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Autor Tema: Sean f,g aplicaciones..  (Leído 604 veces)
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« : 13/02/2017, 06:50:18 pm »

Hola a todos,

Si [texx] f,g\subset A\times B[/texx] son aplicaciones, entonces [texx]f\cap g[/texx] también lo es.

No sé cómo demostrar ese enunciado. Cualquier ayuda es bienvenida.

Saludos!!
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delmar
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« Respuesta #1 : 13/02/2017, 07:40:55 pm »

Hola

Una manera :

[texx]f,g\subset{A \times B}[/texx] implica que f y g con conjuntos de pares ordenados, luego [texx]f\cap{g}[/texx] también será un conjunto de pares ordenados de tal manera que [texx]f\cap{g}\subset{A \times B}[/texx].

f y g son aplicaciones implica que ni en f ni en g, hay dos pares ordenados, con el mismo primer elemento.

Supongamos que [texx]f\cap{g}[/texx] no es una aplicación, eso significa que para algún [texx](x_1,y_1)\in{f\cap{g}}, \ \exists{\ (x_1,y_2) \ / \ (x_1,y_2)\in{f\cap{g}}, \ y_1\neq{y_2}}[/texx]; pero esto implica que [texx](x_1,y_1),(x_1,y_2)\in{f} \  \ y \ \ (x_1,y_1), (x_1,y_2)\in{g}[/texx] en consecuencia ni f ni g serían aplicaciones; contradiciendo a la hipótesis de que ambas son aplicaciones.

Por lo tanto [texx]f\cap{g}[/texx] es también una  aplicación.


Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 14/02/2017, 06:01:32 am »

Hola

Una manera :

[texx]f,g\subset{A \times B}[/texx] implica que f y g con conjuntos de pares ordenados, luego [texx]f\cap{g}[/texx] también será un conjunto de pares ordenados de tal manera que [texx]f\cap{g}\subset{A \times B}[/texx].

f y g son aplicaciones implica que ni en f ni en g, hay dos pares ordenados, con el mismo primer elemento.

Supongamos que [texx]f\cap{g}[/texx] no es una aplicación, eso significa que para algún [texx](x_1,y_1)\in{f\cap{g}}, \ \exists{\ (x_1,y_2) \ / \ (x_1,y_2)\in{f\cap{g}}, \ y_1\neq{y_2}}[/texx]; pero esto implica que [texx](x_1,y_1),(x_1,y_2)\in{f} \  \ y \ \ (x_1,y_1), (x_1,y_2)\in{g}[/texx] en consecuencia ni f ni g serían aplicaciones; contradiciendo a la hipótesis de que ambas son aplicaciones.

Por lo tanto [texx]f\cap{g}[/texx] es también una  aplicación.

Un matiz. Normalmente en la definición de aplicación tambien se exige que todo elemento de [texx]A[/texx] tenga imagen.

En ese caso el enunciado no sería cierto.

Por ejemplo si [texx]A=\{a\}[/texx] y [texx]B=\{1,2\}[/texx] si [texx]f=\{(a,1)\}[/texx] y [texx]g=\{(a,2)\}[/texx], entonces [texx]f\cap g=\emptyset[/texx] NO sería aplicación.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 14/02/2017, 12:41:32 pm »


Un matiz. Normalmente en la definición de aplicación tambien se exige que todo elemento de [texx]A[/texx] tenga imagen.

En ese caso el enunciado no sería cierto.

Por ejemplo si [texx]A=\{a\}[/texx] y [texx]B=\{1,2\}[/texx] si [texx]f=\{(a,1)\}[/texx] y [texx]g=\{(a,2)\}[/texx], entonces [texx]f\cap g=\emptyset[/texx] NO sería aplicación.


Hola,

Para que me aclare: [texx]f\cap g[/texx] no cumple que [texx]\forall a\in A[/texx] tenga imagen porque existen, por ejemplo, [texx](a_f,b_f)\in f[/texx] tales que [texx](a_f,b_f)\not\in f\cap g[/texx] pero [texx](a_f,b_f)\in A\times B[/texx]. Y si me lo permiten, tengo dos preguntas;

1.¿La única manera de que [texx]f\cap g[/texx] sea aplicación es siendo [texx]f = g[/texx]?
2.Si la regla de correspondencia de [texx]f[/texx] es [texx]f(a) \ = a² [/texx] y la regla de correspondencia de [texx]g[/texx] es [texx]g(a) \ = a [/texx] entonces; ¿Cuál sería la regla de correspondencia de [texx]f\cap g[/texx]? ¿O no tiene porque no es aplicación?.

Muchas gracias a los dos por la ayuda.

Saludos!!
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« Respuesta #4 : 14/02/2017, 01:04:55 pm »

Hola

Para que me aclare: [texx]f\cap g[/texx] no cumple que [texx]\forall a\in A[/texx] tenga imagen porque existen, por ejemplo, [texx](a_f,b_f)\in f[/texx] tales que [texx](a_f,b_f)\not\in f\cap g[/texx] pero [texx](a_f,b_f)\in A\times B[/texx].

OJO; yo no he dicho que siempre NO se cumpla eso. He dicho que no tiene porque cumplirse. Es decir habrá casos en que la intersección sea una aplicación y otros en los que no. Pero que falle en un caso es suficiente para afirmar que la proposición que te mandan probar es falsa; y la forma rigurosa de justificarlo es dando un ejemplo concreto donde se produce el fallo (está en mi anterior respuesta).

Cita
Y si me lo permiten, tengo dos preguntas;

1.¿La única manera de que [texx]f\cap g[/texx] sea aplicación es siendo [texx]f = g[/texx]?

Si. Intenta probarlo.

Cita
2.Si la regla de correspondencia de [texx]f[/texx] es [texx]f(a) \ = a² [/texx] y la regla de correspondencia de [texx]g[/texx] es [texx]g(a) \ = a [/texx] entonces; ¿Cuál sería la regla de correspondencia de [texx]f\cap g[/texx]? ¿O no tiene porque no es aplicación?.

Para que tenga sentido elevar al cuadrado supongo que te refieres al caso en el que [texx]A=B=\mathbb{R}[/texx]. En ese caso la función [texx]f(x)=x^2[/texx] corresponde a los pares:

[texx]f=\{(x,x^2)|x\in \mathbb{R}\}[/texx] (geométricamente la gráfica de la función).

Y la función [texx]g(x)=x[/texx] a los pares:

[texx]g=\{(x,x)|x\in \mathbb{R}\}[/texx] (geométricamente la gráfica de la función).

Entonces:

[texx]f\cap g=\{(0,0),(1,1)\}[/texx] (la intersección de la parábola y recta anteriores).

No es una función de [texx]\mathbb{R}[/texx] en [texx]\mathbb{R}[/texx] porque sólo estaría definida en [texx]x=0[/texx] y en [texx]x=1[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #5 : 15/02/2017, 07:03:08 am »

Hola,

Cita

1.¿La única manera de que [texx]f\cap g[/texx] sea aplicación es siendo [texx]f = g[/texx]?

Si. Intenta probarlo.

[texx]Si \ f=g \rightarrow f\cap g \ es \ aplicación [/texx]

Si [texx]f,g \subseteq A\times B[/texx] y [texx]f=g[/texx] entonces [texx]f\cap g = f \subseteq A\times B[/texx]

Supongamos [texx](a,b)\in f\cap g[/texx] pero [texx] f\cap g = f [/texx] ya que [texx]f=g[/texx]  entonces [texx]\forall (a,b)\in f\cap g \rightarrow (a,b)\in f[/texx] y como [texx] f[/texx] es aplicación entonces [texx]f\cap g[/texx] también lo es.

Saludos!!
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« Respuesta #6 : 15/02/2017, 07:21:56 am »

Hola

[texx]Si \ f=g \rightarrow f\cap g \ es \ aplicación [/texx]

Si [texx]f,g \subseteq A\times B[/texx] y [texx]f=g[/texx] entonces [texx]f\cap g = f \subseteq A\times B[/texx]

Supongamos [texx](a,b)\in f\cap g[/texx] pero [texx] f\cap g = f [/texx] ya que [texx]f=g[/texx]  entonces [texx]\forall (a,b)\in f\cap g \rightarrow (a,b)\in f[/texx] y como [texx] f[/texx] es aplicación entonces [texx]f\cap g[/texx] también lo es.

 Está bien, pero no hace falta escribir tanto.

Si [texx]f=g[/texx] entonces [texx]f\cap g=f [/texx] y como [texx]f [/texx]es aplicación, [texx]f\cap g=f[/texx] lo es también.

Te falta el recíproco: probar que si [texx]f,g,f\cap g[/texx] son aplicaciones entonces [texx]f=g[/texx].

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« Respuesta #7 : 15/02/2017, 08:12:32 am »

Hola,

Te falta el recíproco: probar que si [texx]f,g,f\cap g[/texx] son aplicaciones entonces [texx]f=g[/texx].

[texx]\subseteq][/texx] Sea [texx](a,b)\in f[/texx], y como [texx]f\cap g[/texx] es aplicación [texx]\rightarrow[/texx] [texx](a,b)\in g[/texx]. Por lo tanto [texx]f\subset g[/texx]
[texx]\supseteq][/texx] Sea [texx](a,b)\in g[/texx], y como [texx]f\cap g[/texx] es aplicación [texx]\rightarrow[/texx] [texx](a,b)\in f[/texx]. Por lo que [texx]g\subset f[/texx]

Como se cumplen las dos inclusiones, [texx]f=g[/texx].

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« Respuesta #8 : 15/02/2017, 08:39:14 am »

Hola

[texx]\subseteq][/texx] Sea [texx](a,b)\in f[/texx], y como [texx]f\cap g[/texx] es aplicación [texx]\rightarrow[/texx] [texx](a,b)\in g[/texx]. Por lo tanto [texx]f\subset g[/texx]

Pero el problema es como justificas esa implicación en rojo. No es tan obvia.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 15/02/2017, 01:04:10 pm »

Hola,

Cita
Cita

[texx]\subseteq][/texx] Sea [texx](a,b)\in f[/texx], y como [texx]f\cap g[/texx] es aplicación [texx]\rightarrow[/texx] [texx](a,b)\in g[/texx]. Por lo tanto [texx]f\subset g[/texx]

Pero el problema es como justificas esa implicación en rojo. No es tan obvia.



[texx]\subseteq][/texx] Sea [texx](a,b)\in f[/texx], y como [texx]f\cap g[/texx] es aplicación, es decir [texx]\forall a\in A, \ \exists!\ b\in B[/texx] tal que [texx](a,b)\in f\cap g \rightarrow (a,b)\in g[/texx].

¿Se podría proceder del siguiente modo?;

Supongamos [texx]f \not= g[/texx]. Sea [texx](a,b)\in f[/texx] entonces podría darse que [texx](a,b)\not\in f\cap g[/texx] por lo que [texx]f\cap g[/texx] no sería aplicación. Lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que [texx]f=g[/texx].

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« Respuesta #10 : 16/02/2017, 06:15:29 am »

Hola

[texx]\subseteq][/texx] Sea [texx](a,b)\in f[/texx], y como [texx]f\cap g[/texx] es aplicación, es decir [texx]\forall a\in A, \ \exists!\ b\in B[/texx] tal que [texx](a,b)\in f\cap g \rightarrow (a,b)\in g[/texx].

Eso está mejor.

Pero quizá podrías escribirlo mejor así.

Sea [texx](a,b)\in F[/texx]; como [texx]f\cap g[/texx] es aplicación, [texx]\exists!\ b'\in B[/texx] (en principo no sabemos que sea igual al [texx]b[/texx] inicial) tal que [texx](a,b')\in f\cap g\subset f[/texx].

Como [texx]f[/texx] también es aplicación la imagen de [texx]a[/texx] es úncia. Por tanto si [texx](a,b)\in f[/texx] y [texx](a,b')\in f[/texx] entonces [texx]b=b'[/texx]. Y [texx](a,b)=(a,b')\in f\cap g\subset g[/texx].

Fíjate que ahora queda claro que en el argumento también es decisivo que [texx]f[/texx] sea aplicación.

Cita
¿Se podría proceder del siguiente modo?;

Supongamos [texx]f \not= g[/texx]. Sea [texx](a,b)\in f[/texx] entonces podría darse que [texx](a,b)\not\in f\cap g[/texx] por lo que [texx]f\cap g[/texx] no sería aplicación. Lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que [texx]f=g[/texx].

Si; también puede hacerse por reducción al absurdo. Pero no está bien escrito.

Sería si [texx]f\neq g[/texx] quiere decir que existe [texx](a,b)\in f[/texx] tal que [texx](a,b)\not\in g[/texx] (o al revés; se razonaría análogamente en ese caso).

Pero dado que [texx]f,g[/texx] son aplicaciones dado [texx]a\in A[/texx] existen únicos [texx]b,b'\in B[/texx] tales que [texx](a,b)\in f[/texx] y [texx](a,b')\in g[/texx]; como [texx](a,b)\not\in g[/texx], entonces [texx]b\neq b'[/texx]; por tanto no existe ningún para [texx](a,b'')\in f\cap g[/texx] y así [texx]f\cap g[/texx] no es aplicación.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 16/02/2017, 05:01:35 pm »

¡Muchas gracias por la ayuda!

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