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Autor Tema: Implicación Portmanteau  (Leído 78 veces)
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sanmath
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« : 14/02/2017, 11:42:12 am »

Hola tengo una duda con lo siguiente:
Tengo una de las implicaciones del teorema de Portmanteau: (adjunto)

No tengo muy claro la implicación b)[texx]\implies{c)}[/texx]

La parte de la desigualdad que dice que

[texx]\limsup_{n\to\infty}\mu_n(F)\leq \limsup_{n\to{\infty}}\displaystyle\int f_{\delta}d\mu_n=\int_{\delta}d\mu\leq\mu(F^{\delta})<\mu(F)[/texx]

lo que entiendo es la igualdad entre las el límite superior de la integral y la integral pues dado que se tiene el inciso b) entonces el límite superior coincide con el límite pues este es único pero la primera desigualdad y la penúltima no la tengo claro.

Además en el teorema no entiendo que quiere decir que [texx]\mu_n(X)\rightarrow \mu(X)[/texx] en que parte prueba eso para la

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« Respuesta #1 : 14/02/2017, 07:40:03 pm »

Hola sanmath.

 Lo que sucede en la primera desigualdad (la de los límites superiores) es que se está usando que [texx]\mu_{n}(F)\leq\int f_{\delta}\,d\mu_{n}[/texx] (luego se toma límite superior para obtener la desigualdad). Para probar que [texx]\mu_{n}(F)\leq\int f_{\delta}\,d\mu_{n}[/texx] nota que si [texx]{\bf 1}_{F}[/texx] es la función indicadora de [texx]F,[/texx] entonces por construcción [texx]{\bf 1}_{F}\leq f_{\delta},[/texx] luego [texx]\int {\bf 1}_{F}\,d\mu_{n}\leq\int f_{\delta}\,d\mu_{n}.[/texx] Pero [texx]\mu_{n}(F)=\int {\bf 1}_{F}\,d\mu_{n},[/texx] por tanto [texx]\mu_{n}(F)\leq\int f_{\delta}\,d\mu_{n}[/texx].

 La penúltima desigualdad se prueba de forma similar, teniendo en cuenta ahora que [texx]f_{\delta}\leq{\bf 1}_{F^{\delta}}.[/texx] Intenta verificarla. Finalmente, [texx]\mu_{n}(X)\to \mu(X)[/texx] quiere decir que [texx]\lim_{n\to\infty}\mu_{n}(X)=\mu(X)[/texx] (en el caso de medidas de probabilidad esta condición no es necesaria porque todos estos valores son iguales a uno y el límite se vuelve trivial). Esto se prueba en la implicación [texx](b)\Rightarrow(c)[/texx] haciendo [texx]f\equiv 1,[/texx] como se indica en la prueba que adjuntas.

 Si tienes alguna duda, sigue preguntando.

Saludos,

Enrique.
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sanmath
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« Respuesta #2 : 15/02/2017, 01:18:39 pm »

Hola Enrique muchas gracias por tu respuesta, me ha quedado un poco más claro.
Ahora siguiendo la misma linea no estoy claro como hacer la siguiente implicación, en la mayoría de textos dice que considere simplemente el complemento del conjunto pero no logro concluir lo que necesito.

En primer lugar he tratado de usar lo siguiente:

Considero un conjunto [texx]G[/texx], abierto, entonces  [texx]G^C[/texx] es cerrado, aplicando la parte anterior tendría que:
[texx]\mu(G^C)\geq lim sup_{n\to\infty}\mu_n(G^C)[/texx]
Además se por definición que:
[texx]lim inf \mu_n(G^C)\leq lim sup \mu_n(G^C)[/texx]
Sin embargo a partir de esto no he logrado llegar a nada concluyente.
Otra idea ha sido seguir una idea similar a la primera, sin embargo no tengo claro en la anterior implicación por qué se define la función [texx]f_{\delta}[/texx], no tengo claro de que sirve que el conjunto sea cerrado o abierto.


Además he completado la prueba de la primera implicación de que pregunté, tengo lo siguiente:

Sea [texx]F\subseteq X[/texx],  un conjunto cerrado. Defino el siguiente conjunto [texx]F^{\delta}=\left\{{x\in X,\rho(x,F)<\delta}\right\}[/texx] y consideramos la función Lipschitz f(x)=f_{\delta}=max{1-\rho(x,F)/\delta,0}(Aquí, he asumido directamente que es Lipschitziana acotada, pues siempre esta acotadapor 1).

Ahora antes de utilizar la desigualdad que me sugeriste [texx]\mu_n\leq\int f_{delta}d\mu_n[/texx] considero la función indicadora:
[texx]1_F=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in F\\0 & \text{si}& x\not\in{F} \end{cases}[/texx]
Esto no estoy seguro si se lo puede ver más directamente pero he razonado de la siguiente manera.
1) Si [texx]x\in F[/texx] tengo que [texx]1_F=1[/texx],  se tendrá que la distancia  [texx]\rho(x,F)=inf\left\{{\rho(x,y):y\in F}\right\}=0[/texx], así que [texx]f_{\delta}=1[/texx], pero si concluyó esto tengo que para todo [texx]\delta>0[/texx] [texx]0=\rho(x,F)<\delta[/texx], es decir [texx]x\in F^{\delta}[/texx]
2) Si [texx]x\not\in F[/texx] (Aquí no tengo claro como caraccterizar esto para ver que en efecto [texx]x\not\in F^{\delta}[/texx])

Para la otra parte [texx]f_{\delta}\leq 1_F^{\delta}[/texx]  me ha resultado más sencillo pues si [texx]x\not\in F^{\delta}[/texx]
entonces para [texx]\delta>0[/texx] [texx]\rho(x,F)>\delta[/texx] con lo cual [texx]f_{\delta}=0[/texx] ya que se sacaría el máximo entre un número negativo y el cero. Por otro lado si [texx]x\in F_{\delta}[/texx], entonces [texx]\rho(x,F^{\delta})=0[/texx] y [texx]f_{\delta}=1[/texx]. Aqui no me ha quedado claro por que se tiene menor o igual es decir cuando se tendría [texx]f_{\delta}<1[/texx], pues el máximo siempre sera 1, por qué no es solamente igual?




Saludos.
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« Respuesta #3 : 16/02/2017, 07:50:51 pm »

Hola sanmath.

 Trataré de responder las dudas que planteas. Si te queda alguna inquietud puedes seguir preguntando, naturalmente.


[texx]\bullet[/texx]
En primer lugar he tratado de usar lo siguiente:

Considero un conjunto [texx]G[/texx], abierto, entonces  [texx]G^C[/texx] es cerrado, aplicando la parte anterior tendría que:
[texx]\mu(G^C)\geq lim sup_{n\to\infty}\mu_n(G^C)[/texx]
Además se por definición que:
[texx]lim inf \mu_n(G^C)\leq lim sup \mu_n(G^C)[/texx]
Sin embargo a partir de esto no he logrado llegar a nada concluyente.

Nota que [texx]\mu(G^{C})=\mu(X)-\mu(G)[/texx] y lo mismo pasa con cada [texx]\mu_{n}.[/texx] Luego la primera desigualdad que escribiste es equivalente a escribir [texx]\mu(X)-\mu(G)\geq\limsup_{n}[\mu_{n}(X)-\mu_{n}(G)].[/texx] Gracias a que [texx]\mu_{n}(X)\to \mu(X),[/texx] la última expresión es igual [texx]\lim_{n}\mu_{n}(X)+\limsup_{n}[-\mu_{n}(G)]=\mu(X)-\liminf_{n}\mu_{n}(G),[/texx] donde en la última igualdad hemos usado que [texx]\limsup_{n}[-\mu_{n}(G)]=-\liminf_{n}\mu_{n}(G).[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Sobre esto:

Cita
Otra idea ha sido seguir una idea similar a la primera, sin embargo no tengo claro en la anterior implicación por qué se define la función [texx]f_{\delta}[/texx], no tengo claro de que sirve que el conjunto sea cerrado o abierto.

Que el conjunto [texx]F[/texx] sea cerrado es importante para que dado [texx]\varepsilon>0[/texx] exista [texx]\delta>0[/texx] tal que [texx]\mu(F^{\delta})-\mu(F)<\varepsilon.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Sobre esto otro:

Cita
Además he completado la prueba de la primera implicación de que pregunté, tengo lo siguiente:

Sea [texx]F\subseteq X[/texx],  un conjunto cerrado. Defino el siguiente conjunto [texx]F^{\delta}=\left\{{x\in X,\rho(x,F)<\delta}\right\}[/texx] y consideramos la función Lipschitz f(x)=f_{\delta}=max{1-\rho(x,F)/\delta,0}(Aquí, he asumido directamente que es Lipschitziana acotada, pues siempre esta acotadapor 1).

La función [texx]f_{\delta}[/texx] es Lipschitziana esencialmente porque para cualquier conjunto [texx]A[/texx] (no necesariamente cerrado), la aplicación [texx]x\mapsto\rho(x,A)[/texx] es Lipschitziana; el solo hecho de ser acotada no implica que sea Lipschitziana.

 Lo demás te lo respondo mañana, con más tiempo, lamentablemente estos días ando muy ocupado. Ve pensando en lo que te acabo de escribir.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #4 : 17/02/2017, 03:55:29 pm »

Continúo.

 [texx]\bullet[/texx] En la siguienta parte resaltada en rojo:

Ahora antes de utilizar la desigualdad que me sugeriste [texx]\mu_n\leq\int f_{\delta}d\mu_n[/texx] [...] he razonado de la siguiente manera.
1) Si [texx]x\in F[/texx] tengo que [texx]1_F=1[/texx],  se tendrá que la distancia  [texx]\rho(x,F)=inf\left\{{\rho(x,y):y\in F}\right\}=0[/texx], así que [texx]f_{\delta}=1[/texx], pero si concluyó esto tengo que para todo [texx]\delta>0[/texx] [texx]0=\rho(x,F)<\delta[/texx], es decir [texx]x\in F^{\delta}[/texx]

no se a qué te refieres. Si [texx]x\in F,[/texx] como [texx]F\subset F^{\delta},[/texx] naturalmente [texx]x\in F^{\delta}.[/texx] Para probar la desigualdad que te sugiero te indiqué que basta probar [texx]{\bf 1}_{F}\leq f_{\delta}[/texx] y luego integrar. Entonces basta comprobar que si [texx]x\in F,[/texx] entonces [texx]f_{\delta}(x)=1,[/texx] que es justamente lo que has verificado.

[texx]\bullet[/texx] Entonces, acerca de esto:

Cita
2) Si [texx]x\not\in F[/texx] (Aquí no tengo claro como caraccterizar esto para ver que en efecto [texx]x\not\in F^{\delta}[/texx])

 No hace falta verificar qué pasa con [texx]f_{\delta}(x)[/texx] cuando [texx]x\not\in F,[/texx] pues por construcción [texx]f_{\delta}\geq 0[/texx] y [texx]{\bf 1}_{F}(x)=0,[/texx] cuando [texx]x\not\in F.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Finalmente sobre esto:

Cita
Para la otra parte [texx]f_{\delta}\leq 1_F^{\delta}[/texx]  me ha resultado más sencillo pues si [texx]x\not\in F^{\delta}[/texx]
entonces para [texx]\delta>0[/texx] [texx]\rho(x,F)>\delta[/texx] con lo cual [texx]f_{\delta}=0[/texx] ya que se sacaría el máximo entre un número negativo y el cero. Por otro lado si [texx]x\in F_{\delta}[/texx], entonces [texx]\rho(x,F^{\delta})=0[/texx] y [texx]f_{\delta}=1[/texx]. Aqui no me ha quedado claro por que se tiene menor o igual es decir cuando se tendría [texx]f_{\delta}<1[/texx], pues el máximo siempre sera 1, por qué no es solamente igual?

 Me parece que no tienes muy claro el comportamiento de [texx]f_{\delta}[/texx] en el conjunto [texx]F^{\delta}\setminus F.[/texx] Nota que si [texx]x\in F^{\delta}\setminus F,[/texx] entonces [texx]\rho(x,f)\in(0,\delta).[/texx] Esto implica que [texx]f_{\delta}(x)\in(0,1),[/texx] de modo que si [texx]f_{\delta}(x)<1[/texx] para algún [texx]x\in F^{\delta}\setminus F,[/texx] no hay posibilidad de que [texx]f_{\delta}={\bf 1}_{F^{\delta}}.[/texx] En algún momento consideras [texx]\rho(x,{\color{blue}F^{\delta}}),[/texx] pero en la definición de [texx]f_{\delta}(x)[/texx] se usa a [texx]d(x,{\color{green}F}).[/texx]

Saludos,

Enrique.
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