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Autor Tema: Pasa a forma polar \(\;\;-\sqrt{3}-i,\;-\sqrt{3}+i,\;\dfrac{3}{\sqrt{3}+i}\)...  (Leído 173 veces)
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« : 14/02/2017, 09:07:13 am »


Expresa en forma polar los siguientes números complejos:

   (a) [texx]-\sqrt[ ]{3}-i[/texx].

   (b) [texx]-\sqrt[ ]{3}+i[/texx]

   (c) [texx]\displaystyle\frac{3}{\sqrt[ ]{3}+i}[/texx]

   (d) [texx]\displaystyle\frac{1+i\sqrt[ ]{3}}{\left(1+i\right)^2}[/texx]


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« Respuesta #1 : 14/02/2017, 09:31:36 am »

Yo hice para el (a):

[texx]z=x+iy=-\sqrt[ ]{3}-i[/texx],    esto es,    [texx]x=-\sqrt[ ]{3}[/texx]    e    [texx]y=-1[/texx],


[texx]|z|=\sqrt[ ]{(-\sqrt[ ]{3})^2+(-1)^2}=\sqrt[ ]{3+1}=2[/texx],


por ser    [texx]y\leq{0},x<0[/texx],    [texx]z[/texx]    está en el tercer cuadrante, así que su argumento es   

[texx]\vartheta=arg(z)=\arctg\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)-\pi=\arctg\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}}\right)-\pi=\arctg\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\right)-\pi=30-\pi[/texx],
   


podemos concluir entonces que la forma polar de    [texx]z=-\sqrt[ ]{3}-i[/texx]    es


[texx]\cancel{z=2\big(\cos\color{red}º\color{black}(30-\pi)+i\sen\color{red}º\color{black}(30-\pi)\big)}[/texx]



[texx]z=2\big(\cos(30º-\pi)+i\sen(30º-\pi)\big)=2\bigg(\cos\displaystyle\frac{5\pi}{6}-i\sen\displaystyle\frac{5\pi}{6}\bigg)[/texx]


Saludos.


CORREGIDO por la gentil sugerencia de mathtruco.
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« Respuesta #2 : 14/02/2017, 09:56:20 am »

Para el (b):

[texx]z=x+iy=-\sqrt[ ]{3}+i=[/texx],    esto es,    [texx]x=-\sqrt[ ]{3}[/texx],    [texx]y=1[/texx],


[texx]|z|=\sqrt[ ]{(-\sqrt[ ]{3})^2+1^2}=2[/texx],



por ser     [texx]y\geq{0},x<0[/texx],    [texx]z[/texx]    está en el primer segundo cuadrante, su argumento es


[texx]\vartheta=\arctg\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)+\pi=\arctg\left(\color{red}-\color{black}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}}\right)+\pi=\arctg\left(\color{red}-\color{black}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\right)+\pi=\cancel{30+\pi}\color{red}\displaystyle\frac{5\pi}{6}[/texx],


la expresión en forma polar es entonces


[texx]\cancel{z=2\big(\cos(30+\pi)+i\sen(30+\pi)\big)}[/texx].


[texx]z=2\bigg(\cos\displaystyle\frac{5\pi}{6}+i\sen\displaystyle\frac{5\pi}{6}\bigg)[/texx].


La única diferencia con el conjugado del caso (a) es que se "conjuga"     [texx]\vartheta[/texx]


Saludos.

CORREGIDO por cortesía de mathtruco.
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« Respuesta #3 : 14/02/2017, 10:07:48 am »

Hola Buscón.

¿[texx]30\pm\pi[/texx]?

O sumas los ángulos en radianes o en sexagesimales, pero no puedes mezclarlos, ¿es claro el motivo de esto?

Sobre el ejercicio a), la respuesta es correcta, pero no el b). Nota que en este último obtienes ángulos de [texx]30+180[/texx], que está en el tercer cuadrante, pero ese complejo pertenece al segundo.

Por último, es fácil usar cualquier calculadora para verificar tus resultados.
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« Respuesta #4 : 14/02/2017, 11:09:15 am »

En la primera respuesta:

(...)

[texx]z=2\big(\cos\color{red}º\color{black}(30-\pi)+i\sen\color{red}º\color{black}(30-\pi)\big)[/texx]


Saludos.

CORREGIDO por mathtruco.

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« Respuesta #5 : 14/02/2017, 11:27:09 am »

En la primera respuesta:

(...)

[texx]z=2\big(\cos\color{red}º\color{black}(30-\pi)+i\sen\color{red}º\color{black}(30-\pi)\big)[/texx]


Saludos.

CORREGIDO por mathtruco.

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Disculpa, ya corregí la corrección. Un saludo.
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« Respuesta #6 : 14/02/2017, 11:38:41 am »

Sigue teniendo el mismo error.

- O escribes [texx]\color{red}30+180[/texx] (o [texx]30^\circ+180^\circ[/texx] pero el circulito no es necesario escribirlo cuando no hay confusión), es decir, en sexagesimales
- o escribes [texx]\color{red}\dfrac{\pi}{6}+\pi[/texx] (que estaría en radianes).

Nota que [texx]\cos(30^\circ)[/texx] (con el ángulo en sexagesimales) es distinto a [texx]\cos(30)[/texx] (con el ángulo en radianes).
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« Respuesta #7 : 14/02/2017, 11:58:00 am »


 (c) [texx]\dfrac{3}{\sqrt{3}+i}=\dfrac{3(\cos 0+i\sen 0)}{2(\cos \pi/6+i\sen \pi/6)}=\dfrac{3}{2}[\cos (-\pi/6)+i\sen (-\pi/6)][/texx]

(d) [texx]\dfrac{1+i\sqrt{3}}{(1+i)^2}=\dfrac{2(\cos \pi/3+i\sen \pi/3)}{2(\cos \pi/2+i\sen \pi/2)}=\cos -(\pi/6)+i\sen (-\pi/6)[/texx]
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« Respuesta #8 : 14/02/2017, 08:54:39 pm »


 (c) [texx]\dfrac{3}{\sqrt{3}+i}=\dfrac{3(\cos 0+i\sen 0)}{2(\cos \pi/6+i\sen \pi/6)}=\dfrac{3}{2}[\cos (-\pi/6)+i\sen (-\pi/6)][/texx]


Muchas gracias, de otra manera (más larga):

[texx]z=\displaystyle\frac{3}{\sqrt[ ]{3}+i}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt[ ]{3}+i}\cdot{\displaystyle\frac{\overline{\sqrt[ ]{3}+i}}{\overline{\sqrt[ ]{3}+i}}}=\displaystyle\frac{3(\sqrt[ ]{3}-i)}{|\sqrt[ ]{3}+i|^2}=\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{3}-3i}{4}=\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{3}}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}i[/texx]


[texx]|z|=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{9(\sqrt[ ]{3})^2}{16}+\displaystyle\frac{9}{16}}=\displaystyle\frac{3}{2}[/texx]


[texx]\arg(z)=\arctg\left(-\displaystyle\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3\sqrt[ ]{3}}{4}}\right)=\arctg\left(-\displaystyle\frac{\cancel{3}}{\cancel{4}}\cdot{\displaystyle\frac{\cancel{4}}{\cancel{3}\sqrt[ ]{3}}}\right)=\arctg\left(-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\right)=-\displaystyle\frac{\pi}{6}[/texx]


así que, como las funciones seno y coseno son impar y par respectivamente, esto es,



[texx]\sen (-x)=-\sen x[/texx]    y    [texx]\cos(-x)=\cos x[/texx],

la expresión que nos piden es:


[texx]z=\displaystyle\frac{3}{2}\left(cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-i\sen\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)[/texx]



Saludos.


EDITADO.
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« Respuesta #9 : 15/02/2017, 06:22:06 am »


(d) [texx]\dfrac{1+i\sqrt{3}}{(1+i)^2}=\dfrac{2(\cos \pi/3+i\sen \pi/3)}{2(\cos \pi/2+i\sen \pi/2)}=\cos -(\pi/6)+i\sen (-\pi/6)[/texx]

También, de otra manera más detallada:

[texx]z=x+iy=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{(1+i)^2}=\displaystyle\frac{1+i\sqrt[ ]{3}}{1^2+2i+i^2}=\displaystyle\frac{1+i\sqrt[ ]{3}}{2i}=\displaystyle\frac{\cancel{i}\sqrt[ ]{3}}{2\cancel{i}}+\displaystyle\frac{1}{2i}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}+\displaystyle\frac{i}{2i^2}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}i[/texx].


[texx]|z|=\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}=1[/texx].


Al ser    [texx]x>0,y<0[/texx],    el complejo pertenece al cuarto cuadrante, así que,


[texx]\vartheta=\arg(z)=\arctg\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)=\arctg\left(\displaystyle\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}}\right)=\arctg\left(-\displaystyle\frac{1}{\cancel{2}}\cdot{\displaystyle\frac{\cancel{2}}{\sqrt[ ]{3}}}\right)=\arctg\left(-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\right)=-\displaystyle\frac{\pi}{6}[/texx],


con lo que, la expresión pedida es


[texx]\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-i\sen\displaystyle\frac{\pi}{6}[/texx],


por la paridad e imparidad de las funciones coseno y seno respectivamente.



Un saludo.
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