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Autor Tema: Sumatoria.  (Leído 392 veces)
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zimbawe
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« : 21/02/2017, 02:08:13 pm »

Hola, me pueden aconsejar còmo càlculo esta sumatoria, muchas gracias.
  [texx]\displaystyle\sum_{i=3}^{\infty} \dfrac{1}{(({\sqrt{2}}-1)*(i-2)+1))^{4}}[/texx]
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delmar
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« Respuesta #1 : 21/02/2017, 02:29:24 pm »

Hola

Denominando [texx]a_i=\displaystyle\frac{1}{((\sqrt[ ]{2}-1)\ (i-2)+1)^4}[/texx]

[texx]a_i[/texx] es positivo y decreciente [texx]n\geq{3}[/texx]

Puedes aplicar el criterio del integral para averiguar la convergencia. Evalúa :

[texx]\exists{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{3}^{n} \ \displaystyle\frac{1}{((\sqrt[ ]{2}-1)\ (x-2)+1)^4} \ dx}}[/texx]

De ahí puedes sacar conclusiones, sobre si la serie converge y a que converge.

Saludos

Nota : Enmende una errata (exponente del denominador de la sucesión de la serie) en lugar de 2 era 4
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zimbawe
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« Respuesta #2 : 21/02/2017, 04:26:56 pm »

Hola Delmar, gracias por contestar. Ya probé que converge, necesito calcular a dónde. Muchas gracias.
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Samir M.
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« Respuesta #3 : 21/02/2017, 04:54:03 pm »

Hola Delmar, gracias por contestar. Ya probé que converge, necesito calcular a dónde. Muchas gracias.

Resuelve la integral y obtendrás una cota superior. Conoces el criterio de la integral que menciona Delmar, ¿no?

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
Ignacio Larrosa
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« Respuesta #4 : 21/02/2017, 09:45:18 pm »

Hola, me pueden aconsejar còmo càlculo esta sumatoria, muchas gracias.
  [texx]\sum_{i=3}^{\infty} \frac{1}{(({\sqrt{2}}-1)*(i-2)+1))^{4}}[/texx]

Yo me siento más cómodo cambiando el límite inferior. Si S es la suma de la serie, se puede expresar como

[texx]\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} {\frac{1}{((\sqrt{2}-1)i+1)^4}}[/texx]

Comparándola con la serie convergente [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} {\frac{1}{i^4}}[/texx], esta claro que es convergente. Una forma de acotarla es calculando la integral de la función

[texx]f(x) = \frac{1}{(({\sqrt{2}}-1)x+1))^{4}}[/texx]

Como ya se dijo, ésta función es decreciente para [texx]x > 1[/texx]. Observa que la serie se puede considerar como la integral de 1 a infinito de la función [texx]g(x) = a_n, \; x \in{[n, n+1)}[/texx]. Se tiene entonces que


[texx]\displaystyle\sum_{i=2}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{((\sqrt[ ]{2}-1)i + 1)^4}} < \displaystyle\int_{1}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{((\sqrt[ ]{2}-1)i + 1)^4} < \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{((\sqrt[ ]{2}-1)i + 1)^4}}[/texx]

Sumando entonces [texx]a_1 = \frac{1}{4}[/texx] a los dos primeros términos de esta desigualdad, se puede escribir:

[texx]\displaystyle\int_{1}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{((\sqrt[ ]{2}-1)i + 1)^4} < \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{((\sqrt[ ]{2}-1)i + 1)^4}} <\displaystyle\int_{1}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{((\sqrt[ ]{2}-1)i + 1)^4} + \frac{1}{4} [/texx]

La integral no tiene dificultades y te queda una acotación de la serie no excesivamente precisa, pero una acotación al fin y al cabo. Para la suma no creo que exista una expresión exacta que no use funciones especiales. Un valor aproximado de la suma, obtenido con un programa de cálculo simbólico, es 0.4329801139.

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
zimbawe
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« Respuesta #5 : 21/02/2017, 10:51:42 pm »

Muchísimas gracias a todos. Cómo para contextualizarlos tengo que hallar por el método de exhausion, el área de un cuadrado de lado 1, rellenandolo con círculos. Pues ya el problema no es calcular las sumas, si no las series que me van quedando.
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