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Autor Tema: Implicación Portmanteau  (Leído 614 veces)
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sanmath
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« : 14/02/2017, 11:42:12 am »

Hola tengo una duda con lo siguiente:
Tengo una de las implicaciones del teorema de Portmanteau: (adjunto)

No tengo muy claro la implicación b)[texx]\implies{c)}[/texx]

La parte de la desigualdad que dice que

[texx]\limsup_{n\to\infty}\mu_n(F)\leq \limsup_{n\to{\infty}}\displaystyle\int f_{\delta}d\mu_n=\int_{\delta}d\mu\leq\mu(F^{\delta})<\mu(F)[/texx]

lo que entiendo es la igualdad entre las el límite superior de la integral y la integral pues dado que se tiene el inciso b) entonces el límite superior coincide con el límite pues este es único pero la primera desigualdad y la penúltima no la tengo claro.

Además en el teorema no entiendo que quiere decir que [texx]\mu_n(X)\rightarrow \mu(X)[/texx] en que parte prueba eso para la

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« Respuesta #1 : 14/02/2017, 07:40:03 pm »

Hola sanmath.

 Lo que sucede en la primera desigualdad (la de los límites superiores) es que se está usando que [texx]\mu_{n}(F)\leq\int f_{\delta}\,d\mu_{n}[/texx] (luego se toma límite superior para obtener la desigualdad). Para probar que [texx]\mu_{n}(F)\leq\int f_{\delta}\,d\mu_{n}[/texx] nota que si [texx]{\bf 1}_{F}[/texx] es la función indicadora de [texx]F,[/texx] entonces por construcción [texx]{\bf 1}_{F}\leq f_{\delta},[/texx] luego [texx]\int {\bf 1}_{F}\,d\mu_{n}\leq\int f_{\delta}\,d\mu_{n}.[/texx] Pero [texx]\mu_{n}(F)=\int {\bf 1}_{F}\,d\mu_{n},[/texx] por tanto [texx]\mu_{n}(F)\leq\int f_{\delta}\,d\mu_{n}[/texx].

 La penúltima desigualdad se prueba de forma similar, teniendo en cuenta ahora que [texx]f_{\delta}\leq{\bf 1}_{F^{\delta}}.[/texx] Intenta verificarla. Finalmente, [texx]\mu_{n}(X)\to \mu(X)[/texx] quiere decir que [texx]\lim_{n\to\infty}\mu_{n}(X)=\mu(X)[/texx] (en el caso de medidas de probabilidad esta condición no es necesaria porque todos estos valores son iguales a uno y el límite se vuelve trivial). Esto se prueba en la implicación [texx](b)\Rightarrow(c)[/texx] haciendo [texx]f\equiv 1,[/texx] como se indica en la prueba que adjuntas.

 Si tienes alguna duda, sigue preguntando.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 15/02/2017, 01:18:39 pm »

Hola Enrique muchas gracias por tu respuesta, me ha quedado un poco más claro.
Ahora siguiendo la misma linea no estoy claro como hacer la siguiente implicación, en la mayoría de textos dice que considere simplemente el complemento del conjunto pero no logro concluir lo que necesito.

En primer lugar he tratado de usar lo siguiente:

Considero un conjunto [texx]G[/texx], abierto, entonces  [texx]G^C[/texx] es cerrado, aplicando la parte anterior tendría que:
[texx]\mu(G^C)\geq lim sup_{n\to\infty}\mu_n(G^C)[/texx]
Además se por definición que:
[texx]lim inf \mu_n(G^C)\leq lim sup \mu_n(G^C)[/texx]
Sin embargo a partir de esto no he logrado llegar a nada concluyente.
Otra idea ha sido seguir una idea similar a la primera, sin embargo no tengo claro en la anterior implicación por qué se define la función [texx]f_{\delta}[/texx], no tengo claro de que sirve que el conjunto sea cerrado o abierto.


Además he completado la prueba de la primera implicación de que pregunté, tengo lo siguiente:

Sea [texx]F\subseteq X[/texx],  un conjunto cerrado. Defino el siguiente conjunto [texx]F^{\delta}=\left\{{x\in X,\rho(x,F)<\delta}\right\}[/texx] y consideramos la función Lipschitz f(x)=f_{\delta}=max{1-\rho(x,F)/\delta,0}(Aquí, he asumido directamente que es Lipschitziana acotada, pues siempre esta acotadapor 1).

Ahora antes de utilizar la desigualdad que me sugeriste [texx]\mu_n\leq\int f_{delta}d\mu_n[/texx] considero la función indicadora:
[texx]1_F=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in F\\0 & \text{si}& x\not\in{F} \end{cases}[/texx]
Esto no estoy seguro si se lo puede ver más directamente pero he razonado de la siguiente manera.
1) Si [texx]x\in F[/texx] tengo que [texx]1_F=1[/texx],  se tendrá que la distancia  [texx]\rho(x,F)=inf\left\{{\rho(x,y):y\in F}\right\}=0[/texx], así que [texx]f_{\delta}=1[/texx], pero si concluyó esto tengo que para todo [texx]\delta>0[/texx] [texx]0=\rho(x,F)<\delta[/texx], es decir [texx]x\in F^{\delta}[/texx]
2) Si [texx]x\not\in F[/texx] (Aquí no tengo claro como caraccterizar esto para ver que en efecto [texx]x\not\in F^{\delta}[/texx])

Para la otra parte [texx]f_{\delta}\leq 1_F^{\delta}[/texx]  me ha resultado más sencillo pues si [texx]x\not\in F^{\delta}[/texx]
entonces para [texx]\delta>0[/texx] [texx]\rho(x,F)>\delta[/texx] con lo cual [texx]f_{\delta}=0[/texx] ya que se sacaría el máximo entre un número negativo y el cero. Por otro lado si [texx]x\in F_{\delta}[/texx], entonces [texx]\rho(x,F^{\delta})=0[/texx] y [texx]f_{\delta}=1[/texx]. Aqui no me ha quedado claro por que se tiene menor o igual es decir cuando se tendría [texx]f_{\delta}<1[/texx], pues el máximo siempre sera 1, por qué no es solamente igual?




Saludos.
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« Respuesta #3 : 16/02/2017, 07:50:51 pm »

Hola sanmath.

 Trataré de responder las dudas que planteas. Si te queda alguna inquietud puedes seguir preguntando, naturalmente.


[texx]\bullet[/texx]
En primer lugar he tratado de usar lo siguiente:

Considero un conjunto [texx]G[/texx], abierto, entonces  [texx]G^C[/texx] es cerrado, aplicando la parte anterior tendría que:
[texx]\mu(G^C)\geq lim sup_{n\to\infty}\mu_n(G^C)[/texx]
Además se por definición que:
[texx]lim inf \mu_n(G^C)\leq lim sup \mu_n(G^C)[/texx]
Sin embargo a partir de esto no he logrado llegar a nada concluyente.

Nota que [texx]\mu(G^{C})=\mu(X)-\mu(G)[/texx] y lo mismo pasa con cada [texx]\mu_{n}.[/texx] Luego la primera desigualdad que escribiste es equivalente a escribir [texx]\mu(X)-\mu(G)\geq\limsup_{n}[\mu_{n}(X)-\mu_{n}(G)].[/texx] Gracias a que [texx]\mu_{n}(X)\to \mu(X),[/texx] la última expresión es igual [texx]\lim_{n}\mu_{n}(X)+\limsup_{n}[-\mu_{n}(G)]=\mu(X)-\liminf_{n}\mu_{n}(G),[/texx] donde en la última igualdad hemos usado que [texx]\limsup_{n}[-\mu_{n}(G)]=-\liminf_{n}\mu_{n}(G).[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Sobre esto:

Cita
Otra idea ha sido seguir una idea similar a la primera, sin embargo no tengo claro en la anterior implicación por qué se define la función [texx]f_{\delta}[/texx], no tengo claro de que sirve que el conjunto sea cerrado o abierto.

Que el conjunto [texx]F[/texx] sea cerrado es importante para que dado [texx]\varepsilon>0[/texx] exista [texx]\delta>0[/texx] tal que [texx]\mu(F^{\delta})-\mu(F)<\varepsilon.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Sobre esto otro:

Cita
Además he completado la prueba de la primera implicación de que pregunté, tengo lo siguiente:

Sea [texx]F\subseteq X[/texx],  un conjunto cerrado. Defino el siguiente conjunto [texx]F^{\delta}=\left\{{x\in X,\rho(x,F)<\delta}\right\}[/texx] y consideramos la función Lipschitz f(x)=f_{\delta}=max{1-\rho(x,F)/\delta,0}(Aquí, he asumido directamente que es Lipschitziana acotada, pues siempre esta acotadapor 1).

La función [texx]f_{\delta}[/texx] es Lipschitziana esencialmente porque para cualquier conjunto [texx]A[/texx] (no necesariamente cerrado), la aplicación [texx]x\mapsto\rho(x,A)[/texx] es Lipschitziana; el solo hecho de ser acotada no implica que sea Lipschitziana.

 Lo demás te lo respondo mañana, con más tiempo, lamentablemente estos días ando muy ocupado. Ve pensando en lo que te acabo de escribir.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #4 : 17/02/2017, 03:55:29 pm »

Continúo.

 [texx]\bullet[/texx] En la siguienta parte resaltada en rojo:

Ahora antes de utilizar la desigualdad que me sugeriste [texx]\mu_n\leq\int f_{\delta}d\mu_n[/texx] [...] he razonado de la siguiente manera.
1) Si [texx]x\in F[/texx] tengo que [texx]1_F=1[/texx],  se tendrá que la distancia  [texx]\rho(x,F)=inf\left\{{\rho(x,y):y\in F}\right\}=0[/texx], así que [texx]f_{\delta}=1[/texx], pero si concluyó esto tengo que para todo [texx]\delta>0[/texx] [texx]0=\rho(x,F)<\delta[/texx], es decir [texx]x\in F^{\delta}[/texx]

no se a qué te refieres. Si [texx]x\in F,[/texx] como [texx]F\subset F^{\delta},[/texx] naturalmente [texx]x\in F^{\delta}.[/texx] Para probar la desigualdad que te sugiero te indiqué que basta probar [texx]{\bf 1}_{F}\leq f_{\delta}[/texx] y luego integrar. Entonces basta comprobar que si [texx]x\in F,[/texx] entonces [texx]f_{\delta}(x)=1,[/texx] que es justamente lo que has verificado.

[texx]\bullet[/texx] Entonces, acerca de esto:

Cita
2) Si [texx]x\not\in F[/texx] (Aquí no tengo claro como caraccterizar esto para ver que en efecto [texx]x\not\in F^{\delta}[/texx])

 No hace falta verificar qué pasa con [texx]f_{\delta}(x)[/texx] cuando [texx]x\not\in F,[/texx] pues por construcción [texx]f_{\delta}\geq 0[/texx] y [texx]{\bf 1}_{F}(x)=0,[/texx] cuando [texx]x\not\in F.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Finalmente sobre esto:

Cita
Para la otra parte [texx]f_{\delta}\leq 1_F^{\delta}[/texx]  me ha resultado más sencillo pues si [texx]x\not\in F^{\delta}[/texx]
entonces para [texx]\delta>0[/texx] [texx]\rho(x,F)>\delta[/texx] con lo cual [texx]f_{\delta}=0[/texx] ya que se sacaría el máximo entre un número negativo y el cero. Por otro lado si [texx]x\in F_{\delta}[/texx], entonces [texx]\rho(x,F^{\delta})=0[/texx] y [texx]f_{\delta}=1[/texx]. Aqui no me ha quedado claro por que se tiene menor o igual es decir cuando se tendría [texx]f_{\delta}<1[/texx], pues el máximo siempre sera 1, por qué no es solamente igual?

 Me parece que no tienes muy claro el comportamiento de [texx]f_{\delta}[/texx] en el conjunto [texx]F^{\delta}\setminus F.[/texx] Nota que si [texx]x\in F^{\delta}\setminus F,[/texx] entonces [texx]\rho(x,f)\in(0,\delta).[/texx] Esto implica que [texx]f_{\delta}(x)\in(0,1),[/texx] de modo que si [texx]f_{\delta}(x)<1[/texx] para algún [texx]x\in F^{\delta}\setminus F,[/texx] no hay posibilidad de que [texx]f_{\delta}={\bf 1}_{F^{\delta}}.[/texx] En algún momento consideras [texx]\rho(x,{\color{blue}F^{\delta}}),[/texx] pero en la definición de [texx]f_{\delta}(x)[/texx] se usa a [texx]d(x,{\color{green}F}).[/texx]

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #5 : 21/02/2017, 01:29:40 pm »

Hola Enrique, sigo con mis dudas, no tengo claro esto:
Que el conjunto [texx]F[/texx] sea cerrado es importante para que dado [texx]\varepsilon>0[/texx] exista [texx]\delta>0[/texx] tal que [texx]\mu(F^{\delta})-\mu(F)<\varepsilon.[/texx]


Trato de usar la definición, como [texx]F[/texx] es cerrado, entonces su complemento es abierto es decir para todo [texx]x\in X/F[/texx] puedo construir una bola abierta [texx]B(x,\epsilon)\subseteq X/F[/texx].

Pero luego como puedo proceder?


Saludos
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« Respuesta #6 : 21/02/2017, 02:32:03 pm »

Hola sanmath.

 EN la prueba que estamos estudiando me parece que no es necesario probar que dado [texx]\varepsilon>0[/texx] existe [texx]\delta>0[/texx] tal que [texx]\mu(F^{\delta})-\mu(F)<\varepsilon.[/texx] Esto es una caso muy particular del hecho "conocido" que una medida finita es regular (puedes ver la proposición 2.3 de estas notas). Probablemente deben haber discutido este resultado en clase antes de ver el teorema de Portmanteau.

 Si no has visto el resultado que menciono podemos probar el caso particular que nos interesa notando que cada [texx]F^{1/n}[/texx] es abierto para todo [texx]n\in\mathbb{N}[/texx] y que [texx]\bigcap_{n\in\mathbb{N}}F^{1/n}=F.[/texx] Luego por la continuidad de la medida [texx]\lim_{n\to\infty}\mu(F^{1/n})=\mu(F).[/texx]

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #7 : 22/02/2017, 02:27:30 pm »

Hola Enrique, muchas gracias. FInalmente estoy revisando la implicación  final del teorema de Portmanteau  (adjunto).
la implicación [texx]e\rightarrow f[/texx]

Tengo lo siguiente:
Dado que [texx]\delta X=\emptyset[/texx], entonces [texx]\mu_n(X)\rightarrow \mu(X)[/texx] Aquí no estoy seguro si esto se debe a que [texx]X[/texx] al ser todo el espacio métrico considerado, este es abierto y cerrado a la vez por lo que por definición de frontera de un conjunto tengo que [texx]\delta X=Int X/\bar{X}[/texx] pero como es abierto y cerrado tengo que [texx]X=Int X=\bar{X}[/texx] y uso e).

Luego, tengo que añadiendo una constante a [texx]f[/texx], es suficiente asumir que [texx]f\geq 0[/texx]. Además dado que f es acotada, considero como cota el [texx]C=sup \ f[/texx]:
Así tengo [texx]\int fd\mu_n=\int \int_0^{C}\mathbb{1}\left\{{f(x)>t}\right\}\mu_n(dx)[/texx] Aqui no entiendo por que se pone [texx]f(x)>t[/texx], y tampoco tengo claro por qué se hace tal integral de [texx]0[/texx] hasta [texx]C[/texx], tampoco entiendo de donde sale [texx]\mu_n(dx)[/texx].

Luego a partir de la igualdad anterior se tiene que es igual a:

[texx]=\int_{0}^C\mu_n(\left\{{x\in X:f(x)>t}\right\})dt=\int_0^C\mu_n(G_t)dt[/texx] Aquí, me parece que hace un cambio de los ordenes de integración,  pero no entiendo donde quedó [texx]\mu_n(dx)[/texx]

A continuación se menciona que es suficiente mostrar que [texx]\mu_n(G_t)\rightarrow\mu(G_t)[/texx], esto me parece que sería considerando igualdades similares a las anteriores para demostrar lo que se desea.

Ahora, sea [texx]L_t=\left\{{x\in X: f(x)=t}\right\}[/texx]  Aquí no entiendo por qué define este conjunto.. Luego se menciona que dado que [texx]\mu(G_t)[/texx] es monótona en [texx]t[/texx], esta debe tener al menos un número contable de discontinuidades  de saltos. (Entiendo que [texx]\mu(G_t)[/texx] sea monótona en [texx]t[/texx], pero no entiendo por qué esto implica lo de las discontinuiadades.).

Luego, [texx]\mu(L_t)=\mu(G_t^{-}-\mu(G_t))=0[/texx] (aquí simplemente me parece que se tiene por cómo estan definidos los conjuntos [texx]G_t[/texx]), no entiendo tampoco como se llega a [texx]\mu(L_t)=0[/texx].

 Luego, se toma [texx]y\in\delta G_t[/texx] y [texx]f[/texx] discontinua en [texx]y[/texx], entonces [texx]f(y)=t[/texx], esto no he entendido por que puede tomar un elemento de la frontera y por que [texx]f(y)=t[/texx], con esto se concluye que [texx]\mu(\delta G_t)=0[/texx] y se usa la parte e) con lo que se obtiene lo requerido.
 He adjuntado también la demstración que estoy estudiando.

Muchas gracias por la ayuda

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« Respuesta #8 : 22/02/2017, 08:28:07 pm »

Hola sanmath.

 Veamos.


Tengo lo siguiente:
Dado que [texx]\delta X=\emptyset[/texx], entonces [texx]\mu_n(X)\rightarrow \mu(X)[/texx] Aquí no estoy seguro si esto se debe a que [texx]X[/texx] al ser todo el espacio métrico considerado, este es abierto y cerrado a la vez por lo que por definición de frontera de un conjunto tengo que [texx]\delta X=Int X/\bar{X}[/texx] pero como es abierto y cerrado tengo que [texx]X=Int X=\bar{X}[/texx] y uso e).

 Sí es como dices (aunque escribes mal la relación [texx]\partial X=\dots[/texx]), tenemos que [texx]\partial X=\emptyset,[/texx] en particular [texx]\mu(\partial X)=0[/texx] y podemos aplicar [texx]\bf (e).[/texx]

Cita
Luego, tengo que añadiendo una constante a [texx]f[/texx], es suficiente asumir que [texx]f\geq 0[/texx]. Además dado que f es acotada, considero como cota el [texx]C=sup \ f[/texx]:
Así tengo [texx]\int fd\mu_n=\int \int_0^{C}\mathbb{1}\left\{{f(x)>t}\right\}\mu_n(dx)[/texx] Aqui no entiendo por que se pone [texx]f(x)>t[/texx], y tampoco tengo claro por qué se hace tal integral de [texx]0[/texx] hasta [texx]C[/texx], tampoco entiendo de donde sale [texx]\mu_n(dx)[/texx].

 Antes de ver lo de la igualdad tienes que tener claro qué significa el [texx]dx.[/texx] En realidad es parte de la notación que se esta usando para expresar la integral. En un contexto general, si tenemos una medida [texx]\nu[/texx] y una función [texx]g[/texx] integrable respecto de [texx]\nu[/texx] se denota por [texx]\int g\,d\nu[/texx] o por [texx]\int g(x)\,\nu(dx)[/texx] (incluso aveces simplemente por [texx]\nu(g)[/texx]) a la integral de [texx]g[/texx] respecto de [texx]\nu,[/texx] todas las expresiones significan lo mismo, únicamente en la segunda expresión, al escribir [texx]g(x)[/texx] y [texx]\nu(dx)[/texx] se está resaltando que [texx]x[/texx] es la variable que se ha decidido usar. Resumiendo, lo mismo da escribir [texx]\int g\,d\nu[/texx] o [texx]\int g(x)\,\nu(dx)[/texx] o [texx]\int g(w)\,\nu(dw).[/texx]

 Sobre la igualdad que mencionas (que la escribiste incompleta, te falta un [texx]dt[/texx] por ahí  ), nota que [texx]\int_{0}^{C}{\bf 1}_{\{f(x)>t\}}\,dt=\int_{0}^{f(x)}1\,dt=f(x).[/texx]

Cita
Luego a partir de la igualdad anterior se tiene que es igual a:

[texx]=\int_{0}^C\mu_n(\left\{{x\in X:f(x)>t}\right\})dt=\int_0^C\mu_n(G_t)dt[/texx] Aquí, me parece que hace un cambio de los ordenes de integración,  pero no entiendo donde quedó [texx]\mu_n(dx)[/texx]

 Sí, la función a la que se está integrando, primero respecto de [texx]t[/texx] y luego respecto de [texx]x,[/texx] está definida por [texx]h(x,t)={\bf 1}_{\{f(x)>t\}}.[/texx] Como [texx]h[/texx] es positiva, podemos aplicar el teorema de Fubini o Tonelli para intercambiar el orden de las integrales, de modo que la integral interna sea

[texx]\displaystyle\int h(x,t)\mu_{n}(dx)=\int {\bf1}_{\{f(x)>t\}}\mu_{n}(dx)=\mu_{n}(\{f(x)>t\})=\mu_{n}(G_{t}).[/texx]

(la escritura [texx]\{f(x)>t\}[/texx] es una abreviatura de [texx]\{x\in X:\,f(x)>t\}[/texx]).

Cita
A continuación se menciona que es suficiente mostrar que [texx]\mu_n(G_t)\rightarrow\mu(G_t)[/texx], esto me parece que sería considerando igualdades similares a las anteriores para demostrar lo que se desea.

 Sí, pues si se prueba que [texx]\mu_{n}(G_{t})\to\mu(G_{t}),[/texx] por el teorema de convergencia dominada tendríamos que [texx]\int_{0}^{C}\mu_{n}(G_{t})\,dt\to\int_{0}^{C}\mu(G_{t})\,dt[/texx] y la última integral es igual a [texx]\int f\,d\mu[/texx] por exactamente la misma razón que [texx]\int f\,d\mu_{n}=\int_{0}^{C}\mu_{n}(G_{t})\,dt.[/texx]

Cita
Ahora, sea [texx]L_t=\left\{{x\in X: f(x)=t}\right\}[/texx]  Aquí no entiendo por qué define este conjunto..

 No tengo una respuesta satisfactoria para esto. Se lo define así simplemente porque funciona, estamos estudiando el conjunto [texx]\{f(x)>t\}[/texx] y queremos medir su frontera, es medio "natural" pensar en [texx]\{f(x)=t\}.[/texx] En la prueba se ve que "típicamente" es un conjunto de medida cero que junto con [texx]\Delta_{f}[/texx] contiene a la frontera de [texx]G_{t}.[/texx] Esto ayuda a probar que [texx]\mu(\partial G_{t})=0[/texx] para casi todo [texx]t\in[0,C].[/texx]

Cita
(Entiendo que [texx]\mu(G_t)[/texx] sea monótona en [texx]t[/texx], pero no entiendo por qué esto implica lo de las discontinuiadades.)[/color].

 Es un ejercicio que deberías intentar: Si una función [texx]g:[a,b]\to\mathbb{R}[/texx] es monótona, entonces su conjunto de puntos de discontinuidad es numerable. (Ayuda: Observa que [texx]|g(t+)-g(t-)|>0[/texx] si [texx]t[/texx] es un punto de discontinuidad y que el rango de [texx]g[/texx] está contenido en el intervalo [texx][g(a),g(b)][/texx] o [texx][g(b),g(a)][/texx], dependiendo del tipo de monotonía de [texx]g[/texx]).

Cita
Luego, [texx]\mu(L_t)=\mu(G_t^{-}-\mu(G_t))=0[/texx] (aquí simplemente me parece que se tiene por cómo estan definidos los conjuntos [texx]G_t[/texx]), no entiendo tampoco como se llega a [texx]\mu(L_t)=0[/texx].

No es tan sencillo. De que la aplicación [texx]t\mapsto\mu(G_{t})[/texx] tenga a lo más un conjunto numerable de discontinuidades se sigue que el conjunto [texx]\{t\in[0,C]:\mu(G_{t-})-\mu(G_{t})=0\}[/texx] tiene medida de Lebesgue nula (en el intervalo [texx][0,C][/texx]). Para ver que [texx]\mu(G_{t-})-\mu(G_{t})=\mu(L_{t})[/texx] hace falta notar que por definición

[texx]\mu(G_{t-})=\lim_{s\to t^{-}}\mu(G_{s})=\lim_{s\to t^{-}}\mu(\{f(x)>s\})=\mu(\{f(x)\geq t\}).[/texx]

 A partir de esto se deduce que [texx]\mu(G_{t-})-\mu(G_{t})=\mu(\{f(x)\geq t\})-\mu(\{f(x)>t\})=\mu(\{f(x)=t\})=\mu(L_{t}).[/texx] Luego no es que [texx]\mu(L_{t})=0,[/texx] lo que se ha probado es que el conjunto [texx]\{t:\,\mu(L_{t})=0\}\subset[0,C][/texx] tiene medida de Lebesgue total.
Cita
Luego, se toma [texx]y\in\delta G_t[/texx] y [texx]f[/texx] discontinua en [texx]y[/texx], entonces [texx]f(y)=t[/texx], esto no he entendido por que puede tomar un elemento de la frontera y por que [texx]f(y)=t[/texx], con esto se concluye que [texx]\mu(\delta G_t)=0[/texx] y se usa la parte e) con lo que se obtiene lo requerido.

 Se toma un elemento de la frontera de [texx]G_{t}[/texx] porque estamos queriendo estudiar la frontera de [texx]G_{t}[/texx] (Y se puede tomar tal elemento, porque se puede tomar un elemento de un conjunto). Entonces si [texx]y\in\partial G_{t}[/texx] y además [texx]f[/texx] es continua en [texx]y,[/texx] necesariamente [texx]f(y)=t.[/texx] Pues si [texx]f(y)>t,[/texx] la continuidad de [texx]f[/texx] en [texx]y[/texx] permite probar que [texx]y\in\text{Int}(G_{t}),[/texx] de la misma forma, si [texx]f(y)>t[/texx] la continuidad de [texx]f[/texx] en [texx]y[/texx] permite probar que [texx]y\in\text{Int}(X\setminus G_{t}).[/texx]

 Bueno, espero que puedas completar los detalles de la prueba de la implicación en cuestión. Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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