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Autor Tema: Integrales Triples - 4 Problemas  (Leído 502 veces)
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Hardank
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« : 16/02/2017, 12:19:48 am »

Amigo Delmar e ilarrosa, les pido asesoramiento :sonrisa: o a cualquiera que pueda ayudar. Quiero aclarar que los ejercicios de prioridad son el "21" y "25".

Tengo problemas con 4 ejercicios. Pero mi problema es graficarlos, ya he hecho 36 ejercicios de integrales triples y son 50 ejercicios de la guía (cartesianas, transformar a coordenadas cilíndricas y esféricas, o al revés).  Pero tengo estos 4 ejercicios que al hacer la gráfica, no veo el sólido que forma. Veo varias cosas, pero no estoy seguro con exactitud y seguridad cual es el indicado. Estos 4 ejercicios, son parte de los primeros 25 ejercicios de la guía (puras cartesianas, calcular volumen, hacer proyecciones en algún plano en específico o en todos, etc, etc.)... Es decir he hecho 21/25 ejercicios de coordenadas cartesianos. Estos ejercicios que presentaré son los únicos 4 que me faltan (de cartesianas), pero no veo como resolverlos. Desde la última vez que les pregunte he estado haciendo los demás muchos ejercicios y resuelto correctamente por mi mismo.

Pero cuando ví a mi preparadora el lunes y martes, le pregunte de toda mis dudas en cilíndricas y esféricas las cuales para ese momento estaba realizando ejercicios (7 ejercicios cilíndricas y 5 ejercicios de esféricas que he hecho correctamente). Deje para después realizar estos 4 ejercicios de integrales triples (en coordenadas cartesianas). Pero ya tengo todo el día y no he dado avance a ninguno y gastado muchas hojas blancas (y tiempo), tratando de graficar correctamente, de hacer bosquejos de diferentes formas para ver si pesco el sólido que se forma tengo desde las 9:30 am - 10:33pm en esto (15 de febrero del 2017, digo la fecha porque como son de España creo que ya es 16 de febrero) ando super estresado y justo ahora es que vengo a pedir asesoramiento a ustedes :sonrisa:

Solo quiero aclarar que necesito es solo la gráfica de cada problema. Su respectivo "techo" y "piso", del sólido claro está. Y yo me encargo de las proyecciones para calcular volumen, o plantear integrales. Salvo de los 2 últimos ejercicios, el "21" y "25" de esta publicación, son prioridad y necesito que me planteen ustedes (sino es mucho pedir) las integrales triples (en cualquier plano de su conveniencia) pero sino pueden, me gustaría mucho solo las gráficas de los 4 ejercicios, con eso me basta. Y puedo guiarme y pensar más en solo las ecuaciones, etc...

12. Plantee la(s) integral(es) en coordenadas cartesianas, para calcular el volumen V, de la región encerrada por las superficies [texx]z=4-y^2 ; z=2x^2+y^2[/texx]

Nota: Se que uno es una parábola y otro un paraboloide, al menos es lo que veo, salvo que me equivoque. Bueno, al final trato de interceptarlos y verlos de diferentes planos para ver que sólido forma, y no logro verlo. ¿Puede salvarme la patria?

18. Calcule el volumen del sólido R acotado por los cilindros [texx]x^2+y^2=4; x^2+z^2=4[/texx].

Nota: Ambos son cilindros fáciles de graficar, pero su intersección y el sólido que forman ambos cilindros, no me es claro. Cada rato que lo hago, veo es otro "cilindro" como producto de estos 2 cilindros. He hecho proyecciones en los 3 planos, varias veces, usado diferentes formas. No veo solución, tal vez es que ando muy estresado y con tantas cosas encima (no solo matemática, sino física II, etc.). Y eso que no dejo nada a última hora. El examen de matemática es el martes. Y de mi salón soy prácticamente el único que hace los ejercicios que manda la profesora, que nos propone y que cruelmente a veces dice: "Para que se diviertan". Y solo tengo 2 compañeras, que son más aplicadas que el resto, pero hasta allí, también les da flojera hacer las cosas. Por eso estudio solo y estudie 2 veces en grupo, pero lo que hacen es perder el tiempo, no se enfocan, se ponen a jugar o echar chismes. Y no todos han estudiado, tienen graves problemas y base con una integral definida normal. No saben ni siquiera integrar correctamente. E incluso a cada rato debo recordarles que para integrales con límites definidos se usa el Teorema Fundamental del Cálculo. Y es chino para ellos... y de verdad, no se porque les digo esto. Debe ser el estrés y me ando desahogando por aquí, lo siento :triste: ... Regresemos al asunto

21. (PRIORIDAD) Plantee la(s) integral(es) que permitan calcular el volumen del sólido limitado por:

[texx]x^2+\displaystyle\frac{y^2}{4}=1; x+2y+z=10 ; x^2+\displaystyle\frac{y^2}{4}= z+4[/texx]

Nota: Se que es un cilindro, un plano y un paraboloide. Pero no puedo visualizar el sólido que generan estas 3 funciones cuando las gráfico. No logro imaginarlo. Me paro en una esquina (pensando en los 3 ejes del espacio) y hago en mi mente, la simulación de cada función, pero no logro verlo. Y tampoco en papel. Este ejercicio me tiene verde!... les agradecería mucho graficar este ejercicio y plantearme la integral triple en el plano XY

25. (PRIORIDAD) Plantee la(s) integral(es) que permita(n) calcular el volumen de la región comprendida entre: [texx]z= 2-\sqrt[ ]{x^2+y^2}; z=x^2+y^2[/texx]

Nota: Solo se que una función es un paraboloide en el origen. Pero el otro, ni de chiste se que es, parece un paraboloide que su vertice está en z=2. Pero si hable hacia arriba o abajo, o a los lados, ni idea. Igualo las funciones, hago proyecciones, y nada. Me complica las cosas. O no me deja algo lógico. Les pido enormemente graficar este ejercicio y plantearme la integral triple en el plano XY. Yo planteo los demás planos (proyecciones)... y luego calculo el volumen (que no es necesario, pero esto me da práctica para resolver integrales con mayor velocidad y soltura)...

Muchas gracias de verdad, se que es mucho, pero si algún alma caritativa. Puede colaborarme, estaría agradecido. Con graficar al menos los 4 ejercicios, es una MEGA AYUDA!!! pero si me grafican los 4 y encima me plantean las integrales en el plano XY de los ejercicios 21 y 25!!! Como que comenzaré a creer en Dioses!...

Saludos a todos, gracias, después del examen del martes. Subiré información referente a estos temas. De verdad que este es mi Rincón Matemático.
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delmar
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« Respuesta #1 : 16/02/2017, 01:42:01 am »

Hola Hardank

Te ayudo con el 21. Adjunto un esquema en donde se visualiza el sólido.



Considerando como línea visual la flecha, se tiene :

El sólido esta limitado por un cilindro, en la parte inferior por el paraboloide y en la parte superior por el plano (A,B,C). Es conveniente visualizar en [texx]z=-3[/texx] el cilindro y el paraboloide se intersectan en una elipse [texx]x^2+\displaystyle\frac{y^2}{4}=1, \ \ z=-3[/texx]. Es conveniente visualizar también que la proyección del sólido sobre el plano XY es una elipse congruente a la anterior dibujado con línea roja.

Según el dibujo el integral será :

[texx]\displaystyle\int_{-1}^{1} \ dx\displaystyle\int_{-2\sqrt[ ]{1-x^2}}^{2\sqrt[ ]{1-x^2}} \ dy \displaystyle\int_{10-x-2y}^{x^2+\displaystyle\frac{y^2}{4}-4} \ dz[/texx]

Explicación :

Para un x e y constantes, los z del sólido varían desde el paraboloide [texx]z=x^2+\displaystyle\frac{y^2}{4}-4[/texx] hasta el plano [texx]z=10-x-2y[/texx]

Para un x constante , basándonos en la proyección , y varía desde [texx]-2\sqrt[ ]{1-x^2}[/texx] hasta [texx]2\sqrt[ ]{1-x^2}[/texx]

Finalmente x varía desde -1 hasta 1

Saludos


* integral21.jpg (108.36 KB - descargado 122 veces.)
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« Respuesta #2 : 16/02/2017, 07:20:14 am »

25. (PRIORIDAD) Plantee la(s) integral(es) que permita(n) calcular el volumen de la región comprendida entre: [texx]z= 2-\sqrt[ ]{x^2+y^2}; z=x^2+y^2[/texx]

Nota: Solo se que una función es un paraboloide en el origen. Pero el otro, ni de chiste se que es, parece un paraboloide que su vértice está en z=2. Pero si hable hacia arriba o abajo, o a los lados, ni idea. Igualo las funciones, hago proyecciones, y nada. Me complica las cosas. O no me deja algo lógico. Les pido enormemente graficar este ejercicio y plantearme la integral triple en el plano XY. Yo planteo los demás planos (proyecciones)... y luego calculo el volumen (que no es necesario, pero esto me da práctica para resolver integrales con mayor velocidad y soltura)...

En este hay una simetría rotacional en torno al eje [texx]OZ[/texx], un cambio de coordenadas adecuado trivializa la integración. El segundo límite es un paraboloide de revolución con vértice en el origen y dirigido hacia las [texx]z[/texx] positivas, efectivamente. En cuanto al primero, fijate que para [texx]z = cte[/texx], se trata de una circunferencia de radio [texx]r = \sqrt[ ]{x^2+y^2} = 2 - z[/texx]. El radio crece linealmente cuando [texx]z[/texx] disminuye desde [texx]2[/texx]. Se trata de la parte inferior de una superficie cónica de revolución, de eje [texx]OZ[/texx] y vértice en [texx]z = 2[/texx]. Si elevas al cuadrado, te queda [texx]x^2+y^2 = (2 - z)^2[/texx], que es la superficie cónica completa, con una hoja por encima del vértice y otra por debajo, pero aquí solo nos interesa la inferior, z es menor que 2.


La intersección de las dos superficies se halla muy fácilmente despajando en ambas [texx]x^2 + y^2[/texx] e igualando: [texx]x^2 + y^2 = z = (2 -  z^2)[/texx]. Te queda z = 1 y z = 4, pero debe ser [texx]z < 2[/texx]. El valor [texx]z = 4[/texx] corresponde a la hoja superior de la superficie cónica. Por tanto, hay que integrar en el interior de [texx]x^2 + y^2 = 1[/texx] la diferencia entre el valor de z en el cono y en el paraboloide. El cambio de variables lo pide a gritos ...

Saludos,

* Paraboloide-Cono.ggb (23.13 KB - descargado 68 veces.)
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« Respuesta #3 : 16/02/2017, 07:39:41 am »

Problema 25. El volumen consta claramente de dos partes: i) la superior que es un cono, cuyo volumen calculas fácilmente por geometría elemental, ii) la inferior, un paraboloide claramente algo mayor que el cono. Puedes contrastar si tu resultado de integración es algo mayor que el volumen del cono, para descartar resultados claramente erróneos.

Saludos,
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« Respuesta #4 : 16/02/2017, 09:44:26 am »


12. Plantee la(s) integral(es) en coordenadas cartesianas, para calcular el volumen V, de la región encerrada por las superficies [texx]z=4-y^2 ; z=2x^2+y^2[/texx]

Nota: Se que uno es una parábola y otro un paraboloide, al menos es lo que veo, salvo que me equivoque. Bueno, al final trato de interceptarlos y verlos de diferentes planos para ver que sólido forma, y no logro verlo. ¿Puede salvarme la patria?

El primero es un cilindro parabólico en la dirección del eje OX, la x está totalmente indeterminada. Digamos que la parte sobre el plano OXY es como un túnel de sección parabólica siguiendo el eje OX. La otra es un paraboloide, no de revolución con vértice en el origen. Este será el suelo de tu volumen. La proyección sobre el plano OXY de la intersección de ambos, no la propia intersección, es una circunferencia de centro O y radio [texx]\sqrt[ ]{2}[/texx]. Ahora no tengo tiempo, más tarde añado un fichero de GeoGebra.


Puede rotarse la imagen en 3D con el botón derecho del ratón.
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« Respuesta #5 : 17/02/2017, 01:09:25 am »

18. Calcule el volumen del sólido R acotado por los cilindros [texx]x^2+y^2=4; x^2+z^2=4[/texx].

Nota: Ambos son cilindros fáciles de graficar, pero su intersección y el sólido que forman ambos cilindros, no me es claro. Cada rato que lo hago, veo es otro "cilindro" como producto de estos 2 cilindros. He hecho proyecciones en los 3 planos, varias veces, usado diferentes formas. No veo solución, tal vez es que ando muy estresado y con tantas cosas encima (no solo matemática, sino física II, etc.). Y eso que no dejo nada a última hora. El examen de matemática es el martes. Y de mi salón soy prácticamente el único que hace los ejercicios que manda la profesora, que nos propone y que cruelmente a veces dice: "Para que se diviertan". Y solo tengo 2 compañeras, que son más aplicadas que el resto, pero hasta allí, también les da flojera hacer las cosas. Por eso estudio solo y estudie 2 veces en grupo, pero lo que hacen es perder el tiempo, no se enfocan, se ponen a jugar o echar chismes. Y no todos han estudiado, tienen graves problemas y base con una integral definida normal. No saben ni siquiera integrar correctamente. E incluso a cada rato debo recordarles que para integrales con límites definidos se usa el Teorema Fundamental del Cálculo. Y es chino para ellos... y de verdad, no se porque les digo esto. Debe ser el estrés y me ando desahogando por aquí, lo siento :triste: ... Regresemos al asunto

Hay que hacer un croquis del sólido,



Se trata de dos cilindros, uno vertical y el otro horizontal, cuyos ejes de simetría,   eje z y eje x  respectivamente, se intersectan perpendicularmente en el origen. Entiendo que el problema para visualizar, es hallar la intersección de ambos cilindros. Una forma es considerando al plano YZ y a planos paralelos a él, e intersectarlos con las superficies cílindricas, se obtendrán dos generatrices del cilindro vertical (paralelas al eje z) y dos generatrices del cilindro horizontal (paralelas al eje x) las intersecciones de estas generatrices son 4 puntos de la intersección de los cilindros., de esta forma se halla la intersección, es conveniente basarse en las proyecciones de ambos cilindros,un círculo en el plano XY y otro círculo congruente en el plano XZ. Adjunto el esquema.

Se ve que el sólido es simétrico respecto a los planos coordenados, luego basta hallar el volumen de la parte del sólido del octante positivo y multiplicarlo por 8; pero como práctica y para usar el esquema, lo cálculo sin utilizar simetría.

[texx]\displaystyle\int_{-2}^{2}\ dx \displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-x^2}}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}\ dy \displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-x^2}}^{\sqrt[ ]{4-x^2}} \ dz[/texx]

Explicación :

Para un x e y constantes, los puntos del sólido varían desde la cara inferior (parte inferior del cilindro horizontal) [texx]z=-\sqrt[ ]{4-x^2}[/texx] hasta la cara superior (parte superior del cilindro horizontal) [texx]z=\sqrt[ ]{4-x^2}[/texx].

Manteniendo constante x, según la proyección del cilindro vertical sobre el plano XY, se tiene que y varía desde [texx]y=-\sqrt[ ]{4-x^2}[/texx] hasta [texx]y=\sqrt[ ]{4-x^2}[/texx]

Finalmente x varía desde -2 hasta 2

Saludos


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Hardank
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« Respuesta #6 : 19/02/2017, 11:11:36 pm »

Muchas gracias Delmar e Ilarrosa.

Estuve días sin internet, pude realizar los 4 ejercicios por mi mismo. Con su asesoramiento pude comprobar que los hice bien, solo me equivoque levemente en los límites de integración del ejercicio 18. Los cuales estoy corrigiendo.

Las gráficas me quedaron bien, pude comprobarlo con las gráficas que me enviaron. Y se los agradezco mucho. Estuvo bien elaborado sus explicaciones, me han guiado por buen camino. Estoy sastisfecho, ya que pude realizar los ejercicios por mi mismo. Pero sus respuestas comprobaron mis resultados, gráficas, regiones de integración, etc.

Saludos, estaré estudiando ahora más esféricas y cilíndricas. Ya he hecho varios ejercicios, me siento super-preparado para el examen. Y gracias de verdad por su constante ayuda. Ya me siento hasta experto  :tranqui: :tranqui: :tranqui: :tranqui: :tranqui:
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delmar
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« Respuesta #7 : 21/02/2017, 12:12:48 am »

Hola Hardank

Me alegra mucho de que hayas resuelto por ti mismo, los 4 ejercicios.

Saludos
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