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Autor Tema: Ejercicio de límites superiores de funciones  (Leído 405 veces)
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pierozeta
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« : 11/02/2017, 11:45:00 am »

Hola amigos, espero que me puedan ayudar con este ejercicio.

Sea [texx]f:[0,1]\to\mathbb R[/texx] una función acotada. Dado [texx]\varepsilon>0[/texx], sea [texx]F_{\varepsilon}\subseteq{[0,1]}[/texx] el conjunto de los [texx]x\in [0,1][/texx] tales que existe una sucesión [texx](x_n)[/texx] tal que
[texx]\lim_{n\to+\infty} x_n=x,\quad \lim sup_{n}|f(x_{n+1})-f(x_n)| \geq \varepsilon.[/texx]

Diga se cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifique.

(a) Para toda función [texx]f[/texx], el conjunto [texx]F_{\varepsilon}[/texx] es cerrado.

(b) Si [texx]x_0\in F_{\varepsilon}[/texx], entonces [texx]f[/texx] no es continua en [texx]x_0[/texx].

(c) Si [texx]f[/texx] no es continua en [texx]x_0\in[0,1][/texx], entonces existe un [texx]\varepsilon >0[/texx] con [texx]x_0\in F_{\varepsilon}[/texx].


Para la (a), pensé en tomar [texx]a\in\overline{F_{\varepsilon}}[/texx], entonces existe una sucesión [texx]a_k\in F_{\varepsilon}[/texx] tal que [texx]a_k\rightarrow{ a}[/texx].

Como [texx]a_k\in F_{\varepsilon}[/texx], entonces existe una sucesión [texx](x_{k_n})[/texx] tal que

[texx]\lim_{n\to+\infty} x_{k_n}=a_k,\quad \lim sup_{n}|f(x_{k_{n+1}})-f(x_{k_n})| \geq \varepsilon.[/texx]

De ahí, para [texx]m=m(k,n)=k+n[/texx] pensé en definir [texx]b_m=a_{k_n}[/texx], así
[texx]b_m\rightarrow{x}[/texx] y
 [texx]\lim sup_{n}|f(b_{m+1})-f(b_m)| =\lim sup_{n}|f(x_{k_{n+1}})-f(x_{k_n})| \geq \varepsilon[/texx]

 Por tanto,[texx] x\in F_{\varepsilon}[/texx]. Sin embargo, no me convence porque no he usado que [texx]f[/texx] es acotada.

La (b) es verdadera, por el criterio de sucesiones para funciones continuas.

Creo que (c) es verdadero, pero aún estoy pensando en como formularlo.

Muchas gracias. Un gran abrazo a todos.
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« Respuesta #1 : 11/02/2017, 03:50:41 pm »

Hola pierozeta.

[texx]\bullet[/texx] La proposición de la parte (a) es correcta, pero la forma como construyes la sucesión no está bien (nota por ejemplo que como [texx]3+5=4+4+4[/texx], entonces  ¿cuál de los valores [texx]a_{3_{5}},\;a_{5_{3}},\;a_{4_{4}},\;[/texx] es [texx]b_{8}[/texx]?). Intenta acomodar un argumento tipo diagonal de Cantor para construir la sucesión y si tienes alguna dificultad pregunta (iba a escribir alguna idea, pero me quedé sin tiempo  :cara_de_queso:).

[texx]\bullet[/texx] En la parte (b) imagino que quisiste decir que es correcta, porque si la función fuese continua en [texx]x_{0}[/texx] se tendría que [texx]\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=\lim_{n\to\infty}f(x_{n+1})=f(x_{0})[/texx] y por tanto [texx]\lim|f(x_{n})-f(x_{n+1})|=0.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Finalmente, para la parte (c) observa que si [texx]f[/texx] no es continua en [texx]x_{0},[/texx] existe una sucesión [texx](a_{n})_{n\in\mathbb{N}}\subset[0,1][/texx] convergiendo a [texx]x_{0}[/texx] tal que [texx]\big(f(a_{n})\big)_{n\in\mathbb{N}}[/texx] no converge a [texx]f(x_{0}).[/texx] Esto implica que para cierto [texx]\varepsilon>0[/texx] el conjunto [texx]A=\{n\in\mathbb{N}:\,|f(x_{0})-f(a_{n})|\geq\varepsilon\}[/texx] es infinito. Luego si llamamos [texx](b_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/texx] a la subsucesión [texx](a_{n})_{n\in A},[/texx] intenta verificar que haciendo [texx]x_{2n-1}=b_{n}[/texx] y [texx]x_{2n}=x_{0}[/texx] para todo [texx]n\in\mathbb{N},[/texx] tenemos una sucesión [texx](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/texx] que garantiza que [texx]x_{0}\in F_{\varepsilon}.[/texx]

 Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 11/02/2017, 04:40:28 pm »

Hola EnRique, muchas gracias voy a pensar de nuevo la (a), sí la (b) es correcta, voy a corregirlo. Un gran abrazo
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« Respuesta #3 : 11/02/2017, 05:24:50 pm »

Hola, está bien.

 Te dejo algunas indicaciones para la parte (a): Supongamos que las sucesiones [texx](b_{k,n})_{n\in\mathbb{N}}[/texx] converjan a [texx]a_{k}[/texx] para todo [texx]k\in\mathbb{N}.[/texx] Como [texx]a_{k}\in F_{\varepsilon}[/texx] se puede encontrar [texx]b_{k,n_{1}}[/texx] y [texx]b_{k,n_{1}+1}[/texx] tales que

[texx]|b_{k,n_{k}}-a_{k}|\leq\dfrac{1}{k},[/texx]  [texx]|b_{k,n_{k}+1}-a_{k}|\leq\dfrac{1}{k}[/texx]  y  [texx]|b_{k,n_{k}+1}-b_{k,n_{k}}|>\varepsilon-\dfrac{1}{k}.[/texx]

 Lo de arriba nos permite construir la sucesión [texx](x_{k})_{k\in\mathbb{N}}[/texx] haciendo [texx]x_{1}=b_{1,n_{1}},\,x_{2}=b_{1,n_{1}+1},[/texx] [texx]x_{3}=b_{2,n_{2}},\,x_{4}=b_{2,n_{2}+1}[/texx] y en general [texx]x_{2k-1}=b_{k,n_{k}}[/texx] y [texx]x_{2k}=b_{k,n_{k}+1}[/texx] para todo [texx]k\in\mathbb{N}.[/texx] Trata de comprobar que esta sucesión nos permite probar que [texx]a\in F_{\varepsilon}.[/texx]

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #4 : 20/02/2017, 09:04:49 am »

Muchas gracias EnRIque!!! :sonrisa:
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