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Autor Tema: Relación entre radios  (Leído 336 veces)
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Michel
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« : 14/02/2017, 06:04:00 am »

En el triángulo rectángulo ABC, AD es la altura relativa a la hipotenusa BC, E y F ls proyecciones de D sobre los catetos AB y AC, respectivamente.
Deducir una expresión que relacione los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ABC, EBD y FDC.
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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 15/02/2017, 10:01:49 pm »

Mi solución, convenientemente ocultada:

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Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
Michel
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« Respuesta #2 : 20/02/2017, 05:23:12 am »

Adjunto la figura, donde "se ve" la relación entre los lados de los tres triángulos.


Completo la explicación de ilarrosa, a base de la semejanza de los triángulos, para ayuda (creo) de los compañeros que estén un poco "verdes".

La razón de semejanza es la razón de dos elementos homólogos, razón de hipotenusas, razón de alturas,  razón de radios; entonces:

[texx]\frac{BC}{r}=\frac{BD}{r'}=\frac{DC}{r''}[/texx]

Por las propiedades de las proporciones:

[texx]\frac{BC}{r}=\frac{BD+DC}{r'+r''}=\frac{BC}{r'+r''}[/texx]


Por tanto, [texx]\frac{BC}{r}=\frac{BC}{r'+r''}\Rightarrow{r=r'+r''}[/texx]

* RELACION_DE_RADIOS_copia.ggb (3.98 KB - descargado 46 veces.)
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