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Autor Tema: Paso [n+1], inducción.  (Leído 603 veces)
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Samir M.
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« : 17/02/2017, 01:25:22 pm »

Hola.

Aprovechando la respuesta de feriva en este post, voy a plantear una cuestión sobre inducción que siempre me ha chirriado (y que, espero, aclare algo las cosas). Cuando demostramos algo por inducción, los pasos son sencillos: 1) se comprueba si es cierto para un caso particular, 2) se supone que es cierto para un [texx]n[/texx] y 3) se intenta probar que también se cumple para [texx]n+1[/texx]. En la respuesta de feriva, para demostrar el caso [texx]n+1[/texx] se está usando un signo de igualdad que es a lo que se trata de llegar. Es decir, se está dando como cierta la igualdad que se quiere probar y se está operando con ella:

restando los miembros de la derecha de las igualdades, después los de la izquierda e igualando puedes seguir

(operando como sugiere feriva se llega a lo deseado, pero considero que no es correcto hacerlo de esa manera, considero que carece de rigor. En mi opinión, se tendría que haber dicho algo así como: 'Bueno, usando nuestra hipótesis de inducción en nuestra expresión del caso [texx]n+1[/texx] se llega a que [texx]\dfrac{(n+1)}{2n+3}-\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}[/texx])

Esto lo he visto casi en todos los libros y siempre me ha chirriado pero nunca he podido llegar a nada en claro. Para demostrar el caso [texx]n+1[/texx] yo no pondría una relación como es el signo igual, porque, puesto que es lo que quiero probar, a priori no debería saber nada del tipo de relación que guardan ambas igualdades. Para el caso [texx]n+1[/texx], podría algo así como [texx]\mbox{blabla} \stackrel{?}=\mbox{blabla'}[/texx] o [texx]\mbox{blabla } \square \mbox{ blabla'}[/texx] (y aquí es cuando me doy cuenta que echo de menos un símbolo matemático que represente esta idea: no saber qué relación hay entre dos términos). Por tanto, no usaría esta relación en el modo que la ha usado feriva, considero que es incorrecto. Quería saber vuestras opiniones al respecto de este tema.

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
KarimJerez
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« Respuesta #1 : 17/02/2017, 01:53:37 pm »

Buenas tardes, yo tampoco usaría esa igualdad por la misma razón que tú. Intentaría llegar a esa igualdad pero no suponer que lo de la izquierda es igual a lo que se quiere ver..
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #2 : 17/02/2017, 02:05:50 pm »

No veo ninguna falta de rigor en el argumento de feriva, por lo menos si se explica bien lo que hace.

En esencia es:

Por hipótesis de inducción tenemos una igualdad [texx]A=B[/texx].

Y queremos demostrar otra igualdad [texx]A'=B'[/texx].

Entonces feriva dice: probar [texx]A'=B'[/texx] es equivalente a probar [texx]A'-A=B'-B[/texx], lo cual es cierto. Y luego demuestra  [texx]A'-A=B'-B[/texx], lo que cierra el argumento.
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delmar
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« Respuesta #3 : 17/02/2017, 02:22:50 pm »

Hola

Se adelanto Carlos Ivorra; pero aún así, lo explico como otra variedad.

Lo que hace feriva, no es una inducción pura; utiliza un método adicional; pero  es válido.

El quiere demostrar que la verdad de una proposición para n implica la verdad de la proposición para n+1. Es la inducción, generalmente por deducciones se llega a demostrar directamente la verdad de la proposición para n+1, eso es lo que se considera una inducción pura.

En este caso el no demuestra directamente por deducciones la verdad de la proposcion para n+1; busca una proposición equivalente a la proposición para n+1 y luego demuestra la equivalente. Es válido y con rigor; pero ya no es un metodo inductivo puro, esta utilizando también el método del teorema equivalente.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #4 : 17/02/2017, 05:13:00 pm »


Hola a todos.

Lo que pasa es que, como dice Carlos, no argumento lo que hago; lo dejo sin decir, pero diciéndolo sería así:

Una vez visto que se cumple para 1 por inspección, se cumple para algún “n” (al menos para 1).

Se pude cambiar por “k”, pero éste de aquí es el valor “n” de la hipótesis

[texx]1+\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot7}+\dots+\dfrac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}=\dfrac{n}{2n+1}
 [/texx] esto se cumple hasta el “n” que sea.

El “entonces” que viene después, es un “entonces se supone” o “entonces se quiere probar...”, como es de imaginar, porque es lo que se quiere probar:

“entonces...”

[texx]1+\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot7}+\dots+\dfrac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}+\dfrac{1}{(2(n+1)-1)\cdot(2(n+1)+1)}=\dfrac{(n+1)}{2(n+1)+1}
 [/texx]

[texx]1+\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot7}+\dots+\dfrac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+3))}=\dfrac{(n+1)}{2n+3}
 [/texx]

Donde se toma el siguiente a “n”; no se está diciendo que sea verdad (no lo he pretendido quiero decir).

Ahora hubiera seguido diciendo, “si las dos igualdades fueran ciertas...” y, multiplicando en cruz en el lado derecho (de la última expresión que ponía en el otro hilo) se llega a un identidad. Luego son ciertas.

Podría haber sido cierto para “n” y no para “n” más 1, en cuyo caso se demostraría falso y esa falsedad la pondría de relieve el “n+1”.

Diciendo cómo lo he pensado sí creo que puede valer; a mi juicio.

Saludos.
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Juan Pablo
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« Respuesta #5 : 17/02/2017, 05:36:46 pm »

Lo que le pasó a Samir M. "Creo" y cosa que he visto alguna vez :

Por ejemplo para la suma de los primeros naturales:

Supongamos [texx] 1 + 2 +  \cdots n = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2} [/texx] es cierto

Tenemos que :

[texx] 1+2+3+ \cdots +n + (n+1) = \dfrac{(n+1) \cdot (n+2)}{2} [/texx] restamos [texx] n+1 [/texx] y queda:

[texx] 1 + 2 + 3 + \cdots + n  = \dfrac{(n+1) \cdot (n+2)}{2} - (n+1) = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2} [/texx] y por hipótesis inductiva se supone cierto para [texx] n [/texx] se tiene que es cierto.
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Samir M.
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« Respuesta #6 : 18/02/2017, 04:00:45 am »

No veo ninguna falta de rigor en el argumento de feriva, por lo menos si se explica bien lo que hace.

En esencia es:

Por hipótesis de inducción tenemos una igualdad [texx]A=B[/texx].

Y queremos demostrar otra igualdad [texx]A'=B'[/texx].

Entonces feriva dice: probar [texx]A'=B'[/texx] es equivalente a probar [texx]A'-A=B'-B[/texx], lo cual es cierto. Y luego demuestra  [texx]A'-A=B'-B[/texx], lo que cierra el argumento.

Sí, en ese caso de acuerdo. El problema viene cuando no se especifica de la manera que lo has hecho y se trabaja directamente con la igualdad, en vez de tratar de llegar a ella. Entiendo que si los pasos son recursivos entonces no debe de haber problema en trabajar así, pero es una falta de rigor no especificarlo, y es lo que me chirría (porque no sé realmente qué hacen o cómo lo justifican). Quizá la cuestión reside en lo que comenta Delmar, que no lo había escuchado hasta ahora. Para mí sólo existía la inducción pura: por hipótesis suponer que cierta propiedad se cumple para un [texx]n[/texx] y demostrarlo para el siguiente elemento. Aquí, yo no consideraría ningún tipo de relación ([texx]=[/texx], [texx]<[/texx], [texx]>[/texx], etc) entre los dos miembros de una expresión. Me parece una falta de rigor (de hecho, tengo leves recuerdos de esto cuando me andaba preparando para las OME en su época: un profesor nos dijo algo muy similar (en ese momento andábamos aprendiendo el método de inducción)). Trabajaría con uno de los dos miembros usando solamente la hipótesis para tratar de llegar a alguna relación con el otro miembro y, entonces, sí la tendría demostrada (ojo, veo claro que se puede demostrar como habéis comentado, usando equivalencias ([texx]\iff[/texx]): por ejemplo, si suponemos una propiedad válida para [texx]n[/texx], como puede ser [texx]a(n) = b(n)[/texx], entonces [texx]a(n+1) = b(n+1) \iff a(n) - a(n+1)=b(n) - b(n+1)[/texx]).

Juan Pablo, no sé muy bien a qué te refieres con ese ejemplo (lo que no me gusta de ahí es, de nuevo, el uso de igual).

Saludos.
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Juan Pablo
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« Respuesta #7 : 18/02/2017, 11:21:50 am »


Juan Pablo, no sé muy bien a qué te refieres con ese ejemplo (lo que no me gusta de ahí es, de nuevo, el uso de igual).


Creía que confundiste la demostración de feriva con este tipo de demostraciones que parten del la proposición [texx]p(n+1)[/texx] le restan un número o lo que sea y se quedan con la proposición [texx]p(n)[/texx] entonces se creen que está bien.

Vamos que parten de lo que quieren probar sea una igualdad o lo oque sea.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #8 : 20/02/2017, 06:56:18 am »

Hola

Sí, en ese caso de acuerdo. El problema viene cuando no se especifica de la manera que lo has hecho y se trabaja directamente con la igualdad, en vez de tratar de llegar a ella. Entiendo que si los pasos son recursivos entonces no debe de haber problema en trabajar así, pero es una falta de rigor no especificarlo, y es lo que me chirría (porque no sé realmente qué hacen o cómo lo justifican). Quizá la cuestión reside en lo que comenta Delmar, que no lo había escuchado hasta ahora. Para mí sólo existía la inducción pura: por hipótesis suponer que cierta propiedad se cumple para un [texx]n[/texx] y demostrarlo para el siguiente elemento. Aquí, yo no consideraría ningún tipo de relación ([texx]=[/texx], [texx]<[/texx], [texx]>[/texx], etc) entre los dos miembros de una expresión. Me parece una falta de rigor (de hecho, tengo leves recuerdos de esto cuando me andaba preparando para las OME en su época: un profesor nos dijo algo muy similar (en ese momento andábamos aprendiendo el método de inducción)). Trabajaría con uno de los dos miembros usando solamente la hipótesis para tratar de llegar a alguna relación con el otro miembro y, entonces, sí la tendría demostrada (ojo, veo claro que se puede demostrar como habéis comentado, usando equivalencias ([texx]\iff[/texx]): por ejemplo, si suponemos una propiedad válida para [texx]n[/texx], como puede ser [texx]a(n) = b(n)[/texx], entonces [texx]a(n+1) = b(n+1) \iff a(n) - a(n+1)=b(n) - b(n+1)[/texx]). .

No acabo de entender tu duda Samir M. Me parece que la respuesta de Carlos debería de aclararla por completo.

Simplemente cuando uno comienza comienza con la igualdad [texx]a(n+1)=b(n+1[/texx]) que es la que quiere demostrar, se sobreentiende que va haciendo equivalencias:

 [texx]a(n+1)=b(n+1)\quad \Longleftrightarrow{}\quad a'(n+1)=b'(n+1)\quad \Longleftrightarrow{}\quad a''(n+1)=b''(n+1)\quad \ldots[/texx]

Hasta que llega a una en cuya demostración hace intervenir [texx]a(n)=b(n)[/texx].

La relajación del rigor y que haya que "sobrentender" ciertas cosas es algo que hacemos continuamente en matemáticas.

Por ejemplo cuando resolvemos una ecuación escribirmos la sucesión de transformaciones sin escribir la relación concreta entre una ecuación y su transformada. Por ejemplo:

[texx]x+1=\dfrac{x+3}{2}[/texx]

[texx]2(x+1)=x+3[/texx]

[texx]2x+2=x+3[/texx]

[texx]x=1[/texx]

en lugar de:

[texx]x+1=\dfrac{x+3}{2}\quad \Leftrightarrow{}\quad 2(x+1)=x+3\quad \Leftrightarrow{}\quad 2x+2=x+3\quad \Leftrightarrow{}\quad x=1[/texx]

En algunos casos si no se matiza estos usos pueden llevar a error, pero no por ello dejan de usarse. Por ejemplo un caso típico se produce cuando elevamos al cuadrado una ecuación. Se suele decir a los estudiantes que hay que tener cuidado porque se pueden introducir soluciones "ficticias":

[texx]x-\sqrt{x}=2[/texx]
[texx]x-2=\sqrt{x}[/texx]
[texx](x-2)^2=\sqrt{x}^2[/texx]
[texx]x^2-4x+4=x[/texx]
[texx]x^2-5x+4=0[/texx]
[texx]x=\dfrac{5\pm \sqrt{25-16}}{2}=1\textsf{ ó }4[/texx]

¡Pero realmente [texx]x=1[/texx] no es solución de la ecuación original!.

El problema de fondo es que el paso:

[texx]x-2=\sqrt{x}[/texx]
[texx](x-2)^2=\sqrt{x}^2[/texx]

no es una equivalencia, sino sólo una implicación.

[texx]x-2=\sqrt{x}\quad \Rightarrow{}\quad (x-2)^2=\sqrt{x}^2[/texx]  ¡BIEN!
[texx]x-2=\sqrt{x}\quad \Leftrightarrow{}\quad (x-2)^2=\sqrt{x}^2[/texx]  ¡MAL!.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 20/02/2017, 07:26:12 am »

Hola.

Sí, creo que dio con la raíz de mi problema. No me percaté de esto (de ahí que me pareciera una falta de rigor): [texx]a(n+1) = b(n+1) \iff a(n) - a(n+1)=b(n) - b(n+1)[/texx]. Ahora ya lo veo claro. A mí me suele confundir mucho lo que se sobrentiende y lo que no (al igual que los abusos de notación). Me cuesta mirar más allá del papel a veces. De todas formas, era sólo un ejemplo (mal escogido, claro está) para aclarar esta situación (que ahora ya he entendido) y la que comentaba Juan Pablo. Los procesos inductivos me suelen confundir. Otro ejemplo:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

donde se está justificando la deducción del último paso a partir del penúltimo mediante inducción. Yo no veo qué 'clase de inducción' se aplica sin tener en cuenta que todos los límites existen. Cosas así son las que me chirrían.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 20/02/2017, 08:52:10 am »

Hola

Otro ejemplo:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

donde se está justificando la deducción del último paso a partir del penúltimo mediante inducción. Yo no veo qué 'clase de inducción' se aplica sin tener en cuenta que todos los límites existen. Cosas así son las que me chirrían.

¡Uy! Es que ese ejemplo ya es otra cosa.

Para ser sincero yo no veo nada obvio como concluye ahí para probar lo que afirma.

Saludos.
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