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Autor Tema: Mínimo único de una función:  (Leído 4599 veces)
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sanmath
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« : 28 Febrero, 2017, 18:24 »

Hola necesito mostrar que el mínimo de la siguiente función se alcanza en [texx]x_m=sign(c)(|c|-\lambda)^{+}[/texx]

La funcíón que tengo es la siguiente:
[texx]h(x)=\frac{(x-c)^2}{2}+\lambda|x|[/texx] on [texx]\lambda>0[/texx] y [texx]c\in\mathbb{R}[/texx]

Para esto estoy haciendo lo siguiente:
He leído un teorema que dice que una función si es estrictamente convexa entonces esta tiene un mínimo único.
Entonces primero he tratado de probar que la función dada es estrictamente convexa.  Sin embargo no he llegado a nada concluyente, he tratado usando la definición usual. Es decir:
Tratar de probar que
[texx]h(tx+(1-t)y)<th(x)+(1-t)h(y)[/texx].
O a su vez mostrando que dado que se tiene la suma de dos funciones, y la suma de dos funciones convexa es convexa ya tendría el resultado.

Pero en primer lugar no tengo claro como mostrar que  [texx]h_1(x)=\frac{(x-c)^2}{2}[/texx], pues no me sale usando directamente la definición.

Luego he tratado de calcular el mínimo de la función pero tengo un par de problemas.
Tengo lo siguiente:

1) Primero calculo la derivada e igualo a cero para hallar los puntos críticos:

[texx]h'(x)=(x-c)+\lambda\frac{x}{|x|}=0[/texx],  haciendo un análisis de esto, tengo que si [texx]x=0[/texx], entonces [texx]h'(x)[/texx]  no está definida. Ahora considero si [texx]x>0[/texx] o si [texx] x<0[/texx].

En primer lugar si [texx]x>0[/texx] tengo [texx]x=c-\lambda[/texx], si [texx]x<0[/texx] tengo [texx]x=c+\lambda[/texx], con esto tengo una parte de lo que necesito, a continuación calculo la segunda derivada y obtengo [texx]h''(x)=1[/texx] para todo [texx]x\in\mathbb{R}[/texx].

Pero a partir de esto no sé como concluir para obtener que el mínimo es [texx]x_m=sign(c)(|c|-\lambda)^{+}[/texx].

Notar que   [texx](a)^+=max(a,0)[/texx].


Saludos
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« Respuesta #1 : 28 Febrero, 2017, 20:44 »

Nota que la función no es derivable en [texx]x = 0[/texx]. Debes comparar los valores obtenidos donde se anula la derivada con los valores donde la derivada no existe. Y con los extremos del intervalo, si fuera el caso, que no es este.

Saludos,
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« Respuesta #2 : 28 Febrero, 2017, 20:45 »

Hola.

Observa que si [texx]x > 0[/texx] entonces [texx]x = c - \lambda [/texx] pero [texx]\lambda > 0[/texx] luego [texx]c > \lambda[/texx]. Entonces [texx]c > 0[/texx] luego [texx] c - \lambda = 1 \cdot (c - \lambda) = \mbox{sign}(c) (|c| - \lambda)[/texx]. Si [texx]x < 0[/texx] entonces [texx]x = c + \lambda [/texx] luego [texx]c <- \lambda[/texx]. Entonces, [texx]c < 0[/texx] de modo que [texx][/texx]  [texx]c + \lambda =- |c| + \lambda  = - (|c| - \lambda) = \mbox{sign}(x) (|c| - \lambda)[/texx]. En cuanto a la convexidad, como [texx]h''(x) > 1[/texx] entonces la función es estrictamente convexa pues [texx]h'[/texx] es estrictamente creciente (¿tienes que demostrar este resultado?), luego el mínimo es absoluto.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 01 Marzo, 2017, 02:20 »

Muchas grcias por su ayuda,
Ahora estoy tratando de probar lo siguiente:

Mostrar que [texx]h(x)-h(x_m)\geq \frac{(x-x_m)^2}{2}[/texx]

He comenzado desde el lado izquierdo de la desigualdad y he obtenido lo siguiente:

[texx]\frac{(x-c)^2}{2}-\frac{(x_m-c)^2}{2}+\lambda|x|-\lambda|x_m|[/texx]
Luego tendría que:
[texx]x^2-2xc+c^2-(x_{m}^2-2x_{m}c+c^2)+\lambda|x|-\lambda|x_m|[/texx]

Con esto he agrupado de la sigueinte manera:

[texx]x^2-x_{m}^2-2(x-x_m)+\lambda(|x|-|x_m|)[/texx]

y como [texx]x_m[/texx]  es mínimo, tengo que:

[texx](x-x_m)((x+x_m)-2c+\lambda)[/texx]

Sin embargo no he podido concluir.

Muchas gracias por su ayuda.
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« Respuesta #4 : 01 Marzo, 2017, 04:21 »

Hola.

Yo llego a esto: simplificando a partir de aquí [texx]f(x) = \dfrac{1}{2}(x^2-2xc+c^2-(x_{m}^2 -2x_{m}c+c^2))+\lambda|x|-\lambda|x_m|[/texx] tenemos que [texx] f(x) = \dfrac{x^2 - x_m^2}{2} -c(x-x_m) + \lambda(|x|-|x_m|)[/texx]. Bien, supongamos que [texx]x > 0[/texx], entonces  [texx]c > \lambda[/texx] y

[texx]f(x) = \dfrac{x^2 - x_m^2}{2} -c(x+\lambda-c) + \lambda(x-|\lambda-c|) = \dfrac{x^2 - x_m^2}{2} -c(x+\lambda-c) + \lambda(x+\lambda-c) = \dfrac{x^2 - x_m^2}{2} + (x+\lambda-c) (\lambda - c)  [/texx]. Como [texx]\lambda - c < 0[/texx] entonces para que [texx]f(x) \geq \dfrac{x^2 - x_m^2}{2}[/texx] debe cumplirse que [texx] (x+\lambda-c) (\lambda - c) \geq 0[/texx] y eso se cumple si [texx]x \leq c - \lambda [/texx]. O sea, llego a esa nueva condición.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 01 Marzo, 2017, 04:41 »

Hola.

Observa que si [texx]x > 0[/texx] entonces [texx]x = c - \lambda [/texx] pero [texx]\lambda > 0[/texx] luego [texx]c > \lambda[/texx]. Entonces [texx]c > 0[/texx] luego [texx] c - \lambda = 1 \cdot (c - \lambda) = \mbox{sign}(c) (|c| - \lambda)[/texx]. Si [texx]x < 0[/texx] entonces [texx]x = c + \lambda [/texx] luego [texx]c <- \lambda[/texx]. Entonces, [texx]c < 0[/texx] de modo que [texx][/texx]  [texx]c + \lambda =- |c| + \lambda  = - (|c| - \lambda) = \mbox{sign}(x) (|c| - \lambda)[/texx]. En cuanto a la convexidad, como [texx]h''(x) > 1[/texx] entonces la función es estrictamente convexa pues [texx]h'[/texx] es estrictamente creciente (¿tienes que demostrar este resultado?), luego el mínimo es absoluto.

Saludos.

Hola Samir M, gracias por tu ayuda, no entiendo que faltaría para que el mínimo sea:

[texx]sign(c)(|c|-\lambda)^+[/texx]?

en tu respuesta falta el símbolo [texx]+[/texx] a la derecha, no se si eso talvez cambie el resultado de la otra respuesta también?

Saludos
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« Respuesta #6 : 01 Marzo, 2017, 04:53 »

Da lo mismo, pues [texx]x\neq 0[/texx] luego [texx]\cancel{x = \max\{\mbox{sign}(x) (|c| - \lambda),0\} = \mbox{sign}(x) (|c| - \lambda)}[/texx].

Ah, acabo de darme cuenta de que [texx](a)^+=max(a,0)[/texx] se refiere al máximo del intervalo, no al máximo de esos dos elementos. ¡Vaya! Tengo que repasar las respuestas para ver cómo cambian, pero la respuesta #3 no creo que lo haga. Ahora mismo no tengo ya más tiempo, que me caigo de sueño, más tarde lo reviso a ver.

Añadido: ahora tengo dudas sobre a qué se refiere [texx](a)^+=max(a,0)[/texx]. ¿Podrías concretar más? [texx](a)^+=max(a,0) = 0[/texx] siempre.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 01 Marzo, 2017, 05:09 »

Es el máximo de ambos elementos, si [texx]a>0[/texx]  es [texx]a[/texx], caso contrario es 0
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« Respuesta #8 : 01 Marzo, 2017, 06:33 »

La función [texx]h(x)[/texx] es continua en todo [texx]\mathbb{R}[/texx] y derivable en [texx]\mathbb{R}-{0}[/texx]:

[texx]h(x) = \begin{cases}\frac{(x-c)^2}{2}-\lambda x & \text{si}& x<0\\ \frac{(x-c)^2}{2}+\lambda x & \text{si}& x\geq{}0\end{cases}[/texx]

[texx]h'(x) = \begin{cases}x-c-\lambda & \text{si}& x<0\\ x-c+\lambda & \text{si}& x>0\end{cases}[/texx]

[texx]h''(x) = 1 \text{ si } x\neq{0}[/texx]

Como [texx]\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{h(x)}=+\infty[/texx], la función debe presentar al menos un mínimo, y como [texx]h''(x) = 1>0 \text{ si } x\neq{0}[/texx], habrá un mínimo dondequiera que se anule la derivada.


Entonces,

[texx]h'(x) = 0 \Rightarrow{} \cancel {f(x)=}\begin{cases}x=c+\lambda & \text{si}& x<0 \Rightarrow{} c < -\lambda, \,c<0\\x=c-\lambda & \text{si}& x > 0 \Rightarrow{} c > \lambda,\,c>0\end{cases}[/texx]

Ese [texx]f(x)=[/texx] estaba ahí por accidente.

Por tanto, hay un mínimo en el que la función es derivable si [texx]\left |{c}\right |-\lambda > 0[/texx]. En ese mínimo la función vale

[texx]h_{min\,der} = \left\{ \begin{array}- \lambda c - \frac{\lambda^2}{2} = \lambda\left(-c - \frac{\lambda}{2}\right)& \text{si}& c < 0\\  \lambda c - \frac{\lambda^2}{2} =\lambda\left(c - \frac{\lambda}{2}\right)& \text{si}& c > 0 \end{array}\right\}= \lambda\left(|c| - \frac{\lambda}{2} \right)\leq{} \frac{c^2}{2} = h(0) [/texx]

Si [texx]\left |{c}\right |-\lambda <= 0[/texx], el mínimo se presenta en [texx]x = 0[/texx] y vale [texx]h_{min} = \frac{c^2}{2}[/texx].

En definitiva, efectivamente siempre hay un único mínimo que se presenta en [texx]x_m=sign(c)(|c|-\lambda)^{+}[/texx]

Saludos,
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« Respuesta #9 : 01 Marzo, 2017, 17:29 »

Es el máximo de ambos elementos, si [texx]a>0[/texx]  es [texx]a[/texx], caso contrario es 0

Hola. Entonces mis respuestas no cambian, todo es correcto, creo.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 07 Marzo, 2017, 14:32 »



En definitiva, efectivamente siempre hay un único mínimo que se presenta en [texx]x_m=sign(c)(|c|-\lambda)^{+}[/texx]


Hola Ilarrosa, gracias por tu ayuda, pero todavía no tengo claro en que momento  utilizas que el [texx]max(|c|-\lambda,0)=(|c|-\lambda)+?[/texx]

Cómo concluyes eso?

Saludos
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« Respuesta #11 : 07 Marzo, 2017, 15:09 »



En definitiva, efectivamente siempre hay un único mínimo que se presenta en [texx]x_m=sign(c)(|c|-\lambda)^{+}[/texx]


Hola Ilarrosa, gracias por tu ayuda, pero todavía no tengo claro en que momento  utilizas que el [texx]max(|c|-\lambda,0)=(|c|-\lambda)+?[/texx]

Cómo concluyes eso?

Saludos

No te entiendo, eso lo defines tu así en la respuesta #7:

Es el máximo de ambos elementos, si [texx]a>0[/texx]  es [texx]a[/texx], caso contrario es 0

Saludos,
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« Respuesta #12 : 07 Marzo, 2017, 15:26 »

Es que no entiendo en que momento concluyes que el mínimo es [texx]sign(c)(|c|-\lambda)+[/texx], tengo claro hasta que se concluye que el mínimo es [texx]sign(c)(|c|-\lambda)[/texx], pero y luego de donde saldría [texx]sign(c)max(|c|-\lambda,0)[/texx]?

Saludos
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« Respuesta #13 : 07 Marzo, 2017, 15:37 »

Es que no entiendo en que momento concluyes que el mínimo es [texx]sign(c)(|c|-\lambda)+[/texx], tengo claro hasta que se concluye que el mínimo es [texx]sign(c)(|c|-\lambda)[/texx], pero y luego de donde saldría [texx]sign(c)max(|c|-\lambda,0)[/texx]?


Es que si [texx]|c|-\lambda < 0[/texx], la derivada no se anula nunca, y es negativa para [texx]x < 0[/texx] y positiva para [texx]x > 0[/texx]. Se tiene entonces un mínimo en el punto en que [texx]f(x)[/texx] no es derivable, en [texx]x = 0[/texx].

Saludos,
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