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Autor Tema: Conjunto de puntos interiores  (Leído 423 veces)
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Julio_fmat
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« : 14/02/2017, 06:13:21 pm »

Sea [texx](X,\tau)[/texx] un espacio topológico y sea [texx]A\subseteq X.[/texx] Muestre que

[texx]x\in \mathring{A}\iff \exists U\in \tau: x\in U\subset A.[/texx]

Hola, me imagino que es solo ocupar la definicion? En cuyo caso son dos implicaciones a demostrar...
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« Respuesta #1 : 14/02/2017, 07:09:50 pm »

Hola Julio_fmat.

Seguramente esto es directo de la definición, pero en topología me pierdo porque lo que en un libro es una definición en otro es una propiedad, y viceversa. Tendría que saber qué definición de interior de un conjunto te dieron. Pero de acuerdo a la definición que conozco el resultado es directo de la definición.
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 15/02/2017, 05:30:55 pm »

Hola Julio_fmat.

Seguramente esto es directo de la definición, pero en topología me pierdo porque lo que en un libro es una definición en otro es una propiedad, y viceversa. Tendría que saber qué definición de interior de un conjunto te dieron. Pero de acuerdo a la definición que conozco el resultado es directo de la definición.

Gracias mathtruco. Si, hay que demostrarlo...
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« Respuesta #3 : 15/02/2017, 05:33:58 pm »

Insisto:

Hola Julio_fmat.

Seguramente esto es directo de la definición, pero en topología me pierdo porque lo que en un libro es una definición en otro es una propiedad, y viceversa. Tendría que saber qué definición de interior de un conjunto te dieron. Pero de acuerdo a la definición que conozco el resultado es directo de la definición.


Revisa, por ejemplo, la definición de wikipedia:

Cita
Interior:
Un punto  [texx]x \in X[/texx] se dirá que es un punto interior de [texx]A[/texx] si existe un entorno [texx]N[/texx] de [texx]x[/texx] tal que [texx]N \subset A[/texx]. Así, el conjunto de los puntos interiores a [texx]A[/texx] es un conjunto abierto, denominado Interior de A, denotado por Int (A) o también como [texx]\stackrel{\ \circ}{A}[/texx]. Es el mayor conjunto abierto incluido en [texx]A[/texx].

Como podrás advertir, lo que escribiste es exactamente la definición que ahí aparece. Para poder ayudarte necesitaría saber qué definición estás usando (o quizás alguien más en el foro podrá adivinarlo).
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« Respuesta #4 : 15/02/2017, 09:39:38 pm »

Buenas noches, creo que la demostración sería algo así:
DEMOSTRACIÓN
[texx]\Rightarrow{}[/texx]
[texx]
x\in{}Int(A)\Rightarrow{}\exists{}B\in{}Ent(x):B\subset{}A
[/texx]
Por la definición de entorno:
[texx]
B\in{}Ent(x)\Longleftrightarrow{}\exists{}O\in{}τ:x\in{}O\subset{}B\Rightarrow{}\exists{}O\in{}τ:x\in{}O\subset{}A
[/texx]
[texx]\Leftarrow{}[/texx]
Tenemos que
[texx]\exists{}O\in{}τ:x\in{}O\subset{}A[/texx]
Sabemos que un subconjunto es abierto si y solo si es entorno de todos sus puntos. Luego,
[texx]\exists{}O\in{}Ent(x):x\in{}O\subset{}A\Rightarrow{}x\in{}Int(A)[/texx]



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« Respuesta #5 : 15/02/2017, 10:02:09 pm »

100% de acuerdo KarimJerez !!
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« Respuesta #6 : 16/02/2017, 05:39:45 am »

Hola

Hola Julio_fmat.

Seguramente esto es directo de la definición, pero en topología me pierdo porque lo que en un libro es una definición en otro es una propiedad, y viceversa. Tendría que saber qué definición de interior de un conjunto te dieron. Pero de acuerdo a la definición que conozco el resultado es directo de la definición.

Gracias mathtruco. Si, hay que demostrarlo...

Lo que quiere decir mathruco es que para poder ayudarte a enfocar correctamente esta demostración tenemos que saber exactamente que definición de interior ten han dado.

Saludos.
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Julio_fmat
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« Respuesta #7 : 21/02/2017, 03:34:02 pm »

Muchas gracias, me ha quedado claro. La definición de punto interior es la siguiente:

[texx]\mathring{A}=\displaystyle\bigcup_{U\in {\cal T}, \, U\subseteq A} U\subseteq A.[/texx]

[texx](\implies)[/texx] Sea [texx]x\in \mathring{A}=\displaystyle\bigcup_{U\in \cal T} U\subset A\implies x\in U\subset A.[/texx] Así, por definición de unión generalizada se tiene que [texx]\exists U\in \tau: x\in U\subset A.[/texx]

[texx](\Longleftarrow)[/texx] Por otro lado, [texx]\exists U\in \tau [/texx] tal que [texx]x\in U\subset A.[/texx] Como [texx]x\in U\subseteq \displaystyle\bigcup_{U\in \cal T} U\subset A[/texx]. Se sigue que [texx]x\in \mathring{A}.[/texx]

Así, por [texx](\implies)[/texx] y [texx](\Longleftarrow)[/texx] se prueba la proposición.
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« Respuesta #8 : 21/02/2017, 04:04:41 pm »

Sospecho que tienes una errata, y querías escribir

    [texx]\mathring{A}=\displaystyle\bigcup_{U\in{\cal T}, U\subseteq A}U[/texx]  (la unión de todos los abiertos contenidos en [texx]\color{red}A[/texx])

Teniendo esa consideración, tu idea de demostración es correcta, y faltaría la otra implicancia.

Nota que esta definición es un poco distinta a la que utilizó KarimJerez, y por eso la demostración tiene una pequeña diferencia. Por eso era importante que nos precisaras qué definición de interior de un conjunto estabas usando.

P.D. En rojo hice una correción. Originalmente decía [texx]\mathring{A}[/texx]
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Julio_fmat
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« Respuesta #9 : 21/02/2017, 04:58:28 pm »

Sospecho que tienes una errata, y querías escribir

    [texx]\mathring{A}=\displaystyle\bigcup_{U\in{\cal T}, U\subseteq A}U[/texx]  (la unión de todos los abiertos contenidos en [texx]\mathring{A}[/texx])

Teniendo esa consideración, tu idea de demostración es correcta, y faltaría la otra implicancia.

Nota que esta definición es un poco distinta a la que utilizó KarimJerez, y por eso la demostración tiene una pequeña diferencia. Por eso era importante que nos precisaras qué definición de interior de un conjunto estabas usando.

Gracias mathtruco, ya lo arregle. Si, la definición es la que el Profesor nos entregó
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