Foros de matemática
21/09/2017, 04:23:19 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Límite (1) Por Taylor.  (Leído 472 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
latex
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 194


Ver Perfil
« : 14/02/2017, 08:04:58 pm »

Hola buenas noches, tengo un límite que no me termino de aclarar que es lo que tengo que realmente que hacer

[texx]\displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-\cos(x)^{\sen(x)}}{x^3}}[/texx]   

Como lo que me molesta es el seno en dicha exponencial, tomando logaritmos, se quedaría

[texx]\displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-\cos(x)^{\sen(x)}}{x^3}}  = \displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-e^{\sen(x)\cdot \log(\cos(x))}}{x^3}}[/texx] 

Entonces ahora ¿aplicaría Taylor a tanto el seno, como el coseno, y como la exponencial?
[texx]
e^x = 1 +x +\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/texx]
[texx]
\sen x= x -\displaystyle\frac{x^3}{3!} + \displaystyle\frac{x^5}{5!} + o(x^5)[/texx]

[texx]\cos x= 1- \displaystyle\frac{x^2}{2!} + \displaystyle\frac{x^4}{4!} +o(x^4)[/texx]

¿Alguien me podría explicar dicho límite?

Muchas gracias de antemano :sonrisa:

Saludos.


En línea
Juan Pablo
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 4.004


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 14/02/2017, 08:35:14 pm »

Cuando lo tienes de esta forma:

[texx]\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-e^{\sen(x) \cdot \log(\cos(x))}}{x^3} [/texx] intenta usar L'Hopital.

Donde puedes usar:

[texx]\log(\cos(x)) = \log(1-(1-\cos(x))) = \dfrac{\log(1-(1-\cos(x)))}{1-\cos(x)} \cdot \dfrac{1-\cos(x)}{\dfrac{1}{2} x^2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 [/texx]
En línea
latex
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 194


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 15/02/2017, 03:37:18 am »

Hola Juan Pablo, no puedo hacer dicho límite aplicando hopital, (en concreto debo hacerlo por Taylor), pero no se me ocurre que hacer, ni hasta que orden de infinitesismos desarrollar taylor etc...

Saludos :sonrisa:
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.559


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 15/02/2017, 06:21:34 am »

Hola

[texx]\displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-\cos(x)^{\sen(x)}}{x^3}}[/texx]   

Como lo que me molesta es el seno en dicha exponencial, tomando logaritmos, se quedaría

[texx]\displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-\cos(x)^{\sen(x)}}{x^3}}  = \displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-e^{\sen(x)\cdot \log(\cos(x))}}{x^3}}[/texx] 

Entonces ahora ¿aplicaría Taylor a tanto el seno, como el coseno, y como la exponencial?
[texx]
e^x = 1 +x +\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/texx]
[texx]
\sen x= x -\displaystyle\frac{x^3}{3!} + \displaystyle\frac{x^5}{5!} + o(x^5)[/texx]

[texx]\cos x= 1- \displaystyle\frac{x^2}{2!} + \displaystyle\frac{x^4}{4!} +o(x^4)[/texx]

Vaya por delante que me parece mala idea hacerlo por Taylor. Dicho esto en en cuenta que:

[texx]log(cos(x))=log(\sqrt{1-sin^2(x)})=\dfrac{1}{2}log(1-sin^2(x))[/texx]

Aplicando Taylor al logaritmo:

[texx]log(cos(x))=-\dfrac{1}{2}sin^2(x)-\dfrac{1}{4}sin^4(x)+o(sin^6(x))=-\dfrac{1}{2}sin^2(x)-\dfrac{1}{4}sin^4(x)+o(x^6)[/texx]

Por tanto [texx]sin(x)log(cos(x))=-\dfrac{1}{2}sin^3(x)-\dfrac{1}{4}sin^5(x)+o(x^7)[/texx]

y teniendo en cuenta que [texx]e^x=1+x+o(x^2)[/texx]:

[texx]1-e^{sin(x)log(cos(x)}=-sin(x)log(cos(x))+o(x^6)=\dfrac{1}{2}sin^3(x)+\dfrac{1}{4}sin^5(x)+o(x^7)[/texx]

Finalmente teniendo en cuenta que [texx]sin(x)= x+o(x^3)[/texx]:

[texx]1-e^{sin(x)log(cos(x)}=\dfrac{1}{2}x^3+o(x^4)[/texx]

Saludos.
En línea
Samir M.
Physicsguy.
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 939

I'm back.


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 15/02/2017, 08:27:33 am »

Por curiosidad, ¿cómo calcularíais la serie de Taylor de [texx]\cos(x)^{\sin{x}}[/texx]? En el límite, se me ocurre desarrollar primero el seno en serie de potencias y luego jugar con el límite y el [texx]x^3[/texx] (es una idea, no sé si estará bien). Pero fuera del límite no se me ocurre cómo sin tirar de productos de Cauchy, o hacerlo 'a saco'.

Saludos.
En línea

[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
latex
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 194


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 20/02/2017, 06:36:10 pm »

El límite finalmente da [texx]1/2[/texx], si alguien quiere los detalles, los escribo, pero básicamente se trata desarrollar el seno hasta grado [texx]3[/texx], y teniendo en cuenta [texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{o(x^5)}{x^3}}\longrightarrow{0}[/texx]
En línea
latex
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 194


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 20/02/2017, 06:42:07 pm »

Por curiosidad, ¿cómo calcularíais la serie de Taylor de [texx]\cos(x)^{\sin{x}}[/texx]? En el límite, se me ocurre desarrollar primero el seno en serie de potencias y luego jugar con el límite y el [texx]x^3[/texx] (es una idea, no sé si estará bien). Pero fuera del límite no se me ocurre cómo sin tirar de productos de Cauchy, o hacerlo 'a saco'.

Saludos.
Pues tomando logaritmos, [texx]{e^{sen(x)\cdot log(cos(x))}}[/texx] y desarrollando el coseno hasta grado [texx]2[/texx], luego hacer el desarrollo del logaritmo y el seno, multiplicar teniendo en cuenta con que infinitésimos te quedas, y te quedará e elevado a algo, y que desarrollando saldrá algo con un [texx]x^3[/texx].
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!