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Autor Tema: Demostración Productorio  (Leído 191 veces)
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arm
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« : 16/02/2017, 02:41:51 pm »

Hola, tengo que demostrar la siguiente igualdad (sin utilizar inducción) y no se por dónde empezar,

$$\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n}{|1/2-k|}=\frac{(2n)!}{2^{2n+1} n!}$$

Gracias.
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Juan Pablo
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« Respuesta #1 : 16/02/2017, 03:02:10 pm »

Tienes:

[texx]\displaystyle \prod_{k=0}^n |\dfrac{1}{2}-k| = \prod_{k=0}^n |\dfrac{2 \cdot k - 1}{2}| = \dfrac{1}{2} \cdot \prod_{k=1}^n \dfrac{2 \cdot k - 1}{2} [/texx]

Usa también :

[texx]\displaystyle (2 \cdot n - 1)!! = (2 \cdot n-1) \cdot (2 \cdot n - 3) \cdot \cdots \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 [/texx] el producto de los impares hasta [texx] 2 \cdot n - 1 [/texx]

[texx]\displaystyle (2 \cdot n )!! = 2 \cdot n \cdot (2 \cdot n -2) \cdot \cdots \cdot 4 \cdot 2 [/texx] el producto de los pares hasta [texx]2 \cdot n [/texx]

Entonces:

[texx]\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot \prod_{k=1}^n \dfrac{2 \cdot k - 1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\prod_{k=1}^n 2 \cdot k - 1}{2^n} = \dfrac{(2 \cdot n-1)!!}{2^{n+1}}[/texx] te falta multiplicar por algo en el denominador y en el numerador para obtener el resultado.
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mathtruco
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« Respuesta #2 : 16/02/2017, 03:16:06 pm »

Yo lo estaba pensando en una demostración por inducción. La dificultad es la misma.

  -  Hipótesis:  [texx]\displaystyle\prod_{k=0}^n\left|\dfrac{1}{2}-k \right|=\dfrac{(2n)!}{2^{2n+1}n!}[/texx]

  -  Queremos probar:  [texx]\displaystyle\prod_{k=0}^{n+1}\left|\dfrac{1}{2}-k \right|=\color{blue}\dfrac{(2(n+1))!}{2^{2(n+1)+1}(n+1)!}[/texx]

Comenzamos con la demostración:

    [texx]\displaystyle\prod_{k=0}^{n+1}\left|\dfrac{1}{2}-k \right|=\prod_{k=0}^n\left|\dfrac{1}{2}-k \right|\left|\dfrac{1}{2}-(n+1) \right|[/texx]

                     [texx]\displaystyle=\prod_{k=0}^n\left|\dfrac{1}{2}-k \right|\dfrac{(2n+1)}{2}[/texx]

y usando la hipótesis de inducción

    [texx]\displaystyle\prod_{k=0}^{n+1}\left|\dfrac{1}{2}-k \right|=\color{blue}\dfrac{(2n)!}{2^{2n+1}n!}\dfrac{(2n+1)}{2}[/texx]

y desde ahí está casi listo, usando propiedades (como las mencionadas por Juan Pablo) del tipo:

    [texx](2(n+1))!=(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)![/texx]

    y [texx](n+1)!=(n+1)n![/texx]

Básicamente, es comparar las expresiones en azul (a la que quieres llegar y la que llevamos) y multiplicar y dividir por los términos que necesitas, y ver como se cancela lo que debe cancelarse.
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sugata
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« Respuesta #3 : 16/02/2017, 04:40:12 pm »

mathtruco, no puede usar inducción.
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mathtruco
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« Respuesta #4 : 16/02/2017, 05:32:45 pm »

Tienes razón sugata. Vi la pregunta y respondí de la primera forma que se me vino a la cabeza. Sin usar inducción procedería parecido a Juan Pablo.

    [texx]\displaystyle\prod_{k=0}^n\left|\dfrac{1}{2}-k\right|=\prod_{k=0}^n\left|\dfrac{1-2k}{2}\right|[/texx]

                     [texx]=\dfrac{1}{2^{n+1}}\displaystyle\prod_{k=0}|2k-1|[/texx]

                     [texx]=\dfrac{1}{2^{n+1}}(1\cdot 3\cdot 7\cdot\dots (2n-1))\color{blue}\dfrac{2\cdot 4\cdot\dots (2n-2)}{2\cdot 4\cdot\dots (2n-2)}[/texx]

Nota que debemos "hacer aparecer" un factorial en el numerador, por eso multiplico (y divido) por lo que falta para construir el factorial:

    [texx](1\cdot 3\cdot 7\cdot\dots (2n-1))={\color{blue}2\cdot 4\cdot\dots (2n-2)}=(2n-1)![/texx]

   
Nota además que:

    [texx]\underbrace{2}_{2\cdot 1}\cdot \underbrace{4}_{2\cdot 2}\cdot\dots \underbrace{2n-2}_{2\cdot (n-1)}=2^{n-1}(n-1)![/texx]


Juntando lo anterior:

    [texx]\displaystyle\prod_{k=0}^n\left|\dfrac{1}{2}-k\right|=\dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{(2n-1)!}{2^{n-1}(n-1)!}\color{blue}\dfrac{2n}{2n}[/texx]

donde añadimos el término en azul sólo para llegar a la expresión que uno quiere. Con unas pocas cuentas más se obtiene el resultado.
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Juan Pablo
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« Respuesta #5 : 16/02/2017, 05:36:43 pm »

Si esa era mi idea  multiplicar numerador y denominador por....

Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Y hacer cuentas después vamos lo mismo.

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arm
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« Respuesta #6 : 17/02/2017, 05:13:06 am »

Muchas gracias a todos, pero no veo una cosa,
siguiendo lo que dice Juan Carlos, efectivamente llego a
$$\displaystyle\prod_{k=1}^{k=n}{\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}}$$
Si multiplico numerador y denominador por [texx]\frac{(2n)!!}{(2n)!!}[/texx] si llego al denominador deseado, pero en el numerador se quedaría,
$$(2n-1)!!(2n)!!=n!\neq{(2n)!}$$
No sé donde esta el fallo.
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sugata
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« Respuesta #7 : 17/02/2017, 05:37:55 am »

Yo de ésto no sé nada, pero leyendo ésto que dice Juan Pablo.



[texx]\displaystyle (2 \cdot n - 1)!! = (2 \cdot n-1) \cdot (2 \cdot n - 3) \cdot \cdots \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 [/texx] el producto de los impares hasta [texx] 2 \cdot n - 1 [/texx]

[texx]\displaystyle (2 \cdot n )!! = 2 \cdot n \cdot (2 \cdot n -2) \cdot \cdots \cdot 4 \cdot 2 [/texx] el producto de los pares hasta [texx]2 \cdot n [/texx]


A mi me sale que:

[texx](2n)!!(2n-1)!!=(2n)![/texx]
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« Respuesta #8 : 17/02/2017, 05:45:33 am »

Por cierto, no conocía la definición de las dos admiraciones.
¿Cómo se denomina?¿Doble factorial?
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el_manco
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« Respuesta #9 : 17/02/2017, 05:50:34 am »

Hola

Por cierto, no conocía la definición de las dos admiraciones.
¿Cómo se denomina?¿Doble factorial?

Si.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 17/02/2017, 06:05:55 am »

Gracias, el_manco.
Cómo siempre, al rescate.
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Juan Pablo
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« Respuesta #11 : 17/02/2017, 12:05:11 pm »

Muchas gracias a todos, pero no veo una cosa,
siguiendo lo que dice Juan Carlos, efectivamente llego a
$$\displaystyle\prod_{k=1}^{k=n}{\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}}$$
Si multiplico numerador y denominador por [texx]\frac{(2n)!!}{(2n)!!}[/texx] si llego al denominador deseado, pero en el numerador se quedaría,
$$(2n-1)!!(2n)!!=n!\neq{(2n)!}$$
No sé donde esta el fallo.

Será Juan Pablo y [texx]\displaystyle \prod_{k=0}^n |\dfrac{1}{2} - k| = \dfrac{(2\cdot n-1)!!}{2^{n+1}} [/texx]

Como menciona sugata [texx] (2 \cdot n)!! \cdot (2 \cdot n - 1)!! = (2 \cdot n)! [/texx]

[texx] (2 \cdot n)!! \cdot (2 \cdot n - 1)!! = ((2n) \cdot (2n-2) \cdots 4 \cdot 2) \cdot  ( (2 \cdot n-1) \cdot (2 \cdot n-3) \cdots 3 \cdot 1) = 2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 [/texx]
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Santusa
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« Respuesta #12 : 17/02/2017, 12:48:12 pm »

Hola, cómo están todos:

Hola, tengo que demostrar la siguiente igualdad (sin utilizar inducción) y no se por dónde empezar,

$$\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n}{|1/2-k|}=\frac{(2n)!}{2^{2n+1} n!}$$

Gracias.
Editado
Si no me equivoco, ese problema es equivalente a demostrar este otro:

\begin{equation}\label{produno}
\prod_{k=1}^n\frac{2(2k-1)}{n+k}=1
\end{equation}

Cariños.
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« Respuesta #13 : 17/02/2017, 02:33:39 pm »

Hola, Cómo están todos:

Para probar \eqref{produno}

Haciendo:
\begin{equation}\label{produnob}
P=\prod_{k=1}^n(n+k)
\end{equation}
Editado
Tendríamos que ver en \eqref{produnob}, que [texx]2^n | P\land 2^{n+1}\nmid P[/texx], además,
[texx]\dfrac{P}{2^n}[/texx], es el producto de todos los impares entre [texx]1\text{ y }2n[/texx].

Cariños.
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Santusa
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« Respuesta #14 : Ayer a las 11:58:11 am »

Hola, cómo están todos.

En la expresión \eqref{produnob}, observemos que [texx]P=\dfrac{(2n)!}{n!}[/texx]
En el siguiente enlace veremos que  [texx]2^n | P\land 2^{n+1}\nmid P[/texx].

Que [texx]\dfrac{P}{2^n}[/texx] es el producto de todos los impares entre [texx]1\text{ y }2n[/texx], es casi inmediato.

Cariños.
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