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Autor Tema: Duda sobre el principio de inducción  (Leído 170 veces)
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fafafa
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« : 15/02/2017, 09:31:21 am »

Buenas, estoy adentrándome en la inducción y tengo una duda sobre los pasos que se siguen:

Los  dos enunciados en que se basa el principio de inducción me lo enseñaron así:
1. El numero uno pose una propiedad [texx]P[/texx].
2. Si un numero posee la propiedad [texx]P[/texx], entonces, el siguiente numero también pose la propiedad [texx]P[/texx]

el segundo enunciado desde el punto de vista de la lógica proposicional se podria poner bajo la forma de una implicación como sigue:
[texx]P(n)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta \Rightarrow{} P(n+1)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta[/texx]

mi duda surge de esto, porque en los ejemplos que he visto, lo que hacen es ver si la propiedad es cierta para [texx]n+1[/texx] y concluyen que es cierta para [texx]n[/texx], entonces yo digo:
desde el punto de vista de la función de implicación[texx](\Rightarrow{})[/texx], si lo del lado derecho es verdadero nada se puede decir de lo que esta en el lado izquierdo.

por lo tanto,¿el segundo enunciado no tendría que ser asi?:
[texx]P(n+1)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta \Rightarrow{} P(n)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta[/texx]

Saludos y gracias.
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mathtruco
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« Respuesta #1 : 15/02/2017, 11:44:31 am »

Hola fafafa.


Los  dos enunciados en que se basa el principio de inducción me lo enseñaron así:
1. El numero uno pose una propiedad [texx]P[/texx].
2. Si un numero posee la propiedad [texx]P[/texx], entonces, el siguiente numero también pose la propiedad [texx]P[/texx]

el segundo enunciado desde el punto de vista de la lógica proposicional se podria poner bajo la forma de una implicación como sigue:
[texx]P(n)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta \Rightarrow{} P(n+1)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta[/texx]


Perfecto.

Debes probar que [texx]P(n+1)[/texx] es verdadera suponiendo que [texx]P(n)[/texx] es verdadera.

Tendrías que escribir el ejemplo que estás mirando para ver donde puede estar la confusión. Pero revísala bien para estar seguro de qué es lo que quieren probar y cuál es la hipótesis.

P.D. Acá tienes unos ejemplos que podrías revisar, y si tienes la misma duda (u otras) con ellos los discutimos:

  http://fernandorevilla.es/blog/2014/02/03/descripcion-del-metodo-de-induccion/
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Quien pregunta es ignorante durante un minuto; quien no pregunta, es ignorante durante toda su vida.
Santusa
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« Respuesta #2 : 15/02/2017, 11:49:23 am »

Hola fafafa

Buenas, estoy adentrándome en la inducción y tengo una duda sobre los pasos que se siguen:

Los  dos enunciados en que se basa el principio de inducción me lo enseñaron así:
1. El numero uno pose una propiedad [texx]P[/texx].
2. Si un numero posee la propiedad [texx]P[/texx], entonces, el siguiente numero también pose la propiedad [texx]P[/texx]

el segundo enunciado desde el punto de vista de la lógica proposicional se podria poner bajo la forma de una implicación como sigue:
[texx]P(n)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta \Rightarrow{} P(n+1)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta[/texx]

mi duda surge de esto, porque en los ejemplos que he visto, lo que hacen es ver si la propiedad es cierta para [texx]n+1[/texx] y concluyen que es cierta para [texx]n[/texx], entonces yo digo:
desde el punto de vista de la función de implicación[texx](\Rightarrow{})[/texx], si lo del lado derecho es verdadero nada se puede decir de lo que esta en el lado izquierdo.

por lo tanto,¿el segundo enunciado no tendría que ser asi?:
[texx]P(n+1)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta \Rightarrow{} P(n)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta[/texx]

Saludos y gracias.

Hay distintas versiones, pero la más común es:


  • Base inductiva: Se demuestra [texx]P(1)[/texx].
  • Hipótesis inductiva: Se supone [texx]P(n)[/texx] verdadera.
  • Paso inductivo: Se demuestra [texx]P(n)\Rightarrow P(n+1)[/texx].
  • Conclusión: Cumplidos los pasos previos, [texx]\forall n\in\mathbb{N},\, P(n)[/texx] es verdadera.

Si querés hacemos un ejemplo.
Cariños.
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« Respuesta #3 : 15/02/2017, 11:51:10 am »

Hola mathtruco:

Disculpame, nos cruzamos.  :risa:


Cariños.
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« Respuesta #4 : 15/02/2017, 11:53:32 am »

Hola

 Por afianzar lo que han apuntado mathtruco y Santusa, esto:

mi duda surge de esto, porque en los ejemplos que he visto, lo que hacen es ver si la propiedad es cierta para [texx]n+1[/texx] y concluyen que es cierta para [texx]n[/texx], entonces yo digo:
desde el punto de vista de la función de implicación[texx](\Rightarrow{})[/texx], si lo del lado derecho es verdadero nada se puede decir de lo que esta en el lado izquierdo.

por lo tanto,¿el segundo enunciado no tendría que ser asi?:
[texx]P(n+1)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta \Rightarrow{} P(n)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta[/texx]

 Está mal; la inducción consiste en suponer cierta el resultado para [texx]n[/texx] y probarlo para [texx]n+1[/texx] y no al revés.

 Si has visto eso en algún ejericio o lo has entendido mal o no está bien.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #5 : 15/02/2017, 02:13:05 pm »



Hola, fafafa.

por lo tanto,¿el segundo enunciado no tendría que ser asi?:
[texx]P(n+1)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta \Rightarrow{} P(n)[/texx] [texx]es[/texx] [texx]cierta[/texx]

No en general; y por una razón muy simple: los números naturales se acaban hacia la izquierda, por donde no se acaban es hacia la derecha.

Saludos.
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