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Autor Tema: Más balas para el n = 4  (Leído 13786 veces)
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« : 05/03/2017, 02:35:28 pm »

Hola,


Escribo una vez más sobre este tema por culpa de sugata <A HREF="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=93378.msg376588#msg376588">( * )</A>, que me lo ha vuelto a recordar  :guiño:

Al final, como siempre, la única contradicción posible no está en las relaciones aritméticas que se dan entre las distintas variables sino en su propiedad de ser infinitamente “precisas”; algo incompatible con su naturaleza de ser números enteros.


(A)

Parto de que es cierto que:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y  [texx]x[/texx] ,  por ejemplo, par.

Y que si:  [texx]Z=z^2[/texx] ;  entonces  [texx]Z^2[/texx]  es el menor cuadrado posible que cumple que:  [texx]Z^2=x^4+y^4[/texx] .


Tenemos pues:

[texx](x^2)^2+(y^2)^2=Z^2[/texx]

Por lo tanto sé que serán soluciones del caso n = 2:

[texx]x^2=2pq[/texx]

[texx]y^2=p^2-q^2[/texx]

[texx]Z=p^2+q^2[/texx]

, para  [texx]p,q[/texx]  coprimos y  [texx]q[/texx] , por ejemplo, par.

Luego:

[texx]x=(2pq)^{\frac{1}{2}}\,\Rightarrow\,{p=p_1^2\,\,\wedge\,\,q=2q_1^2\,\,\wedge\,\,2q=A^2}[/texx]

[texx]y^2=(p+q)\,(p-q)[/texx]  y como:  [texx](p+q\,,\,p-q)=1[/texx] ;  entonces:  [texx]p+q=B^2\,\,\wedge\,\,p-q=C^2[/texx]

Observo que:

[texx](p-q)+2q=p+q\,\Rightarrow\,{C^2+A^2=B^2}[/texx]

Luego serán soluciones del caso n = 2:

[texx](p-q)^{\frac{1}{2}}=a^2-b^2[/texx]

[texx]2q_1=2ab[/texx]

[texx](p+q)^{\frac{1}{2}}=a^2+b^2[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y uno de ellos par.

De esta manera:

[texx]q_1=ab\,\,\wedge\,\,q^2=4a^4b^4[/texx]

[texx]y^2=(p+q)\,(p-q)\,=\,(a^2+b^2)^2\,(a^2-b^2)^2\,=\,(a^4-b^4)^2[/texx]

Y como también:  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx] ;  sustituyendo:  [texx](a^4-b^4)^2=p^2-4a^4b^4[/texx]

Y entonces:

[texx]p^2=a^8+b^8-2a^4b^4+4a^4b^4\,\Rightarrow\,{p^2=(a^4+b^4)^2}\,\Rightarrow\,{p=(a^4+b^4)}\,\Rightarrow\,{p_1^2=a^4+b^4}[/texx]

Pero  [texx]p_1^2\,<\,Z^2[/texx]  y cumple también ser un cuadrado impar resultado de una suma de 2 cuartas potencias coprimas entre sí; lo que contradice el punto de partida.


(B)

Parto igualmente de que es cierto que:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y  [texx]x[/texx] ,  por ejemplo, par.

Y que si:  [texx]Y=y^2[/texx] ;  entonces  [texx]Y^2[/texx]  es el menor cuadrado posible que cumple que:  [texx]Y^2=z^4-x^4[/texx] .


Tendremos:

[texx](x^2)^2+Y^2=(z^2)^2[/texx]

Por lo tanto sé que serán soluciones del caso n = 2:

[texx]x^2=2pq[/texx]

[texx]Y=p^2-q^2[/texx]

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]

, para  [texx]p,q[/texx]  coprimos y  [texx]q[/texx] , por ejemplo, par.

Luego:

[texx]x=(2pq)^{\frac{1}{2}}\,\Rightarrow\,{p=p_1^2\,\,\wedge\,\,q=2q_1^2}[/texx]

Entonces:

[texx]x^2+z^2=(p+q)^2[/texx]

Y volverán a ser soluciones del caso n = 2:

[texx]x=2ab[/texx]

[texx]z=a^2-b^2[/texx]

[texx](p+q)=a^2+b^2[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y  [texx]b[/texx] , por ejemplo, par.

Tenemos entonces:

[texx]x=2ab\,=\,2p_1q_1\,\Rightarrow\,{\pmb{p_1q_1=ab}}[/texx]

[texx]p+q=a^2+b^2\,\Rightarrow\,{\pmb{p_1^2+2q_1^2=a^2+b^2}}[/texx]

Veamos que esto último no es posible.

Como resulta evidente que  [texx]p_1\neq a\,\,\wedge\,\,q_1\neq b[/texx] ,  supongamos entonces sin perder generalidad que: 

[texx]a=a_1\cdot a_2[/texx]

[texx]b=b_1\cdot b_2[/texx]

[texx]p_1=a_1\cdot b_1[/texx]

[texx]q_1=a_2\cdot b_2[/texx]

y establezcamos que el factor par está en  [texx]b_2[/texx] .

Desarrollo:

[texx]a_1^2b_1^2+2(a_2^2b_2^2)=a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2[/texx]

[texx]a_1^2a_2^2-a_1^2b_1^2=a_2^2b_2^2-b_1^2b_2^2+a_2^2b_2^2[/texx]

[texx]a_1^2(a_2^2-b_1^2)=b_2^2(a_2^2-b_1^2)+a_2^2b_2^2[/texx]

[texx]a_2^2b_2^2=(a_2^2-b_1^2)\,(a_1^2-b_2^2)[/texx]

Como  [texx]a_2^2\,\,\wedge\,\,b_2^2[/texx]  son coprimos y  [texx]a_2^2[/texx]  es coprimo con  [texx](a_2^2-b_1^2)[/texx]  y  [texx]b_2^2[/texx]  es coprimo con  [texx](a_1^2-b_2^2)[/texx] ;  entonces: 

[texx]a_2^2= a_1^2-b_2^2[/texx]

[texx]b_2^2= a_2^2-b_1^2[/texx]

Luego:

[texx]a_1^2= a_2^2+b_2^2[/texx]

[texx]b_1^2= a_2^2-b_2^2[/texx]

Y :

[texx]a_1^2b_1^2\,=\,p_1^2=a_2^4-b_2^4[/texx]

Pero  [texx]p_1^2\,<\,Y^2[/texx]  y cumple también ser un cuadrado impar resultado de una diferencia entre 2 cuartas potencias coprimas entre sí; lo que contradice el punto de partida.


(C)  Generalización


Sean  [texx]A,B,C,D[/texx]  enteros y  [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] ;  tales que  [texx](A,B)\,=\,(C,D)\,=\,1[/texx]  y  [texx]B\,\,\wedge\,\,D[/texx]  pares.

No puede darse al mismo tiempo:

[texx]\pmb{A\cdot B\,=\,C\cdot D\quad\wedge\quad A^{2n}+B^{2n}\,=\,C^{2n}+2\,D^{2n}}[/texx]


Demostración:

Como resulta evidente que  [texx]A^{2n}\neq C^{2n}\,\,\wedge\,\,B^{2n}\neq D^{2n}[/texx] ,  supongamos entonces sin perder generalidad que: 

[texx]A^{2n}=A_1^{2n}\cdot A_2^{2n}[/texx]

[texx]B^{2n}=B_1^{2n}\cdot B_2^{2n}[/texx]

[texx]C^{2n}=A_1^{2n}\cdot B_1^{2n}[/texx]

[texx]D^{2n}=A_2^{2n}\cdot B_2^{2n}[/texx]

y establezcamos que el factor par está en  [texx]B_2^{2n}[/texx] .

Desarrollo:

[texx]A_1^{2n}A_2^{2n}+B_1^{2n}B_2^{2n}=A_1^{2n}B_1^{2n}+2(A_2^{2n}B_2^{2n})[/texx]

[texx]A_1^{2n}A_2^{2n}-A_1^{2n}B_1^{2n}=A_2^{2n}B_2^{2n}-B_1^{2n}B_2^{2n}+A_2^{2n}B_2^{2n}[/texx]

[texx]A_1^{2n}(A_2^{2n}-B_1^{2n})=B_2^{2n}(A_2^{2n}-B_1^{2n})+A_2^{2n}B_2^{2n}[/texx]

[texx]A_2^{2n}B_2^{2n}=(A_2^{2n}-B_1^{2n})\,(A_1^{2n}-B_2^{2n})[/texx]

Como  [texx]A_2^{2n}\,\,\wedge\,\,B_2^{2n}[/texx]  son coprimos y  [texx]A_2^{2n}[/texx]  es coprimo con  [texx](A_2^{2n}-B_1^{2n})[/texx]  y  [texx]B_2^{2n}[/texx]  es coprimo con  [texx](A_1^{2n}-B_2^{2n})[/texx] ;  entonces: 

[texx]A_2^{2n}=A_1^{2n}-B_2^{2n}[/texx]

[texx]B_2^{2n}=A_2^{2n}-B_1^{2n}[/texx]

Luego:

[texx]A_1^{2n}= A_2^{2n}+B_2^{2n}[/texx]

[texx]B_1^{2n}= A_2^{2n}-B_2^{2n}[/texx]

Y :

[texx]A_1^{2n}B_1^{2n}\,=\,C^{2n}=A_2^{4n}-B_2^{4n}[/texx]

Pero esto equivale a decir que un cuadrado entero puede ser el resultado de la diferencia entre dos cuartas potencias enteras y coprimas entre sí; que es una generalización del caso n = 4 del UTF que es falso.


(D)  Corolario:


Sean  [texx]A,B,C,D[/texx]  enteros distintos y  [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] .

No puede darse al mismo tiempo:

[texx]\pmb{A\cdot B\,=\,C\cdot D\quad\wedge\quad A^{n}+B^{n}\,=\,C^{n}+D^{n}}[/texx]


Demostración:

Si estas 2 igualdades son ciertas, entonces será verdadera esta otra:

[texx](A^n+B^n)^2-4A^nB^n\,=\,(C^n+D^n)^2-4C^nD^n[/texx]

Luego:

[texx]A^{2n}+B^{2n}+2A^{n}B^{n}-4A^{n}B^{n}\,=\,C^{2n}+D^{2n}+2C^{n}D^{n}-4C^{n}D^{n}[/texx]

[texx](A^n-B^n)^2\,=\,(C^n-D^n)^2\,\Rightarrow\,{A^n-B^n\,=\,C^n-D^n}[/texx]

Y :

[texx]A^n\,=\,B^n\,=\,C^n\,=\,D^n[/texx]



Un saludo,
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« Respuesta #1 : 06/03/2017, 08:53:21 am »

Hola

[texx]2q_1=2ab[/texx]

¿No sería ahí [texx]2q=2ab[/texx] en lugar de [texx]q_1[/texx]?.

Cita
(B)

Parto igualmente de que es cierto que:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y  [texx]x[/texx] ,  por ejemplo, par.

Y que si:  [texx]Y=y^2[/texx] ;  entonces  [texx]Y^2[/texx]  es el menor cuadrado posible que cumple que:  [texx]Y^2=z^4-x^4[/texx] .


Tendremos:

[texx](x^2)^2+Y^2=(z^2)^2[/texx]

Por lo tanto sé que serán soluciones del caso n = 2:

[texx]x^2=2pq[/texx]

[texx]Y=p^2-q^2[/texx]

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]

, para  [texx]p,q[/texx]  coprimos y  [texx]q[/texx] , por ejemplo, par.

Luego:

[texx]x=(2pq)^{\frac{1}{2}}\,\Rightarrow\,{p=p_1^2\,\,\wedge\,\,q=2q_1^2}[/texx]

Entonces:

[texx]x^2+z^2=(p+q)^2[/texx]

Y volverán a ser soluciones del caso n = 2:

[texx]x=2ab[/texx]

[texx]z=a^2-b^2[/texx]

[texx](p+q)=a^2+b^2[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y  [texx]b[/texx] , por ejemplo, par.

Tenemos entonces:

[texx]x=2ab\,=\,2p_1q_1\,\Rightarrow\,{\pmb{p_1q_1=ab}}[/texx]

[texx]p+q=a^2+b^2\,\Rightarrow\,{\pmb{p_1^2+2q_1^2=a^2+b^2}}[/texx]

Veamos que esto último no es posible.

Como resulta evidente que  [texx]p_1\neq a\,\,\wedge\,\,q_1\neq b[/texx] ,  supongamos entonces sin perder generalidad que: 

[texx]a=a_1\cdot a_2[/texx]

[texx]b=b_1\cdot b_2[/texx]

[texx]p_1=a_1\cdot b_1[/texx]

[texx]q_1=a_2\cdot b_2[/texx]

y establezcamos que el factor par está en  [texx]b_2[/texx] .

Desarrollo:

[texx]a_1^2b_1^2+2(a_2^2b_2^2)=a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2[/texx]

[texx]a_1^2a_2^2-a_1^2b_1^2=a_2^2b_2^2-b_1^2b_2^2+a_2^2b_2^2[/texx]

[texx]a_1^2(a_2^2-b_1^2)=b_2^2(a_2^2-b_1^2)+a_2^2b_2^2[/texx]

[texx]a_2^2b_2^2=(a_2^2-b_1^2)\,(a_1^2-b_2^2)[/texx]

Como  [texx]a_2^2\,\,\wedge\,\,b_2^2[/texx]  son coprimos y  [texx]a_2^2[/texx]  es coprimo con  [texx](a_2^2-b_1^2)[/texx]  y  [texx]b_2^2[/texx]  es coprimo con  [texx](a_1^2-b_2^2)[/texx] ;  entonces: 

[texx]a_2^2= a_1^2-b_2^2[/texx]

[texx]b_2^2= a_2^2-b_1^2[/texx]

Luego:

[texx]a_1^2= a_2^2+b_2^2[/texx]

[texx]b_1^2= a_2^2-b_2^2[/texx]

Y :

[texx]a_1^2b_1^2\,=\,p_1^2=a_2^4-b_2^4[/texx]

Pero  [texx]p_1^2\,<\,Y^2[/texx]  y cumple también ser un cuadrado impar resultado de una diferencia entre 2 cuartas potencias coprimas entre sí; lo que contradice el punto de partida.


(C)  Generalización


Sean  [texx]A,B,C,D[/texx]  enteros y  [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] ;  tales que  [texx](A,B)\,=\,(C,D)\,=\,1[/texx]  y  [texx]B\,\,\wedge\,\,D[/texx]  pares.

No puede darse al mismo tiempo:

[texx]\pmb{A\cdot B\,=\,C\cdot D\quad\wedge\quad A^{2n}+B^{2n}\,=\,C^{2n}+2\,D^{2n}}[/texx]


Demostración:

Como resulta evidente que  [texx]A^{2n}\neq C^{2n}\,\,\wedge\,\,B^{2n}\neq D^{2n}[/texx] ,  supongamos entonces sin perder generalidad que: 

[texx]A^{2n}=A_1^{2n}\cdot A_2^{2n}[/texx]

[texx]B^{2n}=B_1^{2n}\cdot B_2^{2n}[/texx]

[texx]C^{2n}=A_1^{2n}\cdot B_1^{2n}[/texx]

[texx]D^{2n}=A_2^{2n}\cdot B_2^{2n}[/texx]

y establezcamos que el factor par está en  [texx]B_2^{2n}[/texx] .

Desarrollo:

[texx]A_1^{2n}A_2^{2n}+B_1^{2n}B_2^{2n}=A_1^{2n}B_1^{2n}+2(A_2^{2n}B_2^{2n})[/texx]

[texx]A_1^{2n}A_2^{2n}-A_1^{2n}B_1^{2n}=A_2^{2n}B_2^{2n}-B_1^{2n}B_2^{2n}+A_2^{2n}B_2^{2n}[/texx]

[texx]A_1^{2n}(A_2^{2n}-B_1^{2n})=B_2^{2n}(A_2^{2n}-B_1^{2n})+A_2^{2n}B_2^{2n}[/texx]

[texx]A_2^{2n}B_2^{2n}=(A_2^{2n}-B_1^{2n})\,(A_1^{2n}-B_2^{2n})[/texx]

Como  [texx]A_2^{2n}\,\,\wedge\,\,B_2^{2n}[/texx]  son coprimos y  [texx]A_2^{2n}[/texx]  es coprimo con  [texx](A_2^{2n}-B_1^{2n})[/texx]  y  [texx]B_2^{2n}[/texx]  es coprimo con  [texx](A_1^{2n}-B_2^{2n})[/texx] ;  entonces: 

[texx]A_2^{2n}=A_1^{2n}-B_2^{2n}[/texx]

[texx]B_2^{2n}=A_2^{2n}-B_1^{2n}[/texx]

Luego:

[texx]A_1^{2n}= A_2^{2n}+B_2^{2n}[/texx]

[texx]B_1^{2n}= A_2^{2n}-B_2^{2n}[/texx]

Y :

[texx]A_1^{2n}B_1^{2n}\,=\,C^{2n}=A_2^{4n}-B_2^{4n}[/texx]

Pero esto equivale a decir que un cuadrado entero puede ser el resultado de la diferencia entre dos cuartas potencias enteras y coprimas entre sí; que es una generalización del caso n = 4 del UTF que es falso.


(D)  Corolario:


Sean  [texx]A,B,C,D[/texx]  enteros distintos y  [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] .

No puede darse al mismo tiempo:

[texx]\pmb{A\cdot B\,=\,C\cdot D\quad\wedge\quad A^{n}+B^{n}\,=\,C^{n}+D^{n}}[/texx]

Todo eso creo que está bien.

Esto último:

Demostración:

Si estas 2 igualdades son ciertas, entonces será verdadera esta otra:

[texx](A^n+B^n)^2-4A^nB^n\,=\,(C^n+D^n)^2-4C^nD^n[/texx]

Luego:

[texx]A^{2n}+B^{2n}+2A^{n}B^{n}-4A^{n}B^{n}\,=\,C^{2n}+D^{2n}+2C^{n}D^{n}-4C^{n}D^{n}[/texx]

[texx](A^n-B^n)^2\,=\,(C^n-D^n)^2\,\Rightarrow\,{A^n-B^n\,=\,C^n-D^n}[/texx]

Y :

[texx]A^n\,=\,B^n\,=\,C^n\,=\,D^n[/texx]

También está bien, pero no tiene mucho sentido llamarle "corolario" porque no se deduce de todo lo que has hecho antes. De hecho es un resultado general para números reales, ni siquiera face falta que sean enteros. Esencialmente que un par de números quedan inequívocamente determinados (salvo orden) conocida su suma y su producto.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 06/03/2017, 09:31:57 am »

Hola,



[texx]2q_1=2ab[/texx]

¿No sería ahí [texx]2q=2ab[/texx] en lugar de [texx]q_1[/texx]?.

Creo que lo puse bien, es que esa letra es un poco liosa:

Partimos de:  [texx]q=2q_1^2[/texx]  y que  [texx]2q[/texx]  es un cuadrado. Luego  [texx](2q)^{\frac{1}{2}}=(4q_1^2)^{\frac{1}{2}}=2q_1[/texx] .  Entonces:  [texx]2q_1=2ab\,\,\wedge\,\,q_1=ab[/texx]



Cita

(B)


Tendremos:

[texx](x^2)^2+Y^2=(z^2)^2[/texx]

 .  .  .  .

(C)

 .  .  .  .


Todo eso creo que está bien.

Muchas gracias por haberlo leído y revisado.


Esto último:

Cita
Demostración:

Si estas 2 igualdades son ciertas, entonces será verdadera esta otra:

[texx](A^n+B^n)^2-4A^nB^n\,=\,(C^n+D^n)^2-4C^nD^n[/texx]

Luego:

[texx]A^{2n}+B^{2n}+2A^{n}B^{n}-4A^{n}B^{n}\,=\,C^{2n}+D^{2n}+2C^{n}D^{n}-4C^{n}D^{n}[/texx]

[texx](A^n-B^n)^2\,=\,(C^n-D^n)^2\,\Rightarrow\,{A^n-B^n\,=\,C^n-D^n}[/texx]

Y :

[texx]A^n\,=\,B^n\,=\,C^n\,=\,D^n[/texx]

También está bien, pero no tiene mucho sentido llamarle "corolario" porque no se deduce de todo lo que has hecho antes. De hecho es un resultado general para números reales, ni siquiera face falta que sean enteros. Esencialmente que un par de números quedan inequívocamente determinados (salvo orden) conocida su suma y su producto.

Ok, esto sobra entonces.


Un saludo,
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  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
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« Respuesta #3 : 06/03/2017, 09:40:36 am »

Hola

Creo que lo puse bien, es que esa letra es un poco liosa:

Partimos de:  [texx]q=2q_1^2[/texx]  y que  [texx]2q[/texx]  es un cuadrado. Luego  [texx](2q)^{\frac{1}{2}}=(4q_1^2)^{\frac{1}{2}}=2q_1[/texx] .  Entonces:  [texx]2q_1=2ab\,\,\wedge\,\,q_1=ab[/texx]

Si, tienes razón. Está bien.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 06/03/2017, 09:47:09 am »

Muchas gracias como siempre

Cuando tenga un rato lo pongo en el artículo de la Revista del Foro que tengo sobre este tema


Un cordial saludo,
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« Respuesta #5 : 06/03/2017, 10:50:24 am »

Cuando tenga un rato lo pongo en el artículo de la Revista del Foro que tengo sobre este tema

Pero, en vez de hablar de balas, sería mejor que hablaras de proyectiles.   :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #6 : 06/03/2017, 04:22:48 pm »

Hola Carlos,


Pero, en vez de hablar de balas, sería mejor que hablaras de proyectiles.   :sonrisa_amplia:

jejeje

El título del hilo no es muy afortunado. El que tenía pensado era algo así como: "Una bala de plata para el n = 4"; pero no me parecieron las soluciones que encontré lo suficientemente originales para merecerlo.

No sé qué hacer aún con este tema, si dejarlo definitivamente o no. Aritméticamente poco hay ya que decir, aunque siempre se podrán encontrar más variaciones. Y profundizar más supone dar un salto cualitativo. Pongo un ejemplo. En n = 4 describe que sobre una recta de números existirán infinitos "cuadrados" a una misma distancia al cuadrado de otros 2 cuadrados. Es fácil vislumbrar que esta recta de números no puede ser la de los enteros. Pero es que tampoco es la de los racionales. La "precisión" que exige esto es a un nivel no numerable y aquí sí que le sigo viendo cierto morbo al tema. Me gustaría saber de un modo más fino -mucho más- por qué la recta de los números racionales no satisface este nivel de "exactitud" que nos propone el caso del Teorema cuando n = 4. Son cosas muy abstractas difíciles de meter en los cuantos de los números. Quizás necesite dar un garbeo por ahí fuera (de los números) un poco más de tiempo para luego volver. No sé


Un saludo Jefe
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« Respuesta #7 : 07/03/2017, 05:42:53 am »

Yo tengo una pregunta trascendental en este tema......
¿Por qué tengo yo la culpa?
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« Respuesta #8 : 07/03/2017, 05:55:25 am »

¡Vaya! Creí que se entendió la broma. Me refería a que gracias al hilo que escribiste ("Una absurda idea geométrica"), volví a darle vueltas sobre este tema. Dejé de estudiar otras cosas (que no son matemáticas) momentáneamente, para volver a otros tiempos. Siento si he provocado un malentendido
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« Respuesta #9 : 07/03/2017, 06:01:44 am »

No te preocupes. Me lo imaginaba.
Me alegra que lo hubieras leído aunque fuera una idea absurda.
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« Respuesta #10 : 07/03/2017, 10:43:34 am »

Hola, sé que soy pesado; pero me cuesta abandonar este tema todavía.


Me he puesto a pensar en la respuesta que puse ayer y me he dado cuenta de lo fácil que es averiguar por qué no es posible que un cuadrado esté a una misma distancia al cuadrado de otros 2.

Que un cuadrado esté a una misma distancia de otros 2 cuadrados es perfectamente posible; basta pensar "25" respecto de "1" y "49"; el problema radica en que esta distancia sea a su vez un cuadrado.


Generalicemos:


Sean  [texx]A^2,B^2,C^2[/texx]  tres cuadrados enteros coprimos 2 a 2 que estén a una misma distancia  " [texx]d^2[/texx] " 2 de ellos:





Tendremos:

[texx]A^2+d^2=B^2\quad\wedge\quad B^2+d^2=C^2[/texx]

Y a partir de aquí podremos resolver de 2 maneras rápidas:


La primera es decir que estamos ante 2 ternas pitagóricas solución del caso del UTF para n = 2 con 2 elementos en común; lo que resulta ser una falsedad como demostró nuestro colega mente oscura <A HREF="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76985.msg307016#msg307016">Aquí</A>.

La segunda es desarrollar estas 2 ternas pitagóricas como sigue:

Puesto que:

[texx]A=a^2-b^2[/texx]

[texx]d=2ab[/texx]  (por ejemplo)

[texx]B=a^2+b^2[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Y :

[texx]B=c^2-d^2[/texx]

[texx]d=2cd[/texx]  (por ejemplo)

[texx]C=c^2+d^2[/texx]

, para  [texx]c,d[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Entonces:

[texx]ab=cd[/texx]

[texx]a^2+b^2=c^2-d^2[/texx]

Y como no puede ser que, por ejemplo  [texx]a[/texx]  sea igual a  [texx]c[/texx]  y  [texx]b[/texx]  sea igual a  [texx]d[/texx] ; convendremos sin perder generalidad que:

[texx]a=a_1\cdot{a_2}[/texx]

[texx]b=b_1\cdot{b_2}[/texx]

[texx]c=a_1\cdot{b_1}[/texx]

[texx]d=a_2\cdot{b_2}[/texx]

Y :

[texx]a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2\,=\,a_1^2b_1^2-a_2^2b_2^2[/texx]

[texx]a_1^2a_2^2-a_1^2b_1^2\,=\,-(a_2^2b_2^2+b_1^2b_2^2)[/texx]

[texx]a_1^2(a_2^2-b_1^2)\,=\,-b_2^2(a_2^2+b_1^2)[/texx]

Y como  [texx]a_1^2[/texx]  es coprimo con  [texx]-b_2^2[/texx] ;  entonces:

[texx]a_2^2+b_1^2=k\cdot{a_1^2}[/texx]

[texx]a_2^2-b_1^2=-k\cdot{b_2^2}[/texx]

(basta pensar que  [texx]a_2^2[/texx]  es menor que  [texx]b_1^2[/texx] )

Luego:  [texx]-k^2a_1^2b_2^2\,=\,a_2^4-b_1^4[/texx]

Pero esto equivale a decir que un cuadrado entero puede ser el resultado de la diferencia entre dos cuartas potencias enteras y coprimas entre sí; que es una generalización del caso n = 4 del UTF que es falso.


Un saludo,


(creo que no me he equivocado, lo he hecho sobre la marcha)

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« Respuesta #11 : 07/03/2017, 02:00:59 pm »

Hola

Me he puesto a pensar en la respuesta que puse ayer y me he dado cuenta de lo fácil que es averiguar por qué no es posible que un cuadrado esté a una misma distancia al cuadrado de otros 2.

Que un cuadrado esté a una misma distancia de otros 2 cuadrados es perfectamente posible; basta pensar "25" respecto de "1" y "49"; el problema radica en que esta distancia sea a su vez un cuadrado.


Generalicemos:


Sean  [texx]A^2,B^2,C^2[/texx]  tres cuadrados enteros coprimos 2 a 2 que estén a una misma distancia  " [texx]d^2[/texx] " 2 de ellos:





Tendremos:

[texx]A^2+d^2=B^2\quad\wedge\quad B^2+d^2=C^2[/texx]

Y a partir de aquí podremos resolver de 2 maneras rápidas:


La primera es decir que estamos ante 2 ternas pitagóricas solución del caso del UTF para n = 2 con 2 elementos en común; lo que resulta ser una falsedad como demostró nuestro colega mente oscura <A HREF="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76985.msg307016#msg307016">Aquí</A>.

La segunda es desarrollar estas 2 ternas pitagóricas como sigue:

Puesto que:

[texx]A=a^2-b^2[/texx]

[texx]d=2ab[/texx]  (por ejemplo)

[texx]B=a^2+b^2[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Y :

[texx]B=c^2-d^2[/texx]

[texx]d=2cd[/texx]  (por ejemplo)

[texx]C=c^2+d^2[/texx]

, para  [texx]c,d[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Entonces:

[texx]ab=cd[/texx]

[texx]a^2+b^2=c^2-d^2[/texx]

Y como no puede ser que, por ejemplo  [texx]a[/texx]  sea igual a  [texx]c[/texx]  y  [texx]b[/texx]  sea igual a  [texx]d[/texx] ; convendremos sin perder generalidad que:

[texx]a=a_1\cdot{a_2}[/texx]

[texx]b=b_1\cdot{b_2}[/texx]

[texx]c=a_1\cdot{b_1}[/texx]

[texx]d=a_2\cdot{b_2}[/texx]

Y :

[texx]a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2\,=\,a_1^2b_1^2-a_2^2b_2^2[/texx]

[texx]a_1^2a_2^2-a_1^2b_1^2\,=\,-(a_2^2b_2^2+b_1^2b_2^2)[/texx]

[texx]a_1^2(a_2^2-b_1^2)\,=\,-b_2^2(a_2^2+b_1^2)[/texx]

Y como  [texx]a_1^2[/texx]  es coprimo con  [texx]-b_2^2[/texx] ;  entonces:

[texx]a_2^2+b_1^2=k\cdot{a_1^2}[/texx]

[texx]a_2^2-b_1^2=-k\cdot{b_2^2}[/texx]

(basta pensar que  [texx]a_2^2[/texx]  es menor que  [texx]b_1^2[/texx] )

Luego:  [texx]-k^2a_1^2b_2^2\,=\,a_2^4-b_1^4[/texx]

Pero esto equivale a decir que un cuadrado entero puede ser el resultado de la diferencia entre dos cuartas potencias enteras y coprimas entre sí; que es una generalización del caso n = 4 del UTF que es falso.

 Está bien; pero si quieres aludir a esa versión extendida del UTF n=4  lo puedes hacer directamente desde el principio.

 Si [texx]A^2+d^2=B^2[/texx] y [texx]B^2+d^2=C^2[/texx] entonces:

[texx] (B^2-d^2)(B^2+d^2)=A^2C^2[/texx]
[texx] B^4-D^4=(AC)^2[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #12 : 07/03/2017, 02:22:24 pm »

Hola,


Está bien; pero si quieres aludir a esa versión extendida del UTF n=4  lo puedes hacer directamente desde el principio.

 Si [texx]A^2+d^2=B^2[/texx] y [texx]B^2+d^2=C^2[/texx] entonces:

[texx] (B^2-d^2)(B^2+d^2)=A^2C^2[/texx]
[texx] B^4-D^4=(AC)^2[/texx]


Llevas razón, ¡qué sencillo es!   :rodando_los_ojos:   Todavía me acuerdo cuando hace unos años me enfrentaba a este problema y le daba vueltas a eso de que un cuadrado estaba a una misma distancia al cuadrado de otros 2 ...  ¡Trabajo que se puede ahorrar quien entre de nuevas! 
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« Respuesta #13 : 07/03/2017, 03:15:46 pm »

Se me ocurre una buena (creo) pregunta de examen:

Sean  [texx]a,b,c[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y uno de ellos par, ¿en qué condiciones no podrá darse nunca que:  [texx]a^2+b^2=c^2-b^2[/texx] ?


Respuesta:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)




Añadido

Esta pregunta es incluso mejor (o peor)




Sean  [texx]A^2,B^2,C^2[/texx]  tres cuadrados enteros coprimos 2 a 2 y uno de ellos par. Sabiendo que la diferencia entre el área del cuadrado mayor con la del cuadrado que le sigue en tamaño ([texx]C^2[/texx]) y la diferencia entre el área de éste [texx](C^2)[/texx] con la del cuadrado que le sigue anterior ([texx]B^2[/texx]), son exactamente iguales al área del cuadrado más pequeño [texx]A^2[/texx] . Determinar si los lados del cuadrado más grande  [texx](D^2)[/texx]  pueden ser enteros o no.


Respuesta

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Sdos,

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« Respuesta #14 : 07/03/2017, 07:56:58 pm »

Hola

Se me ocurre una buena (creo) pregunta de examen:

Sean  [texx]a,b,c[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y uno de ellos par, ¿en qué condiciones no podrá darse nunca que:  [texx]a^2+b^2=c^2-b^2[/texx] ?


Respuesta:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Pero me parece una pregunta muy rebuscada y una respuesta poco natural. Yo te preguntaría, ¿es el único caso en el que no tiene solución?. Es decir ¿si [texx]d[/texx] no es un cuadrado siempre existen enteros coprimos tales que [texx]a^2+b^2=c^2-b^2=d[/texx]? (la respuesta es claramente NO, aunque no tengo caracterizados totalmente para que distancias se cumple).

Si a uno le plantean la ecuación [texx]a^2+b^2=c^2-b^2[/texx] lo natural es intentar resolverla. Y se puede. La ecuación equivale a:

[texx]c^2-a^2=2b^2[/texx]

Ahora si [texx]2b^2=pq[/texx] con [texx]p,q[/texx] pares, tomando [texx]c-a=q[/texx] y [texx]c+a=p[/texx] se consigue una tal solución:

[texx]c=\dfrac{p+q}{2},\qquad a=\dfrac{p-q}{2}[/texx]

Si además queremos que a,c sean coprimos. Entonce es fácil ver que [texx]p=2b_1^2[/texx] y [texx]q=b_2^2[/texx] o al revés, con [texx]b_1[/texx] y [texx]b_2[/texx] coprimos, y [texx]b_1[/texx] impar y [texx]b_2[/texx] par.

En ese caso:

[texx]c=\dfrac{2b_1^2+b_2^2}{2},\qquad a=\dfrac{2b_1^2-b_2^2}{2}[/texx]

ó:

[texx]c=\dfrac{b_2^2+2b_1^2}{2},\qquad a=\dfrac{b_1^2-2b_2^2}{2}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #15 : 08/03/2017, 05:37:01 am »

Hola el_manco,

Llevas razón, esa pregunta y respuesta me salieron demasiado forzadas. Gracias por la información
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« Respuesta #16 : 16/03/2017, 12:18:18 pm »

Hola,


De esta demostración que pongo a continuación, relacionada con el caso para n = 4 del UTF, no estoy seguro; por eso no la pongo en Spoiler.


Dados  [texx]a,b[/texx]  enteros, coprimos ý  [texx]b[/texx]  par. Sostengo que si  "[texx]\alpha[/texx]"  es entero; no es posible:  [texx]\alpha^2\,=\,(a+b)^2+a^2b^2[/texx]


Demostración:


Como   [texx]ab[/texx]  es coprimo con   [texx]a+b[/texx]  y   [texx]\alpha[/texx]  es impar; estamos ante una ecuación que cumple con los requisitos del caso n = 2 del UTF, cuyas soluciones serán:

[texx]ab=2cd [/texx]

[texx]a+b=c^2-d^2[/texx]

[texx]\alpha=c^2+d^2[/texx]

, para  [texx]c,d[/texx]  coprimos y  [texx]d[/texx] ,  por ejemplo, par.

Tendremos entonces sustituyendo que:  [texx]\alpha^2=(c^2-d^2)^2+4c^2d^2[/texx] .

Si  [texx]\alpha^2=\Delta[/texx] ,  para  [texx]\Delta=B^2-4AC[/texx] ,  el discriminante de una ecuación bicuadrática de coeficientes y resultado enteros:  [texx]Ae^4+Be^2+C=0[/texx] ;  siempre podrá decirse que se trata de:  [texx]e^4+(c^2-d^2)e^2-c^2d^2=0\,\,\wedge\,\,\Delta=(c^2-d^2)^2-4(1)(-c^2d^2)[/texx] ;  para un  "[texx]e[/texx]"  impar resultado de:  [texx]\pm e_1^2=\displaystyle\frac{-B+\sqrt[ ]{\Delta}}{2A}[/texx]  ó  [texx]\pm e_2^2=\displaystyle\frac{-B-\sqrt[ ]{\Delta}}{2A}[/texx] ;  dado que  [texx]B\,\wedge\,\sqrt[ ]{\Delta}[/texx]  serán impares.

Luego:

[texx]e^2(e^2+c^2-d^2)=c^2d^2\,\,\wedge\,\,\displaystyle\frac{c^2d^2}{e^2}=e^2+c^2-d^2[/texx]

Si llamo ahora:  [texx]f^2=e^2+c^2-d^2[/texx] ,  tendré:

[texx]c^2d^2=e^2f^2\quad\wedge\quad c^2-d^2=f^2-e^2[/texx]

Y entonces:  [texx]c^2=d^2=e^2=f^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]par=impar[/texx]


Un saludo,
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« Respuesta #17 : 17/03/2017, 06:55:34 am »

Hola

Dados  [texx]a,b[/texx]  enteros, coprimos ý  [texx]b[/texx]  par. Sostengo que si  "[texx]\alpha[/texx]"  es entero; no es posible:  [texx]\alpha^2\,=\,(a+b)^2+a^2b^2[/texx]

Como primer comentario y quizá lo más contundente, el resultado es falso porque existen contraejemplos...  :cara_de_queso:

Por ejemplo si tomas [texx]a=65[/texx] y [texx]b=4[/texx] entonces:

[texx](65+4)^2+65^2\cdot 4^2=269^2[/texx]

Cita
Como   [texx]ab[/texx]  es coprimo con   [texx]a+b[/texx]  y   [texx]\alpha[/texx]  es impar; estamos ante una ecuación que cumple con los requisitos del caso n = 2 del UTF, cuyas soluciones serán:

[texx]ab=2cd [/texx]

[texx]a+b=c^2-d^2[/texx]

[texx]\alpha=c^2+d^2[/texx]

, para  [texx]c,d[/texx]  coprimos y  [texx]d[/texx] ,  por ejemplo, par.

Tendremos entonces sustituyendo que:  [texx]\alpha^2=(c^2-d^2)^2+4c^2d^2[/texx] .

Si  [texx]\alpha^2=\Delta[/texx] ,  para  [texx]\Delta=B^2-4AC[/texx] ,  el discriminante de una ecuación bicuadrática de coeficientes y resultado enteros:  [texx]Ae^4+Be^2+C=0[/texx] ;  siempre podrá decirse que se trata de:  [texx]e^4+(c^2-d^2)e^2-c^2d^2=0\,\,\wedge\,\,\Delta=(c^2-d^2)^2-4(1)(-c^2d^2)[/texx] ;  para un  "[texx]e[/texx]"  impar resultado de:  [texx]\pm e_1^2=\displaystyle\frac{-B+\sqrt[ ]{\Delta}}{2A}[/texx]  ó  [texx]\pm e_2^2=\displaystyle\frac{-B-\sqrt[ ]{\Delta}}{2A}[/texx] ;  dado que  [texx]B\,\wedge\,\sqrt[ ]{\Delta}[/texx]  serán impares.

No es cierto que [texx]e_1,e_2[/texx] tengan que ser impares. Son cociente de un número par (diferencia de impares) por otro número par y no podemos asegurar nada sobre su paridad.

Cita
Luego:

[texx]e^2(e^2+c^2-d^2)=c^2d^2\,\,\wedge\,\,\displaystyle\frac{c^2d^2}{e^2}=e^2+c^2-d^2[/texx]

Si llamo ahora:  [texx]f^2=e^2+c^2-d^2[/texx] ,  tendré:

[texx]c^2d^2=e^2f^2\quad\wedge\quad c^2-d^2=f^2-e^2[/texx]

Y entonces:  [texx]c^2=d^2=e^2=f^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]par=impar[/texx]

Es cierto que [texx]c^2=f^2[/texx] y [texx]d^2=e^2[/texx] pero no sé porque igualas los cuatro números.

De hecho [texx]e=d[/texx] es trivialmente solución de:

[texx]e^4+(c^2-d^2)e^2-c^2d^2=0[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #18 : 17/03/2017, 09:29:21 am »

Hola,


No es cierto que [texx]e_1,e_2[/texx] tengan que ser impares. Son cociente de un número par (diferencia de impares) por otro número par y no podemos asegurar nada sobre su paridad.

Ok. Pero por lo menos podemos asegurar que es entero, que es lo principal y no el resultado imposible (para ser entero) de una razón, por ejemplo, del tipo:  [texx]\dfrac{Impar}{Par}[/texx]


Es cierto que [texx]c^2=f^2[/texx] y [texx]d^2=e^2[/texx] pero no sé porque igualas los cuatro números.

De hecho [texx]e=d[/texx] es trivialmente solución de:

[texx]e^4+(c^2-d^2)e^2-c^2d^2=0[/texx]

Aquí es donde ha estado el verdadero ERROR de la demostración. Ya me parecía a mí una contradicción muy grosera esta, pero lo cierto es que me la he comido


Saludos,
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« Respuesta #19 : 17/03/2017, 09:41:16 am »

Hola

Ok. Pero por lo menos podemos asegurar que es entero, que es lo principal y no el resultado imposible (para ser entero) de una razón, por ejemplo, del tipo:  [texx]\dfrac{Impar}{Par}[/texx]

No exactamente tal como lo expresas; no podemos asegurar (no al menos con ese argumento) que sea entero. El cociente entre dos números pares podría no serlo.

Podemos afirmar que es entero si [texx]A=1[/texx].

Saludos.
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