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Autor Tema: Derivadas de funciones trigonométricas inversas: Derivada de arcosecante?  (Leído 233 veces)
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albertitoeins
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« : 14/02/2017, 09:03:27 pm »

Disculpen me cueste ser breve: tengo una duda en la determinación de esta derivada... me guió por cómo resuelve este profesor: https://www.youtube.com/watch?v=6zijyKINuQg (aplica valor absoluto) pero creo que hay varias cuestiones que se saltea..
He visto que en muchas tablas aparece que la derivada de [texx]y'=\mbox{arcsec(s)}'=\displaystyle\frac{1}{s\cdot(s^2-1)^{1/2}}[/texx] y en algunas pocas [texx]y'=\dfrac{d(\mbox{arcsec(s)})}{ds}=\displaystyle\frac{1}{\left |{s}\right |\cdot (s^2-1)^{1/2}}[/texx].
al intentar llegar a ella derivando implícitamente :
                 
[texx]y(x)=\mbox{arcsec(s)}\Longrightarrow{\sec(y)=s}[/texx] luego [texx]\sec(y)\tan(y)y'=s'[/texx] y así [texx]y'=\displaystyle\dfrac{s'}{s\cdot \tan(y)}[/texx] 

y he aquí mi problema, se debe reemplazar [texx]\tan{y}[/texx] por algo con términos de secante, aquí voy a las identidades pitagóricas:
[texx](\tan(y)^2)^{1/2}=(\mbox{arcsec(s)}^2-1)^{1/2}[/texx] pero para despejar \tan{y} me queda un valor absoluto de por medio recordando que la arcosecante está definida en el intervalo monótono [texx]\mathbb{R}\, \backslash \, (-1,1)[/texx] con imagen [texx][0,\pi]\, \backslash \, \{\pi/2\}=y[/texx]... y en dicho intervalo la tangente es negativa y positiva
Bueno en fin creo que sera más fácil si me dicen el procedimiento desde 0 y los razonamientos. Gracias desde ya.

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Samir M.
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« Respuesta #1 : 15/02/2017, 01:38:28 am »

Hola.

Sería conveniente que repases brevemente nuestro tutorial de [texx]\LaTeX[/texx].

En cuanto a tu problema, creo que te estás liando con la derivación implícita y las inversas. Si partimos de la igualdad [texx] s = \sec{y}[/texx]  tenemos que, derivando respecto de [texx]y[/texx], [texx]s' =\sec{y}\tan{y}[/texx] y, por tanto, por la derivada de la inversa, [texx]y' = \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{\sec{y}\tan{y}}[/texx]. Elevando ambos miembros al cuadrado y usando que [texx]\sec^2 y - \tan^2 y = 1 [/texx] siempre que [texx]\cos y \neq 0[/texx], llegamos a que [texx]\displaystyle (y')^2 = \frac 1 {\sec^2 y \left({\sec^2 y - 1}\right)} [/texx].

Usando que [texx]s = \sec y[/texx] (para [texx]|s| \neq 1[/texx]) tenemos que [texx](y')^2 = \dfrac 1 {s^2  \left({s^2  - 1}\right)}[/texx] luego [texx]|y'| = \dfrac 1 {|s|  \left({s^2  - 1}\right)} [/texx].

Bien, por una parte observa que [texx]\sin{y} \geq 0 \ \ \forall y \in [0,\pi]\, \backslash \, \left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}[/texx] (¿por qué este intervalo?) y también que [texx]y' = \dfrac{1}{\sec{y}\tan{y}} = \dfrac{\cos^2{y}}{\sin{y}}[/texx] luego el signo de [texx]y'[/texx] es el mismo que el del seno, el cual es positivo en el intervalo escogido, como hemos señalado.

Por otra parte, si [texx]s > 0[/texx] entonces [texx]0 < \mbox{arcsec(s)} < \dfrac{\pi}{2} [/texx] y si [texx]s < 0[/texx] entonces [texx]\dfrac{\pi}{2} < \mbox{arcsec(s)} < \pi[/texx]. Por tanto:

[texx]\dfrac{dy}{ds} = \dfrac{d(\mbox{arcsec(s)})}{ds} = \begin{cases} \dfrac{1}{s\sqrt{s^2-1}} & \text{si}& 0 < \mbox{arcsec(s)} < \dfrac{\pi}{2}\\ \dfrac{-1}{s\sqrt{s^2-1}} & \text{si}& \dfrac{\pi}{2} < \mbox{arcsec(s)} < \pi\end{cases} [/texx]

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
albertitoeins
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« Respuesta #2 : 15/02/2017, 05:31:29 am »

 ???mm nunca había visto el procedimiento de derivar implícitamente respecto de la variable dependiente original.. podrías detallarlo mas? no entiendo mas bien cuando dices "por la derivada de la inversa" y escribes[texx]y'=\displaystyle\frac{1}{s'}[/texx]
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el_manco
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« Respuesta #3 : 15/02/2017, 05:54:47 am »

Hola

???mm nunca había visto el procedimiento de derivar implícitamente respecto de la variable dependiente original.. podrías detallarlo mas? no entiendo mas bien cuando dices "por la derivada de la inversa" y escribes[texx]y'=\displaystyle\frac{1}{s'}[/texx]

Está utilizando la fórmula de la derivada de la función inversa. Si [texx]f:A\subset \mathbb{R}\longrightarrow{}B\subset \mathbb{R}[/texx] es una función derivable con derivada no nula en un punto [texx]x_0[/texx], entonces tiene inversa en un entorno de ese punto y se cumple que:

[texx](f^{-1})'(f(x_0))=\dfrac{1}{f'(x_0)}[/texx]

Esencialmente esa fórmula es consecuencia de la regla de la cadena. Como:

[texx](f^{-1}\circ f)(x)=id(x)[/texx]

Derivando a ambos lados:

[texx](f'^{-1})'(f(x_0))f'(x_0)=1[/texx]

y de ahí puede despejarse [texx]f'^{-1}(f(x_0)).[/texx]

Saludos.
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