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Autor Tema: Homeomorfismo  (Leído 70 veces)
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Julio_fmat
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« : 15/02/2017, 05:24:23 pm »

Sean [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dos espacios topológicos y sea [texx]f:X\to Y[/texx] una función biyectiva. Muestre que [texx]f[/texx] es un homeomorfismo ssi [texx]f[/texx] es continua y abierta.

Sabemos que [texx]f[/texx] es un homeomorfismo si [texx]f,f^{-1}[/texx] son funciones continuas.

[texx](\Longleftarrow)[/texx] Claramente [texx]f[/texx] es biyectiva. Si [texx]f:X\to Y[/texx] es continua, tenemos de inmediato la homeomorfidad. Entonces, [texx]f^{-1}(Y)=X[/texx] es abierto, porque [texx]X[/texx] es un espacio topológico y la imagen inversa de un abierto es abierta. Así, [texx]f^{-1}[/texx] es continua, y por lo tanto un homeomorfismo.

[texx](\implies)[/texx] Para el otro caso... Sabemos que [texx]f[/texx] es un homeomorfismo. Luego, [texx]f,f^{-1}[/texx] son funciones continuas. Tenemos de inmediato la continuidad de [texx]f[/texx]. Mostramos ahora que [texx]f[/texx] es una función abierta. Sea [texx]U\in \tau_X[/texx], tenemos que [texx]f(U)\in \tau_Y.[/texx] Luego, [texx]f[/texx] es abierta.

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« Respuesta #1 : 15/02/2017, 09:31:38 pm »

Hola Julio_fmat.

Definición: [texx]f[/texx] es dice homeomorfismo si

    (1) [texx]f[/texx] es biyectiva.
    (2) [texx]f[/texx] es continua.
    (3) la inversa de [texx]f[/texx] es continua.


La proposición que enuncias:
    Proposición: Si [texx]f[/texx] y su inversa son continuas, entonces [texx]f[/texx] es un homeomorfismo.


El enunciado del problema es:
Cita
Sean [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dos espacios topológicos y sea [texx]f:X\to Y[/texx] una función biyectiva. Muestre que [texx]f[/texx] es un homeomorfismo ssi [texx]f[/texx] es continua y abierta.

Demostración:

[texx](\Rightarrow)[/texx] Sabemos que [texx]f[/texx] es biyectiva y es un homeomorfismo. Entonces se tienen (1), (2) y (3), y sólo falta probar que [texx]f[/texx] es abierta.

Mostramos ahora que [texx]f[/texx] es una función abierta. Sea [texx]U\in \tau_X[/texx], tenemos que [texx]f(U)\in \tau_Y.[/texx] Luego, [texx]f[/texx] es abierta.

La implicación no me queda clara. Da la impresión que sólo colocaste lo a lo que querías llegar, pero sin el argumento.

[texx](\Leftarrow)[/texx]  Sabemos que [texx]f[/texx] es (1) biyectiva, (2) continua y abierta. Sólo falta probar (3).


Entonces, [texx]f^{-1}(Y)=X[/texx] es abierto, porque [texx]X[/texx] es un espacio topológico y la imagen inversa de un abierto es abierta. Así, [texx]f^{-1}[/texx] es continua, y por lo tanto un homeomorfismo.


Pero lo que hay que probar eso para todos abierto des [texx]{\cal T}_Y[/texx], y no sólo para el abierto [texx]Y[/texx].


##########

Trata de probar lo que falta (lo que puse en negrita en cada implicación, y como sugerencia olvídate de la proposición. Como es fácil, te demoras lo mismo en nombrarla y usarla que sólo en escribir el razonamiento para deducirla.
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« Respuesta #2 : 21/02/2017, 05:31:58 pm »

Hola Julio_fmat.

Definición: [texx]f[/texx] es dice homeomorfismo si

    (1) [texx]f[/texx] es biyectiva.
    (2) [texx]f[/texx] es continua.
    (3) la inversa de [texx]f[/texx] es continua.


La proposición que enuncias:
    Proposición: Si [texx]f[/texx] y su inversa son continuas, entonces [texx]f[/texx] es un homeomorfismo.


El enunciado del problema es:
Cita
Sean [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dos espacios topológicos y sea [texx]f:X\to Y[/texx] una función biyectiva. Muestre que [texx]f[/texx] es un homeomorfismo ssi [texx]f[/texx] es continua y abierta.

Demostración:

[texx](\Rightarrow)[/texx] Sabemos que [texx]f[/texx] es biyectiva y es un homeomorfismo. Entonces se tienen (1), (2) y (3), y sólo falta probar que [texx]f[/texx] es abierta.

Mostramos ahora que [texx]f[/texx] es una función abierta. Sea [texx]U\in \tau_X[/texx], tenemos que [texx]f(U)\in \tau_Y.[/texx] Luego, [texx]f[/texx] es abierta.

La implicación no me queda clara. Da la impresión que sólo colocaste lo a lo que querías llegar, pero sin el argumento.

[texx](\Leftarrow)[/texx]  Sabemos que [texx]f[/texx] es (1) biyectiva, (2) continua y abierta. Sólo falta probar (3).


Entonces, [texx]f^{-1}(Y)=X[/texx] es abierto, porque [texx]X[/texx] es un espacio topológico y la imagen inversa de un abierto es abierta. Así, [texx]f^{-1}[/texx] es continua, y por lo tanto un homeomorfismo.


Pero lo que hay que probar eso para todos abierto des [texx]{\cal T}_Y[/texx], y no sólo para el abierto [texx]Y[/texx].


##########

Trata de probar lo que falta (lo que puse en negrita en cada implicación, y como sugerencia olvídate de la proposición. Como es fácil, te demoras lo mismo en nombrarla y usarla que sólo en escribir el razonamiento para deducirla.

Muchas Gracias mathtruco. Eeeem como que me enredo con la segunda implicacion, no se que pasa...

[texx](\Longleftarrow)[/texx] [texx]f[/texx] es continua y abierta. Por demostrar que [texx]f[/texx] es un homeomorfismo. O sea, en otras palabras, por demostrar que [texx]f^{-1}[/texx] es continua. No se cómo usar el dato de que [texx]f[/texx] es abierta, solo se que me dice que dado [texx]U\in \tau_X[/texx], se tiene que [texx]f(U)\in \tau_Y.[/texx] Luego? ¿está bien?
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« Respuesta #3 : 21/02/2017, 06:05:15 pm »

[texx](\Longleftarrow)[/texx] [texx]f[/texx] es continua y abierta. Por demostrar que [texx]f[/texx] es un homeomorfismo. O sea, en otras palabras, por demostrar que [texx]f^{-1}[/texx] es continua. No se cómo usar el dato de que [texx]f[/texx] es abierta, solo se que me dice que dado [texx]U\in \tau_X[/texx], se tiene que [texx]f(U)\in \tau_Y.[/texx] Luego? ¿está bien?

No puede estar bien si no probaste nada  :rodando_los_ojos:

Sólo es cosa de escribir con cuidado lo que tienes y a lo que quieres llegar.


[texx](\Leftarrow)[/texx]  Sabemos que [texx]f[/texx] es (1) biyectiva, (2) continua y abierta. Sólo falta probar (3).


( (3) era que la inversa de [texx]f[/texx] es continua )

[texx]g:Y\rightarrow X[/texx] se dice continua, si para todo [texx]U\in{\cal T}_X[/texx] (un abierto en el conjunto de llegada) se cumple que [texx]g^{-1}(U)\in{\cal T}_Y[/texx] (un abierto en el conjunto de partida).

Para [texx]g:=f^{-1}[/texx], [texx]g^{-1}=f[/texx]. Por lo que decir que [texx]g[/texx] es continua cuando para todo [texx]U\in{\cal T}_X[/texx]  se cumple que [texx]f(U)\in{\cal T}_Y[/texx], esto es lo mismo que decir que [texx]f[/texx] es abierta, y eso lo sabemos por hipótesis.


Te faltaría terminar de demostrar la otra implicancia.
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