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Autor Tema: ¿Demostración de la irracionalidad de un número natural?  (Leído 53 veces)
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megasaw
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« : 17/02/2017, 03:06:50 am »

Demuestre que si un número natural [texx]m[/texx] no es un cuadrado perfecto, entonces [texx]\sqrt{m}[/texx] es irracional.
Agradezco su pronta ayuda.
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Samir M.
Physicsguy.
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« Respuesta #1 : 17/02/2017, 04:02:10 am »

Hola, bienvenido al foro.

Recuerda leer e intentar cumplir las reglas por las que se rige este foro.

En particular, deberías transcribir los problemas en [texx]\LaTeX[/texx] (en caso de desconocimiento, tienes un completo tutorial aquí).

En cuanto a tu problema, ¿qué has intentado? Un buen camino es razonar por reducción al absurdo. Supongamos que es racional, digamos, [texx]\sqrt{m} = \dfrac{a}{b}[/texx] tal que [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son coprimos. Elevando al cuadrado, obtenemos que [texx]mb^2 = a^2[/texx], donde es claro que [texx]a > b[/texx]. Por otro lado, [texx]a = bq + r[/texx] donde [texx] 0 \leq r < b[/texx] y [texx]q > 1[/texx].
Distinguimos dos casos: si [texx]r = 0[/texx] entonces [texx]\dfrac{a}{b} = q [/texx] y [texx]\sqrt{m}[/texx] sería un cuadrado perfecto. Contradicción. Supongamos que [texx]r \neq  0[/texx] e intenta completar la prueba (pista: intenta demostrar que [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] no son coprimos bajo este supuesto: contradicción).

Añadido:

Otra forma algo más sencilla es notar que [texx]m[/texx] no es un cuadrado perfecto entonces tiene un factor primo de la forma [texx]p^{2n+1}[/texx] (es decir, con exponente impar). Pero entonces [texx]p[/texx] también es factor [texx]a[/texx]. Más aún, es factor un número par de veces (¿por qué?). Contradicción (¿por qué?).

Saludos.
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[texx]\mbox{Ego} \propto \dfrac{1}{\mbox{Knowledge}}[/texx]
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