Foros de matemática
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Autor Tema: Expresa \(\;\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\right)^6\;\) en forma \(\;a+bi\).  (Leído 444 veces)
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Buscón
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« : 17/02/2017, 07:27:57 am »


Expresa el siguiente número en la forma    [texx]a+bi[/texx]:

[texx]\left(\displaystyle\frac{1+i\sqrt[ ]{3}}{1-i}\right)^6[/texx]

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Samir M.
Physicsguy.
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I'm back.


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« Respuesta #1 : 17/02/2017, 08:40:50 am »

Hola.

La forma más sencilla que se me ocurre es [texx]\left(\displaystyle\frac{1+i\sqrt[ ]{3}}{1-i}\right)^6 = \dfrac{1+i\sqrt{3})^6}{(1-i)^6}[/texx] y aplicar el teorema del binomio a ambos.

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
aladan
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« Respuesta #2 : 17/02/2017, 09:28:41 am »

Hola  Buscón

No consigo entender tu objetivo al plantear en el foro ejercicios similares una y otra vez, los diferentes métodos a aplicar son los mismos para todos sea el que sugiere Samir M. aunque para mi, fundamentalmente, cuando el exponente es elevado obliga a trabajar con demasiados términos por lo que reitero esto

Hola Buscón

Para este y todos los demás ejercicios de potencias de complejos que estás publicando te conviene conocer lo siguiente:

Sea el  complejo en forma binómica [texx]z=a+bi[/texx], su módulo [texx]m=\sqrt{a^2+b^2}[/texx] y su argumento [texx]\alpha=\arctg\;\dfrac{b}{a}[/texx] de forma que el mismo complejo lo podemos expresar asi

                       [texx]z=m(\cos \alpha+i\sen \alpha)=me^{i\alpha}[/texx]

y cualquier potencia que desees calcular del mismo será de la forma

                     [texx]z^n=w=m^ne^{in\alpha}=re^{i\beta}[/texx]

es decir la potencia enésima de [texx]z[/texx] será el complejo [texx]w[/texx]
cuyo módulo es [texx]r=m^n[/texx] y su argumento es [texx]\beta=n\alpha[/texx]

Saludos



que completo con lo ya aplicado en otro de tus hilos semejantes que de forma general tiene el siguiente desarrollo: Sean los complejos [texx]z_1=a+bi\quad z_2=c+di[/texx] cuyos módulos y argumentos son respectivamente [texx]m,\alpha\quad r,\beta[/texx] y queremos hallar [texx]\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^n[/texx] cualesquiera que sean los complejos en cuestión, lo hacemos así

[texx]\left(\dfrac{a+bi}{c+di}\right)^n=\left(\dfrac{me^{i\alpha}}{re^{i\beta}}\right)^n=\left(\dfrac{m}{r}\right)^ne^{in(\alpha-\beta)}=\left(\dfrac{m}{r}\right)^n[\cos n(\alpha-\beta)+i\sen n(\alpha-\beta)]=e+fi[/texx]

¿ lo entiendes o te parece poco detallado ?
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« Respuesta #3 : 17/02/2017, 02:40:50 pm »


[texx]\left(\dfrac{a+bi}{c+di}\right)^n=\left(\dfrac{me^{i\alpha}}{re^{i\beta}}\right)^n[/texx]

¿ lo entiendes o te parece poco detallado ?

No, no lo entiendo, es la primera vez que veo esa igualdad.

En mi opinión personal, (dudo que sea de interés para alguien), este foro lo ve mucha gente. Tampoco pasa nada por

detallar.


Un saludo y muchas gracias. Aunque no la entienda ya me consta que la igualdad se verifica.
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sugata
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« Respuesta #4 : 17/02/2017, 03:20:31 pm »

Lo ha pasado a polares donde es más fácil trabajar.
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aladan
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« Respuesta #5 : 17/02/2017, 03:55:34 pm »

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

¿ Qué es lo que no entiendes ?, porque esto tiene mucha relación con la indicación de mathtruco acá

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=93422.msg376808#msg376808

y ¿ qué parte de mi respuesta es la que dices haber visto por primera vez ?
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« Respuesta #6 : 17/02/2017, 04:07:13 pm »

Lo ha pasado a polares donde es más fácil trabajar.


Ha usado las funciones elementales complejas. El ejercicio está propuesto antes de esa parte de la teoría. Ha de

haber otra manera de solucionarlo.


Gracias y saludos.
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Buscón
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« Respuesta #7 : 17/02/2017, 07:34:22 pm »

Yo lo conseguí así:

Llamando    [texx]w=\left(\displaystyle\frac{1+i\sqrt[ ]{3}}{1-i}\right)^6[/texx]    y    [texx]z=\displaystyle\frac{(1+i\sqrt[ ]{3})^2}{(1-i)^2}[/texx]    será


[texx]w=z^3[/texx]       y


[texx]z=\displaystyle\frac{1+2\sqrt[ ]{3}i+3i^2}{1-2i+i^2}=\displaystyle\frac{-2+2\sqrt[ ]{3}i}{-2i}=\displaystyle\frac{-1+\sqrt[ ]{3}i}{-i}=\displaystyle\frac{1}{i}-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}i}{i}=\displaystyle\frac{i}{i^2}-\sqrt[ ]{3}=-\sqrt[ ]{3}-i[/texx]

así que


[texx]w=\left(-\sqrt[ ]{3}-i\right)^3[/texx].


Por otro lado,


[texx]|z|=\sqrt[ ]{(-\sqrt[ ]{3})^2+(-1)^2}=2[/texx]       y


por ser    [texx]y<0,x<0[/texx]


[texx]\vartheta=\arg(z)=\arctg\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)-\pi=\arctg\left(\displaystyle\frac{-1}{-\sqrt[ ]{3}}\right)-\pi=\arctg\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\right)-\pi=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\pi=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}[/texx].


Ahora, aplicando la fórmula de De Moivre:

[texx]w=z^3=|z|^3\cdot{\Bigg[\cos\left(3\cdot{\displaystyle\frac{5\pi}{6}}\right)-i\sen\left(3\cdot{\displaystyle\frac{5\pi}{6}}\right)\Bigg]}=8\left(\cos\displaystyle\frac{5\pi}{2}-i\sen\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)[/texx].


Saludos.
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ingmarov
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« Respuesta #8 : 17/02/2017, 08:08:23 pm »

Hola

A ver, pasando lo complejos a su forma exponencial, revisa esto, no tengo tiempo para comprobar.

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Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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« Respuesta #9 : 18/02/2017, 05:46:31 am »

Hola

A ver, pasando lo complejos a su forma exponencial, revisa esto, no tengo tiempo para comprobar.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos

Pues habida cuenta que    [texx]\cos\left(k\cdot{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\right)=0[/texx]    para    [texx]k[/texx]    impar    y    [texx]\sen\left(k\cdot{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\right)=1[/texx]    para    [texx]\cancel{k\in{\mathbb{Z}}}[/texx],    k mod 4=1    es

[texx]8\left(\cos\displaystyle\frac{5\pi}{2}-i\sen\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)=-8i[/texx],
 

coincide el resultado y el método que usáis es más corto.


Saludos y gracias.


CORREGIDO por indicación de ingmarov.
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ingmarov
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« Respuesta #10 : 18/02/2017, 04:35:35 pm »

...

coincide el resultado y el método que usáis es más corto.
...

Sí, es más corto y vale la pena que lo aprendas.

Saludos

Editado

Hola

A ver, pasando lo complejos a su forma exponencial, revisa esto, no tengo tiempo para comprobar.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos


Pues habida cuenta que    [texx]\cos\left(k\cdot{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\right)=0[/texx]    y    [texx]\sen\left(k\cdot{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\right)=1[/texx]    para    [texx]k\in{\mathbb{Z}}[/texx],    es

[texx]8\left(\cos\displaystyle\frac{5\pi}{2}-i\sen\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)=-8i[/texx],
 

Lo que te puse en rojo no es cierto, sería para todo k  entero impar. (en cuanto a coseno)

Pero el seno cambia de signo (para k impar).  [texx]\sen\left(k\cdot{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\right)=\begin{cases} 1 & \text{si}& k\; mod\; 4=1\\-1& \text{si}& k\; mod\; 4=3\end{cases}[/texx]
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« Respuesta #11 : 18/02/2017, 04:47:31 pm »



Sí, es más corto y vale la pena que lo aprendas.

Saludos

Hola  ingmarov

Pero ocurre que este usuario Buscón dice no entenderlo sin exponer exactamente lo que no entiende como puedes ver en su respuesta

[texx]\left(\dfrac{a+bi}{c+di}\right)^n=\left(\dfrac{me^{i\alpha}}{re^{i\beta}}\right)^n[/texx]

¿ lo entiendes o te parece poco detallado ?

No, no lo entiendo, es la primera vez que veo esa igualdad.

En mi opinión personal, (dudo que sea de interés para alguien), este foro lo ve mucha gente. Tampoco pasa nada por

detallar.


Un saludo y muchas gracias. Aunque no la entienda ya me consta que la igualdad se verifica.

 a este post

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post que el susodicho  Buscón todavía no ha tenido la gentileza de contestar mi réplica
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

¿ Qué es lo que no entiendes ?, porque esto tiene mucha relación con la indicación de mathtruco acá

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=93422.msg376808#msg376808

y ¿ qué parte de mi respuesta es la que dices haber visto por primera vez ?
.

Saludos

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« Respuesta #12 : 18/02/2017, 04:50:47 pm »

Hola maestro Aladan

...

Pero ocurre que este usuario Buscón dice no entenderlo sin exponer exactamente lo que no entiende como puedes ver en su respuesta
...

Así es imposible ayudarle.
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« Respuesta #13 : 18/02/2017, 06:08:34 pm »


Lo que te puse en rojo no es cierto, sería para todo k  entero impar. (en cuanto a coseno)

Pero el seno cambia de signo (para k impar).  [texx]\sen\left(k\cdot{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\right)=\begin{cases} 1 & \text{si}& k\; mod\; 4=1\\-1& \text{si}& k\; mod\; 4=3\end{cases}[/texx]

Si gracias, no conseguía verlo. Estoy espeso. Un saludo.
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