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Autor Tema: Demostrar utilizando prueba directa  (Leído 192 veces)
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fafafa
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« : 15/02/2017, 02:15:24 pm »

Buenas, analizando la proposición sencilla: todo numero entre 2 y 26, si es impar entonces es primo o es producto de primos.
es fácil darse cuenta que es verdadera haciendo una prueba exhaustiva. pero, ¿existe alguna forma de demostrarlo haciendo una prueba directa?. saludos.
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feriva
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« Respuesta #1 : 15/02/2017, 02:46:03 pm »

Buenas, analizando la proposición sencilla: todo numero entre 2 y 26, si es impar entonces es primo o es producto de primos.
es fácil darse cuenta que es verdadera haciendo una prueba exhaustiva. pero, ¿existe alguna forma de demostrarlo haciendo una prueba directa?. saludos.

Por definición, todo número natural a partir del propio 1 incluido, que no es ni primo ni compuesto, es divisible entre 1 y el propio número; es obvio, no necesita demostración, pues 1 es el mínimo, y dividie a todos, y un número dividido entre sí mismo es 1. Así pues, todo número natural que haya entre 2 y 26, o entre 2 y el natural que sea, y ya sea impar o par, al menos será primo como poco. Con eso ya está asegurada la afirmación.

(si la disyunción es obligatoria, es decir, si es obligatorio demostrar que existe algún compuesto, entonces se puede apelar al Teorema Fundamental de la Aritmética)

Saludos.
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mathtruco
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« Respuesta #2 : 15/02/2017, 03:06:19 pm »

El detalle feriva, es que hay números como el [texx]27[/texx], que es un impar e igual a  [texx]9\cdot 3[/texx] (es igual a la multiplicación de dos números, donde uno de ellos no es primo). Justamente por eso se pide sólo considerar los números [texx]1,\dots 26[/texx].

La pregunta de fafafa es probar que ningún número impar entre 1 y 25 es igual a la [texx]x\cdot y[/texx], donde [texx]x[/texx] o [texx]y[/texx] no es primo.

Son tan pocos números que yo intentaría la prueba "exhaustiva" (probando todas las opciones).


Otra forma de probarlo (un poco menos exhaustiva) es notar que

- el análisis se restringe sólo a los números impares (porque si [texx]x[/texx] o [texx]y[/texx] es par entonces [texx]x\cdot y[/texx] es par, y por tanto no es primo)
- y es fácil ver que [texx]3\cdot 3=\underline{9}[/texx], [texx]3\cdot 5=\underline{15}[/texx], [texx]3\cdot 7=\underline{21}[/texx] y [texx]5\cdot 5=\underline{25}[/texx] son los únicos impares menores que [texx]26[/texx] que podemos obtener multiplicando números impares. Por tanto, los impares entre 1 y 26 deben estos 4 números (que son justamente producto de primos) o ser primos.

Sospecho que este razonamiento no te sirve, pero lo dejo por si acaso.
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Juan Pablo
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« Respuesta #3 : 15/02/2017, 03:31:21 pm »

Utiliza que si para todo [texx] p [/texx] primo con [texx] p \leq \sqrt[3]{n} [/texx] tenemos que [texx] p [/texx] no divide a [texx] n [/texx] entonces [texx] n [/texx] es a lo sumo producto de dos primos.

Teniendo en cuenta [texx]\sqrt[3]{26} = 2.9624 \cdots < 3 [/texx] entonces [texx] 2 [/texx] no divide a ninguno de los impares, entonces son primos o producto de dos primos.
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feriva
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« Respuesta #4 : 15/02/2017, 03:44:54 pm »

El detalle feriva, es que hay números como el [texx]27[/texx], que es un impar e igual a  [texx]9\cdot 3[/texx] (es igual a la multiplicación de dos números, donde uno de ellos no es primo). Justamente por eso se pide sólo considerar los números [texx]1,\dots 26[/texx].

Ah, ¿es eso? Por el enunciado y la sección pensé que era más general lo de "producto de primos".

Saludos.

*En ese caso hubiera respondido como Juan Pablo; alegando que, entonces, dado que 5 es el mayor primo que forma compuestos en el intervalo, sólo tenemos dos primos que puedan formar compuestos impares, 3 y 5, resultando [texx]3^2>5[/texx] y, por tanto, siendo todos los impares primos o semiprimos.
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Juan Pablo
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« Respuesta #5 : 15/02/2017, 03:47:14 pm »

Pensé lo mismo feriva, sería mejor "primo o producto de dos primos"
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mathtruco
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« Respuesta #6 : 15/02/2017, 04:00:44 pm »

Pensé lo mismo feriva, sería mejor "primo o producto de dos primos"

Será que sé tan poco de primos (a penas la definición), y por eso no me quedó duda  :sonrisa_amplia:
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