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Autor Tema: Ejercicios de Probabilidad  (Leído 338 veces)
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« : 15/02/2017, 05:59:50 pm »

Sea [texx]X[/texx] una variable aleatoria discreta de funcion de probabilidad

[texx]g_X(n)=\dfrac{1}{n^2}[/texx] si [texx]n=1,2,3,\ldots[/texx]

Hallar:

(a) [texx]E(X)[/texx], [texx]V (X)[/texx]

(b) [texx]P\{X\geq 4|X\textsf{ es par}\}[/texx]

(c) Si [texx]Y=1/X[/texx], hallar [texx]E(Y)[/texx]


2. En una ciudad dada , el 6% de los conductores obtienen al menos una boleta de estacionamiento al año.
Use la aproximacióon de Poisson a la distribución Binomial para determinar la probabilidad de que entre
80 conductores (elegidos aleatoriamente en esta ciudad)

(a) cuatro obtengan al menos una boleta de estacionamiento en un año dado (Resp. 0.182)
(b) al menos tres obtengan como mínimo una boleta de estacionamiento en un año dado (Resp. 0.857)
(c) cualquier número de ellos entre tres y seis inclusive obtengan una boleta de estacionamiento en un
año dado. (Resp.0.648).

3. Sea [texx]X[/texx] una variable aleatoria de densidad

[texx]f(x)=\begin{cases}{ x}&\text{si}& x\in [0,1]\\2-x & \text{si}x\in [1,2] d\\0 & \text{ en otro caso}&\end{cases}[/texx]

(a) Halle la funcion de distribucion de [texx]X[/texx].
(b) Halle la esperanza y la varianza de [texx]X[/texx].
(c) Sean [texx]A=\{1/2\leq X\leq 3/2\}[/texx], ¿[texx]B=\{X>1\}[/texx], son [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] eventos independientes?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 16/02/2017, 06:04:39 am »

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez te han corregido la fórmula desde la administración.

 Además:

 - Prefereiblemente debes de poner un problema por mensaje. En otro caso se mezclan las respuestas de varias cuestiones distintas y el hilo termina por hacerse confuso.
 - Si usas copia-pega para los enunciados moléstate en corregir los caracteres que a veces se copian mal (por ejemplo los acentos).
 - Debes de indicar que has intentado y que dudas concretas te surgen.

Algunas indicaciones:

Sea [texx]X[/texx] una variable aleatoria discreta de funcion de probabilidad

[texx]g_X(n)=\dfrac{1}{n^2}[/texx] si [texx]n=1,2,3,\ldots[/texx]

Hallar:

(a) [texx]E(X)[/texx], [texx]V (X)[/texx]

(b) [texx]P\{X\geq 4|X\textsf{ es par}\}[/texx]

(c) Si [texx]Y=1/X[/texx], hallar [texx]E(Y)[/texx]

La función que das [texx]g_X(N)=1/n^2[/texx] no es una densidad de una probabilidad discreta porque:

[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}>1[/texx]

así que revisa el enunciado; tal como está no tiene sentido.


Cita
2. En una ciudad dada , el 6% de los conductores obtienen al menos una boleta de estacionamiento al año.
Use la aproximacióon de Poisson a la distribución Binomial para determinar la probabilidad de que entre
80 conductores (elegidos aleatoriamente en esta ciudad)

(a) cuatro obtengan al menos una boleta de estacionamiento en un año dado (Resp. 0.182)
(b) al menos tres obtengan como mínimo una boleta de estacionamiento en un año dado (Resp. 0.857)
(c) cualquier número de ellos entre tres y seis inclusive obtengan una boleta de estacionamiento en un
año dado. (Resp.0.648).

La variable número de conductores que consiguen una boleta entre los [texx]80[/texx], es una binomial [texx]X\in B(80,0.06)[/texx].

Te piden:

a) [texx]P(X=4)[/texx]
b) [texx]P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2)[/texx]
c) [texx]P(3\leq X\leq 6)[/texx]

Te dicen que lo hagas aproximando la binomial por una Poisson. En general una binomial [texx]B(n,p)[/texx] se aproxima por una Poisson [texx]Y[/texx] de parámetro [texx]\lambda=np[/texx]. Recuerda que:

[texx]P(Y=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}[/texx]

Cita
3. Sea [texx]X[/texx] una variable aleatoria de densidad

[texx]f(x)=\begin{cases}{ x}&\text{si}& x\in [0,1]\\2-x & \text{si}& x\in [1,2] \\0 & \text{ en otro caso}&\end{cases}[/texx]

(a) Halle la funcion de distribucion de [texx]X[/texx].
(b) Halle la esperanza y la varianza de [texx]X[/texx].
(c) Sean [texx]A=\{1/2\leq X\leq 3/2\}[/texx], ¿[texx]B=\{X>1\}[/texx], son [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] eventos independientes?

(a) Por definición la función de distribución es:

[texx]F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f(t)dt[/texx]

En tu caso:

- Si [texx]x<0[/texx], [texx]F(x)=0.[/texx]

- Si [texx]x\in [0,1][/texx], [texx]F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}tdt=\ldots[/texx]

- Si [texx]x\in [1,2][/texx], [texx]F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}tdt+\displaystyle\int_{0}^{1}(2-t)dt=\ldots[/texx]

- Si [texx]x>1[/texx] [texx]F(x)=1[/texx].

(b) Por definición la esperanza es:

[texx]\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{1}x^2dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(2-x)xdx=\ldots[/texx]

(c) Son independientes si:

[texx]P(A\cap B)=P(A)P(B)[/texx]

donde:

[texx]P(A)=F(3/2)-F(1/2)=\ldots[/texx]
[texx]P(B)=1-F(1)=\ldots[/texx]
[texx]P(A\cap B)=P(1<X\leq \dfrac{3}{2})=\ldots[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 20/02/2017, 03:44:22 pm »

Muchas gracias el_manco:)
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