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Autor Tema: Sobre la matriz de cambio de base/transición  (Leído 257 veces)
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arkady-svidrigailov
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« : 14/02/2017, 04:01:22 am »

Es una pregunta algo tonta quizás.

Si tengo [texx]B[/texx] y [texx]B'[/texx] bases de un espacio vectorial [texx]V[/texx] de dimensión [texx]n[/texx], se tiene que

[texx]b'_j = \sum_{j =1}^{n} s_{ji} b_j[/texx], con [texx]i = 1, ..., n[/texx]

Entonces la matriz

[texx]\begin{bmatrix} s_{11} & \ldots & s_{1n}\\ \vdots&&\vdots \\ s_{n1} & \ldots & s_{nn}\end{bmatrix}[/texx]

es la matriz de transición de [texx]B[/texx] a [texx]B'[/texx].

¿Esta matriz es [texx](s_{ji})[/texx] o [texx](s_{ij})[/texx]? Me inclino por la primera, ya que en la fórmula que define a los [texx]s[/texx], [texx]j[/texx] está primera, pero me confunde lo que sigue en el texto que estoy leyendo.

Saludos.
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 14/02/2017, 05:03:49 am »

Hola:
Es una pregunta algo tonta quizás.

Si tengo [texx]B[/texx] y [texx]B'[/texx] bases de un espacio vectorial [texx]V[/texx] de dimensión [texx]n[/texx], se tiene que

[texx]b'_j = \sum_{j =1}^{n} s_{ji} b_i[/texx], con [texx]i = 1, ..., n[/texx]

Entonces la matriz

[texx]\begin{bmatrix} s_{11} & \ldots & s_{1n}\\ \vdots&&\vdots \\ s_{n1} & \ldots & s_{nn}\end{bmatrix}[/texx]

es la matriz de transición de [texx]B[/texx] a [texx]B'[/texx].

¿Esta matriz es [texx](s_{ji})[/texx] o [texx](s_{ij})[/texx]? Me inclino por la primera, ya que en la fórmula que define a los [texx]s[/texx], [texx]j[/texx] está primera, pero me confunde lo que sigue en el texto que estoy leyendo.

Saludos.
tienes un error en el subíndice de b', sería i no j.

Si trabajas por columnas , que es lo que parece, la matriz será [texx](s_{ij})[/texx], me explico.

[texx]b'_i = \sum_{j =1}^{n} s_{ji} b_j[/texx], con [texx]i = 1, ..., n[/texx], "da a entender" ( ojo esto no es concluyente) que trabajas por columnas, pues el índice del sumatorio es el primero ( el j ).

Sería: [texx]b'_i=s_{1i} b_{ \color{red}1\color{black}i } +s_{ \color{red}2\color{black}i } b_2 +s_{ \color{red}3\color{black}i } b_3 +.....+s_{ni} b_n [/texx]
CORREGIDO
Si trabajas por columnas tendrás.

[texx]\overrightarrow{x}=M_{BB'}\cdot{\overrightarrow{x'}}[/texx] con [texx]M_{BB'}=(s_{ij})[/texx]

Si trabajas por filas: [texx]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x'}\cdot{}M_{BB'}[/texx] con [texx]M_{BB'}=(s_{ji})[/texx]

Saludos.
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arkady-svidrigailov
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« Respuesta #2 : 14/02/2017, 05:36:41 am »

Tenés razón, me equivoqué los índices. Sería tal y como escribiste:

[texx]b'_i = \displaystyle\sum_{j =1}^{n} s_{ji} b_j[/texx]

Por otro lado, lo que está más abajo sería más bien

[texx]b'_i=s_{1i} b_i +s_{2i} b_i +s_{3i} b_i +.....+s_{ni} b_n[/texx]

donde el último sumando cambié. Pero esa lista de eses puestas así como en fila, cuando se tiene la matriz [texx](s_{ji})[/texx], en realidad están en columnas, ¿no debería ser así?
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 14/02/2017, 05:54:20 am »

Tenés razón, me equivoqué los índices. Sería tal y como escribiste: [texx]b'_i = \displaystyle\sum_{j =1}^{n} s_{ji} b_j[/texx] Por otro lado, lo que está más abajo sería más bien [texx]b'_i=s_{1i} b_i +s_{2i} b_i +s_{3i} b_i +.....+s_{ni} b_n[/texx] donde el último sumando cambié. Pero esa lista de eses puestas así como en fila, cuando se tiene la matriz [texx](s_{ji})[/texx], en realidad están en columnas, ¿no debería ser así?

Ciertamente. Como indicó robinlambada, si se verifican las relaciones

          [texx]b'_i=s_{1i} b_i +s_{2i} b_i +s_{3i} b_i +.....+s_{ni} b_n[/texx]

fácilmente se demuestra que

          [texx]\underbrace{\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix}}_{X}=\underbrace{\begin{bmatrix} s_{11} & \ldots & s_{1n}\\ \vdots&&\vdots \\ s_{n1} & \ldots & s_{nn}\end{bmatrix}}_{P}\;\underbrace{\begin{bmatrix}x'_1\\ \vdots\\{x'_n}\end{bmatrix}}_{X'}[/texx]

en donde [texx]X[/texx] son las coordenadas de [texx]x[/texx] en [texx]B[/texx] y [texx]X'[/texx] las coordenadas del mismo [texx]x[/texx] en [texx]B'[/texx].
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arkady-svidrigailov
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« Respuesta #4 : 14/02/2017, 06:13:45 am »

Entonces, si siendo

[texx]\begin{bmatrix} s_{11} & \ldots & s_{1n}\\ \vdots&&\vdots \\ s_{n1} & \ldots & s_{nn}\end{bmatrix} = S[/texx]

resulta que [texx]S = (s_{ji})[/texx], lo que no entiendo del texto que leo es lo siguiente que pone:

Siendo

[texx]\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s_{11} & \ldots & s_{1n}\\ \vdots&&\vdots \\ s_{n1} & \ldots & s_{nn}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}x'_1\\ \vdots\\{x'_n}\end{bmatrix}[/texx]

se tiene que

[texx]x_i = \displaystyle\sum_{j =1}^{n} s_{ij} x'_j[/texx], para [texx]i = 1, ..., n[/texx]

Ahí lo que yo pensé fue que el [texx]i[/texx] debería estar en la sumatoria, porque sino el [texx]j[/texx] lo que recorre son las coordenadas de un mismo vector, si no interpreto mal.
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« Respuesta #5 : 14/02/2017, 06:35:33 am »

Hola

Entonces, si siendo

[texx]\begin{bmatrix} s_{11} & \ldots & s_{1n}\\ \vdots&&\vdots \\ s_{n1} & \ldots & s_{nn}\end{bmatrix} = S[/texx]

resulta que [texx]S = (s_{ji})[/texx], lo que no entiendo del texto que leo es lo siguiente que pone:

Siendo

[texx]\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s_{11} & \ldots & s_{1n}\\ \vdots&&\vdots \\ s_{n1} & \ldots & s_{nn}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}x'_1\\ \vdots\\{x'_n}\end{bmatrix}[/texx]

se tiene que

[texx]x_i = \displaystyle\sum_{j =1}^{n} s_{ij} x'_j[/texx], para [texx]i = 1, ..., n[/texx]

Ahí lo que yo pensé fue que el [texx]i[/texx] debería estar en la sumatoria, porque sino el [texx]j[/texx] lo que recorre son las coordenadas de un mismo vector, si no interpreto mal.

Pero no entiendo ahora tu duda. Que la expresión matricial marcada en azul equivale a la fórmula con sumatorios marcada en el mismo color, es independiente de la interpretación de los coeficientes como coordendas o cualquier cosa.

Es simplemente la definición de producto de matrices.

Por ejemplo para obtener [texx]x_1[/texx] se mutliplica término a término y se suma la primera fila de la matriz por la columa del vector columna anexo.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 14/02/2017, 07:23:15 am »

El asunto sería que si quiero calcular

[texx]x_1=\begin{bmatrix} s_{11} & \ldots & s_{1n}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}x'_1\\ \vdots\\{x'_n}\end{bmatrix}[/texx]

la variable que recorre la fila de eses es el segundo índice, y en la matriz [texx](s_{ji})[/texx] el segundo índice es la [texx]i[/texx]. Por eso me había surgido la duda de si [texx]S[/texx] era [texx](s_{ji})[/texx] o [texx](s_{ij})[/texx].
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« Respuesta #7 : 14/02/2017, 08:20:26 am »

Hola

El asunto sería que si quiero calcular

[texx]x_1=\begin{bmatrix} s_{11} & \ldots & s_{1n}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}x'_1\\ \vdots\\{x'_n}\end{bmatrix}[/texx]

la variable que recorre la fila de eses es el segundo índice, y en la matriz [texx](s_{ji})[/texx] el segundo índice es la [texx]i[/texx]. Por eso me había surgido la duda de si [texx]S[/texx] era [texx](s_{ji})[/texx] o [texx](s_{ij})[/texx].

Pero lo de menos es el nombre de los índices. Es decir lo anterior se puede inscribir indistintamente como:

[texx]x_1=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}s_{1i}x'_i[/texx]

[texx]x_1=\displaystyle\sum_{j=1}^n{}s_{1j}x'_j[/texx]

[texx]x_1=\displaystyle\sum_{donald=1}^n{}s_{1,donald}x'_{donald}[/texx]

o en general:

[texx]x_i=\displaystyle\sum_{j=1}^n{}s_{ij}x'_j[/texx]

[texx]x_j=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}s_{ji}x'_i[/texx]

[texx]x_{donald}=\displaystyle\sum_{trump=1}^n{}s_{donald,trump}x'_{trump}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #8 : 14/02/2017, 11:18:28 pm »

Según entiendo entonces, la fórmula

[texx]b'_i = \displaystyle\sum_{j =1}^{n} s_{ji} b_j[/texx], con [texx]i = 1, ..., n[/texx]

define una matriz que puede representarse tanto por [texx](s_{ij})[/texx] como por [texx](s_{ji})[/texx], pero que una vez elegida una expresión, la otra representa a la transpuesta, ¿?



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« Respuesta #9 : 15/02/2017, 06:08:21 am »

Hola

Según entiendo entonces, la fórmula

[texx]b'_i = \displaystyle\sum_{j =1}^{n} s_{ji} b_j[/texx], con [texx]i = 1, ..., n[/texx]

define una matriz que puede representarse tanto por [texx](s_{ij})[/texx] como por [texx](s_{ji})[/texx], pero que una vez elegida una expresión, la otra representa a la transpuesta, ¿?

Una vez más el nombre de los índices es lo de menos; el primer índice siempre representa la fila y el segundo la columna. Lo usual es denotar con mayúsculas a la matriz y con minúsculas a sus elementos. Con ese criterio:

[texx]s_{ij}[/texx] es el término de la fila [texx]i[/texx] y columa [texx]j[/texx] de la matriz [texx]S[/texx]; equivalentemente es el término de la columna [texx]i[/texx] y fila [texx]j[/texx] de la matriz [texx]S^t.[/texx]

[texx]s_{ji}[/texx] es el término de fila [texx]j[/texx] y columna [texx]i[/texx] de la matriz [texx]S[/texx]; equivalentemente el término de columna [texx]j[/texx] y fila [texx]i[/texx] de la matriz [texx]S^t.[/texx]

Por intentar dejarlo más claro. Si [texx]S[/texx] es la matriz:

[texx]
S=\begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & \ldots & s_{1n}\\  s_{21} & s_{22} & \ldots & s_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ s_{n1} & s_{n2}& \ldots & s_{nn}\end{pmatrix}[/texx]

Entonces la fórmula:

[texx]b'_i = \displaystyle\sum_{j =1}^{n} s_{ji} b_j[/texx], con [texx]i = 1, ..., n[/texx]

Matricialmente puede escribirse como:

[texx]\begin{pmatrix}b'_1&b'_2&\ldots&b'_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1&b_2&\ldots&b_n\end{pmatrix}S[/texx]

o equivalentemente como:

[texx]\begin{pmatrix}b'_1\\b'_2\\\vdots\\b'_n\end{pmatrix}=S^t\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\ldots\\b_n\end{pmatrix}[/texx]

Saludos.
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