.

Anand concluye que la aritmética de Peano no tiene modelos no estándar.

Si Anand tiene razón, el teorema de completitud de Gödel de 1930, el teorema de compactidad de Gödel de 1930 y el teorema de incompletitud de Gödel de 1931 no son válidos.

Naturalmente, Anand no tiene razón pero podría ser interesante discutir dónde se equivoca.

Un saludo

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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 03/01/2008, 07:08:22 am »

Difícil asunto este. Estamos hablando de los números naturales y millones de páginas se han escrito al respecto, incluidas las de Kronecker. Es muy curioso, la lógica matemática formaliza, pero algunos pensamos que se pierden esencias por el camino.

No lo sé, pero tal vez Anand nos hable de una concepción distinta de percepción de los números naturales, pues las demostraciones de Gödel son técnicamente irrefutables. Otra cuestión es por ejemplo qué sentido aritmético le damos a una fórmula que asegura su propia indemostrabilidad en PA.

Saludos.

  

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LauLuna
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« Respuesta #2 : 04/01/2008, 12:29:28 pm »

Estoy de acuerdo en que con la formalización se pierde algo por el camino. La formalización sólo puede, en el mejor de los casos, capturar la estructura de un sistema matemático, no la naturaleza de sus componentes.

Por eso se dice de las teorías categóricas que todos sus modelos son el mismo 'hasta isomorfismo'.

Pero nadie definiría el número 3 como el tercer elemento de una progresión cualquiera. Y sin embargo, incluso los axiomas de Dedekind en segundo orden, que dan lugar a una teoría categórica, no llegan a definir más. Y esto es todo lo que podemos hacer en lenguaje formal con respecto a los números naturales.

En filosofía de las matemáticas, el estructuralismo (Bourbaki, por ejemplo) afirma que las matemáticas son la ciencia de las estructuras y que más allá de ellas nada hay. Los estructuralistas ignoran ampliamente las limitaciones dé los formalismos, puestas de relieve por el teorema de Gödel.

Lo que no entiendo bien, Phidias, es lo que quieres decir con eso de qué sentido aritmético le damos a una fórmula que afirma su propia indemostrabilidad.

Sea G esa fórmula. G afirma su propia indemostrabilidad si la interpretamos metateóricamente. Pero en su interpretación aritmética G afirma la inexistencia de una cierta clase de números naturales, Qué clase sea esa, depende del sistema al que se refiera G y de la gödelización concreta de que se trate. Pero, determinadas ambas circunstancias, G será, en su interpretación aritmética estándar, un enunciado concreto sobre los números naturales.

Un saludo
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 06/01/2008, 19:21:05 pm »

Lo que no entiendo bien, Phidias, es lo que quieres decir con eso de qué sentido aritmético le damos a una fórmula que afirma su propia indemostrabilidad.

Sea G esa fórmula. G afirma su propia indemostrabilidad si la interpretamos metateóricamente. Pero en su interpretación aritmética G afirma la inexistencia de una cierta clase de números naturales, Qué clase sea esa, depende del sistema al que se refiera G y de la gödelización concreta de que se trate. Pero, determinadas ambas circunstancias, G será, en su interpretación aritmética estándar, un enunciado concreto sobre los números naturales.

Un saludo

Veamos, es frase famosa y reiterada aquella que dice que cuando hablamos de los fundamentos de las matemáticas frecuentemente cambiamos cerebro por corazón, o tal vez por sensación. Por eso me gustaría ser prudente en lo que digo aunque según mi honesta interpretación de los números naturales, podría ir más lejos. No hay prisa.

La famosa fórmula bien formada [texx]\mathcal{G}[/texx] del sistema formal [texx]\mathcal{N}[/texx] de la aritmética de primer orden, tiene todos los derechos a tener un significado aritmético. Pero no olvidemos que este significado aritmético le viene por una especie de círculo vicioso que consiste en la construcción de funciones recursivas en [texx]\mathbb{N}[/texx] no como sistema formal, sino como interpretación.

Es decir construimos la aritmética de Peano con axiomas que reflejen formalmente el comportamiento de los naturales y para estudiar dicha aritmética nos salimos del propio sistema formal. En un curso de Lógica Matemática, el profesor Fernández Prida, decía que nunca deberíamos olvidar que para construir sistemas lógicos, tenemos que usar lógica ¿cuál?.

Esto no quiere decir que yo niegue la validez del teorema de incompletitud de Gödel (lo he devorado hasta saciedad). Lo que yo quería decir acerca del significado aritmético de la misma es que [texx]\mathcal{G}[/texx] no tiene el mismo grado de esencia aritmética por ejemplo que [texx]\mathcal{A}[/texx] fórmula bien formada que reflejara "Todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos".Aquí corremos un gran peligro, ¿hasta donde somos críticos con el punto de partida?.

Bien, aquí tenemos un famoso teorema demostrado formalmente:

Teorema. 2+2=4

Demostración 1. Usando la axiomática de Peano.(S: Función sucesor)

Denotemos S0=1, SS0=2, SSS0=3, SSSS0=4.  Entonces, 2+2=SS0+SS0=SS0+S(S0)=
=S(SS(0)+S(0))=SS(SS0+0)=SS(SS0)=SSSS0=4.

Demostración 2. Prescindiendo del elemento distinguido 0 y por "analogía simbólica" de los pasos intermedios

XX + XX = XXXX, o bien BB + BB = BBBB,...

Lo que nos da la capacidad para entender la demostración 1 es exactamente la capacidad para entender la 2, tiempo y espacio, eso es la aritmética. Mas aún, disposiciones aleatorias en el continuo. Creo que Kant, Kronecker y Sylvester tenían en la cabeza, esos pensamientos.

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LauLuna
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« Respuesta #4 : 06/01/2008, 20:14:55 pm »

Yo no lo veo así.

Dado un sistema formal axiomático S de la aritmética de Peano de primer orden, y una función de gödelización g, G, formada para S y g, tiene la forma:


(G) Ax ~Rxg

donde g es el número de Gödel de G y R es, en la interpretación estándar, una relación recursiva primitiva y, por tanto, una relación tan aritmética como la de ser el doble de o ser el cubo de, en el sentido de que puede expresarse en el lenguaje de la aritmética de primer orden.

Así interpretada, G es tan aritmética como la conjetura de Goldbach. De hecho equivale a afirmar que una determinada ecuación diofántica no tiene soluciones. Acepto que probablemente ninguna de esas G's hubiera salido en aritmética de manera 'tan natural' como las cuestiones sobre los primos. Pero eso no atañe a la matemática pura.

Creo que Kant, cuando fundamentó la aritmética en la intuición pura de tiempo, y los constructivistas que se inspiraron en él, se equivocaron.

Pero esta es otra cuestión.

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« Respuesta #5 : 06/01/2008, 20:31:55 pm »

De todas formas hay otra cuestión que debo aclarar.

La pretensión de Anand de que la aritmética de Peano de primer orden (AP1) no tiene modelos no estándar no contradice el teorema de incompletitud de Gödel, contra lo que a primera vista parece y lo que yo, equivocadamente, pensé cuando escribí el primer mensaje de este hilo.

La razón es que la tesis de Anand es incompatible con el teorema de completitud de Gödel de 1930 (como ya decía yo entonces). Si la lógica de primer orden es incompleta, entonces AP puede ser incompleta y no tener modelos no estándar. Eso es exactamente lo que le pasa a AP2 (aritmética de Peano de segundo orden): sus axiomas sólo admiten modelos isomorfos con el conjunto de los naturales* y, sin embargo, como sistema axiomático, AP2 es incompleto porque la lógica de segundo orden es incompleta y no es capaz de deducir de los axiomas de AP2 todas sus consecuencias lógicas.

En cambio, la propuesta de Anand es incompatible con el teorema de Löwenheim-Skolem Upward (1920) que no citaba en aquel mensaje.

Siento el error.

* Esto es así (lo demostró Dedekind en 1888) siempre que hagamos la lectura estándar de los cuantificadores; en la semántica de Henkin, donde esto no sucede, hay modelos no estándar de AP2.
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« Respuesta #6 : 10/02/2008, 14:03:54 pm »

En el número de febrero de THE REASONER se ha publicado una respuesta a Anand: ON NON-STANDARD MODELS OF PEANO ARITHMETIC. Demuestra que la existencia de modelos no estándar de AP deriva del teorema de Compactidad para la lógica de primer orden.

El resultado no es nuevo; la demostración no lo sé. En cualquier caso es tan sencilla que lo más probable es que esté por ahí en algún otro sitio.

Podéis verlo en www.thereasoner.org

Un saludo
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