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Autor Tema: Expresa \(\;(-1+i\sqrt{3})^{11}\;\) en la forma \(\;a+bi\).  (Leído 382 veces)
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« : 15/02/2017, 04:40:46 pm »


Expresa el siguiente número en la forma    [texx]a+bi[/texx]:

[texx](-1+i\sqrt[ ]{3})^{11}[/texx]

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« Respuesta #1 : 15/02/2017, 05:12:25 pm »

Yo hice por el binomio:

\begin{array}{lcl}(a+bi)^{11}&=&\displaystyle\sum_{k=0}^{11}{\displaystyle\binom{11}{k}\cdot{(-1)^{k}}\cdot{(i\sqrt[ ]{3})^{11-k}}}=\\\\
&=&\displaystyle\binom{11}{0}\cdot{(-1)^0}\cdot{(i\sqrt[ ]{3})^{11}}+\displaystyle\binom{11}{1}\cdot{(-1)^1}\cdot{(i\sqrt[ ]{3})^{10}}+\cdots\\\\
&\cdots+&\displaystyle\binom{11}{10}\cdot{(-1)^{10}}\cdot{(i\sqrt[ ]{3})^2}+\displaystyle\binom{11}{11}\cdot{(-1)^{11}}\cdot{(i\sqrt[ ]{3})^0}\end{array},


si observamos que los términos pares son positivos y los impares negativos podemos escribir el sumatorio

de la forma:


\begin{array}{lcl}(a+bi)^{11}&=&\displaystyle\sum_{k=0}^5{\displaystyle\binom{5}{2k}\cdot{i^{2k}\sqrt[ ]{3}^{2k}}}-\displaystyle\sum_{k=1}^6{\displaystyle\binom{6}{2k-1}\cdot{i^{2k-1}\sqrt[ ]{3}^{2k-1}}}=\\\\
&=&\displaystyle\sum_{k=0}^5{\displaystyle\binom{5}{2k}\cdot{(-1)^k3^k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^6{\displaystyle\binom{6}{2k-1}\cdot{\displaystyle\frac{i^{2k}}{i}}\cdot{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}^{2k}}{\sqrt[ ]{3}}}}=\\\\
&=&\displaystyle\sum_{k=0}^5{\displaystyle\binom{5}{2k}\cdot{3^k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^6{\displaystyle\binom{6}{2k-1}\cdot{\displaystyle\frac{(-1)^k}{i}}\cdot{\displaystyle\frac{3^k}{\sqrt[ ]{3}}}}=\\\\
&=&\displaystyle\sum_{k=0}^5{\displaystyle\binom{5}{2k}\cdot{3^k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^6{\displaystyle\binom{6}{2k-1}\cdot{\left(-\displaystyle\frac{1}{i}\right)}\cdot{\displaystyle\frac{3^k}{\sqrt[ ]{3}}}}=\\\\
&=&\displaystyle\sum_{k=0}^5{\displaystyle\binom{5}{2k}\cdot{3^k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^6{\displaystyle\binom{6}{2k-1}\cdot{\left(-\displaystyle\frac{i}{i^2}\right)}\cdot{\displaystyle\frac{3^k}{\sqrt[ ]{3}}}}=\\\\
&=&\displaystyle\sum_{k=0}^5{\displaystyle\binom{5}{2k}\cdot{3^k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^6{\displaystyle\binom{6}{2k-1}\cdot{\left(-\displaystyle\frac{i}{-1}\right)}\cdot{\displaystyle\frac{3^k}{\sqrt[ ]{3}}}}=\\\\
&=&\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^5{\displaystyle\binom{5}{2k}\cdot{3^k}}}_{a}-\underbrace{\displaystyle\sum_{k=1}^6{\displaystyle\binom{6}{2k-1}\cdot{\displaystyle\frac{3^k}{\sqrt[ ]{3}}}}i}_{-bi}\end{array}
.


Saludos.
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« Respuesta #2 : 15/02/2017, 05:16:19 pm »

En este caso es más práctico usar representación polar del complejo y la Fórmula de De Moivre.
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« Respuesta #3 : 15/02/2017, 05:58:12 pm »

En este caso es más práctico usar representación polar del complejo y la Fórmula de De Moivre.


Gracias,


[texx]|z|=\sqrt[ ]{(\sqrt[ ]{3})^2+1^2}=2 [/texx]


[texx]\vartheta=\arg(z)=\arctg \left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctg \left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{-1}\right)+\pi=\arctg\left(-\sqrt[ ]{3}\right)+\pi=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+\pi=\displaystyle\frac{2\pi}{3}[/texx]


y por la fórmula que se cita:


\begin{array}{lcl}z^{11}&=&2^{11}\left(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{3}+i\sen \displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)^{11}\\\\
&=&2^{11}\left(\cos \displaystyle\frac{22\pi}{3}+i\sen \displaystyle\frac{22\pi}{3}\right)\\\\
&=&2^{11}\left(-\displaystyle\frac{1}{2}+i\sen \displaystyle\frac{22\pi}{3}\right)\\\\
&=&-2^{10}+\left(2^{11}\sen \displaystyle\frac{22\pi}{3}\right)i\\\\
&=&-1024+\left(2048\sen \displaystyle\frac{22\pi}{3}\right)i\\\\
&=&\color{red}-1024+\left(-\displaystyle\frac{2048\cdot{}\sqrt[ ]{3}}{2}\right)i\\\\
&=&\color{red}-1024-1024\sqrt[ ]{3}i\end{array}


Saludos.


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« Respuesta #4 : 15/02/2017, 06:02:04 pm »

Es correcto, pero falta terminarlo. Seguro sabes calcular el seno de [texx]22\pi/3[/texx]

P.D.


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Ahora sí está completo.
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