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Autor Tema: [texx][\ f(X)\cup f(Y)]^c = f(X^c)\cap f(Y^c)[/texx]  (Leído 103 veces)
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« : 17/02/2017, 06:49:04 am »

Hola!

Si [texx]f: A \rightarrow B[/texx] es una aplicación biyectiva y [texx]X,Y \subseteq A[/texx] entonces  [texx][\ f(X)\cup f(Y)]^c =  f(X^c)\cap f(Y^c)[/texx]

Aquí os dejo mi demostración, cualquier corrección es bienvenida.

[texx]\subseteq][/texx] Sea [texx]b\in [f(X)\cup f(Y)]^c [/texx] y como [texx]f[/texx] es suprayectiva b tiene preimagen, sea [texx]b= f(a)[/texx]. [texx]f(a)\not\in f(X)\cup f(Y) \rightarrow f(a)\not\in f(X)[/texx] y [texx]f(a)\not\in f(Y)[/texx] [texx]\rightarrow a\not\in X[/texx] y [texx]a\not\in Y \rightarrow a\in X^c [/texx] y [texx] a\in Y^c \rightarrow f(a)\in f(X^c) [/texx] y [texx] f(a)\in f(Y^c) \rightarrow f(a)\in f(X^c)\cap f(Y^c)[/texx]

[texx]\supseteq][/texx] Sea [texx]b\in f(X^c)\cap f(Y^c) \rightarrow \exists a\in X^c[/texx] tal que [texx]f(a)=b[/texx] y [texx]\exists a'\in Y^c[/texx] tal que [texx]f(a')=b[/texx] y como [texx]f[/texx] es inyectiva y tenemos que [texx]f(a)=f(a') \rightarrow a=a'[/texx] ya que de lo contrario no sería inyectiva. Entonces [texx]a\in X^c[/texx] y [texx]a\in Y^c \rightarrow a\not\in X[/texx] y [texx]a\not\in Y \rightarrow f(a)\not\in f(X)[/texx] y [texx] f(a)\not\in f(Y) \rightarrow f(a)\not\in f(X)\cup f(Y) \rightarrow f(a)\in [f(X)\cup f(Y)]^c[/texx]

Saludos!
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el_manco
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« Respuesta #1 : 17/02/2017, 08:00:42 am »

Hola

[texx]\subseteq][/texx] Sea [texx]b\in [f(X)\cup f(Y)]^c [/texx] y como [texx]f[/texx] es suprayectiva b tiene preimagen, sea [texx]b= f(a)[/texx]. [texx]f(a)\not\in f(X)\cup f(Y) \rightarrow f(a)\not\in f(X)[/texx] y [texx]f(a)\not\in f(Y)[/texx] [texx]\rightarrow a\not\in X[/texx] y [texx]a\not\in Y \rightarrow a\in X^c [/texx] y [texx] a\in Y^c \rightarrow f(a)\in f(X^c) [/texx] y [texx] f(a)\in f(Y^c) \rightarrow f(a)\in f(X^c)\cap f(Y^c)[/texx]

[texx]\supseteq][/texx] Sea [texx]b\in f(X^c)\cap f(Y^c) \rightarrow \exists a\in X^c[/texx] tal que [texx]f(a)=b[/texx] y [texx]\exists a'\in Y^c[/texx] tal que [texx]f(a')=b[/texx] y como [texx]f[/texx] es inyectiva y tenemos que [texx]f(a)=f(a') \rightarrow a=a'[/texx] ya que de lo contrario no sería inyectiva. Entonces [texx]a\in X^c[/texx] y [texx]a\in Y^c \rightarrow a\not\in X[/texx] y [texx]a\not\in Y \rightarrow f(a)\not\in f(X)[/texx] y [texx] f(a)\not\in f(Y) \rightarrow f(a)\not\in f(X)\cup f(Y) \rightarrow f(a)\in [f(X)\cup f(Y)]^c[/texx]

Está bien.

Un atajo sería primero usar las Leyes de De Morgan:

[texx](f(X)\cup f(Y))^c=f(X)^c\cap f(Y)^c[/texx]

con lo que el problema se reduciría a probar que si la función es biyectiva entonces: [texx]f(X)^c=f(X^c).[/texx]

Saludos.
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