Algoritmo de Horner

[arm]

En clase me han planteado la siguiente pregunta pero no llego a ninguna conclusión, la pregunta es la siguiente,

¿Cómo se puede usar el algoritmo de Horner para calcular el desarrollo de Taylor de un
polinomio en un punto?

Algoritmo de Horner: $$p(t)=((...((a_n)t+a_{n-1})t+a_{n-2})...)t+a_1)t+a_0$$

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

En clase me han planteado la siguiente pregunta pero no llego a ninguna conclusión, la pregunta es la siguiente,

¿Cómo se puede usar el algoritmo de Horner para calcular el desarrollo de Taylor de un
polinomio en un punto?

Algoritmo de Horner: $$p(t)=((...((a_n)t+a_{n-1})t+a_{n-2})...)t+a_1)t+a_0$$

No estoy seguro.

El polinomio de Taylor en un punto [texx]x_0[/texx] sería:

[texx]p(x)=b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0)^2+\ldots+b_n(x-x_0)^n=\\
=\\b_0+(x-x_0)(b_1+(x-x_0(b_2+\ldots (x-x_0)b_n)[/texx]

Entontces uno podría tomar:

[texx]p_0(x)=p(x)[/texx]

y aplicar el algortimo:

[texx]b_k=p_k(x_0),\quad p_{k+1}(x)=\dfrac{p_k(x)-p_k(x_0)}{x-x_0}[/texx]

Lo que pasa esa división entre polinomios no es numérica sino simbólica.

Saludos.

[Fernando Revilla]

¿Cómo se puede usar el algoritmo de Horner para calcular el desarrollo de Taylor de un polinomio en un punto?

Tal vez te sirva un ejemplo: expresar el polinomio [texx]f(x)=x^3-2x^2+6x-7[/texx] en potencias enteras y positivas de [texx] x+1[/texx].

          [texx]\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -2 & 6 &-7 \\-1   &  &-1  &3 & -9\\\hline  & 1 & -3 & 9 & \boxed{-16}\end{array}[/texx]
          [texx]\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -3 & 9  \\-1   &  &-1  &4 \\\hline  & 1 & -4 & \boxed{13} \end{array}[/texx]
          [texx]\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -4   \\-1   &  &-1  \\\hline  & \boxed{1} & \boxed{-5}  \end{array}[/texx]

Entonces, [texx]x^3-2x^2+6x-7 =-16+13(x+1)-5(x+1)^2+(x+1)^3.[/texx]

P.D. Aquí (problema 3) está resuelto el problema aplicando la fórmula de Taylor.

[arm]

Muchas gracias, con el ejemplo lo entiendo mejor.