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Autor Tema: Límite (1) Por Taylor.  (Leído 256 veces)
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« : 14/02/2017, 08:04:58 pm »

Hola buenas noches, tengo un límite que no me termino de aclarar que es lo que tengo que realmente que hacer

[texx]\displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-\cos(x)^{\sen(x)}}{x^3}}[/texx]   

Como lo que me molesta es el seno en dicha exponencial, tomando logaritmos, se quedaría

[texx]\displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-\cos(x)^{\sen(x)}}{x^3}}  = \displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-e^{\sen(x)\cdot \log(\cos(x))}}{x^3}}[/texx] 

Entonces ahora ¿aplicaría Taylor a tanto el seno, como el coseno, y como la exponencial?
[texx]
e^x = 1 +x +\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/texx]
[texx]
\sen x= x -\displaystyle\frac{x^3}{3!} + \displaystyle\frac{x^5}{5!} + o(x^5)[/texx]

[texx]\cos x= 1- \displaystyle\frac{x^2}{2!} + \displaystyle\frac{x^4}{4!} +o(x^4)[/texx]

¿Alguien me podría explicar dicho límite?

Muchas gracias de antemano :sonrisa:

Saludos.


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Juan Pablo
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« Respuesta #1 : 14/02/2017, 08:35:14 pm »

Cuando lo tienes de esta forma:

[texx]\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-e^{\sen(x) \cdot \log(\cos(x))}}{x^3} [/texx] intenta usar L'Hopital.

Donde puedes usar:

[texx]\log(\cos(x)) = \log(1-(1-\cos(x))) = \dfrac{\log(1-(1-\cos(x)))}{1-\cos(x)} \cdot \dfrac{1-\cos(x)}{\dfrac{1}{2} x^2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 [/texx]
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« Respuesta #2 : 15/02/2017, 03:37:18 am »

Hola Juan Pablo, no puedo hacer dicho límite aplicando hopital, (en concreto debo hacerlo por Taylor), pero no se me ocurre que hacer, ni hasta que orden de infinitesismos desarrollar taylor etc...

Saludos :sonrisa:
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el_manco
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« Respuesta #3 : 15/02/2017, 06:21:34 am »

Hola

[texx]\displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-\cos(x)^{\sen(x)}}{x^3}}[/texx]   

Como lo que me molesta es el seno en dicha exponencial, tomando logaritmos, se quedaría

[texx]\displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-\cos(x)^{\sen(x)}}{x^3}}  = \displaystyle\lim_{x \to\ 0}{\displaystyle\frac{1-e^{\sen(x)\cdot \log(\cos(x))}}{x^3}}[/texx] 

Entonces ahora ¿aplicaría Taylor a tanto el seno, como el coseno, y como la exponencial?
[texx]
e^x = 1 +x +\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!} + o(x^3)[/texx]
[texx]
\sen x= x -\displaystyle\frac{x^3}{3!} + \displaystyle\frac{x^5}{5!} + o(x^5)[/texx]

[texx]\cos x= 1- \displaystyle\frac{x^2}{2!} + \displaystyle\frac{x^4}{4!} +o(x^4)[/texx]

Vaya por delante que me parece mala idea hacerlo por Taylor. Dicho esto en en cuenta que:

[texx]log(cos(x))=log(\sqrt{1-sin^2(x)})=\dfrac{1}{2}log(1-sin^2(x))[/texx]

Aplicando Taylor al logaritmo:

[texx]log(cos(x))=-\dfrac{1}{2}sin^2(x)-\dfrac{1}{4}sin^4(x)+o(sin^6(x))=-\dfrac{1}{2}sin^2(x)-\dfrac{1}{4}sin^4(x)+o(x^6)[/texx]

Por tanto [texx]sin(x)log(cos(x))=-\dfrac{1}{2}sin^3(x)-\dfrac{1}{4}sin^5(x)+o(x^7)[/texx]

y teniendo en cuenta que [texx]e^x=1+x+o(x^2)[/texx]:

[texx]1-e^{sin(x)log(cos(x)}=-sin(x)log(cos(x))+o(x^6)=\dfrac{1}{2}sin^3(x)+\dfrac{1}{4}sin^5(x)+o(x^7)[/texx]

Finalmente teniendo en cuenta que [texx]sin(x)= x+o(x^3)[/texx]:

[texx]1-e^{sin(x)log(cos(x)}=\dfrac{1}{2}x^3+o(x^4)[/texx]

Saludos.
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Samir M.
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« Respuesta #4 : 15/02/2017, 08:27:33 am »

Por curiosidad, ¿cómo calcularíais la serie de Taylor de [texx]\cos(x)^{\sin{x}}[/texx]? En el límite, se me ocurre desarrollar primero el seno en serie de potencias y luego jugar con el límite y el [texx]x^3[/texx] (es una idea, no sé si estará bien). Pero fuera del límite no se me ocurre cómo sin tirar de productos de Cauchy, o hacerlo 'a saco'.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 20/02/2017, 06:36:10 pm »

El límite finalmente da [texx]1/2[/texx], si alguien quiere los detalles, los escribo, pero básicamente se trata desarrollar el seno hasta grado [texx]3[/texx], y teniendo en cuenta [texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{o(x^5)}{x^3}}\longrightarrow{0}[/texx]
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« Respuesta #6 : 20/02/2017, 06:42:07 pm »

Por curiosidad, ¿cómo calcularíais la serie de Taylor de [texx]\cos(x)^{\sin{x}}[/texx]? En el límite, se me ocurre desarrollar primero el seno en serie de potencias y luego jugar con el límite y el [texx]x^3[/texx] (es una idea, no sé si estará bien). Pero fuera del límite no se me ocurre cómo sin tirar de productos de Cauchy, o hacerlo 'a saco'.

Saludos.
Pues tomando logaritmos, [texx]{e^{sen(x)\cdot log(cos(x))}}[/texx] y desarrollando el coseno hasta grado [texx]2[/texx], luego hacer el desarrollo del logaritmo y el seno, multiplicar teniendo en cuenta con que infinitésimos te quedas, y te quedará e elevado a algo, y que desarrollando saldrá algo con un [texx]x^3[/texx].
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