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Autor Tema: Matriz definida positiva  (Leído 746 veces)
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Estudiantee
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« : 10/02/2017, 01:43:37 pm »

 Sea [texx]A\in{M_n}[/texx] una matriz simétrica definida positiva.
  a) Probar que la matriz A puede factorizar en la forma [texx]A=CDC^T[/texx] donde C es triangular inferior con [texx]c_{ii}=1[/texx] y D es diagonal. ¿Es única tal factorización?

  Como A es simétrica y definida positiva admite factorización de Cholesky, es decir A=BB^T
  Por tanto los elementos de CD serán de la forma [texx]\displaystyle\frac{1}{d_{ii}}[/texx] y [texx]B^T=C^T[/texx] Es correcto?

 b) Obtener las matrices C y D y demostrar que
  [texx]d_{ii}=(b_{ii})^2[/texx] siendo [texx]A=BB^T[/texx] factorización de Cholesky.

 Cómo lo resuelvo?

 Saludos y gracias.
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Si alguien me invita a forocoches, se lo agradecería.
mathtruco
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El gran profesor inspira


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« Respuesta #1 : 10/02/2017, 02:28:41 pm »

Hola Estudiantee. No entendí a qué querías llegar con tu respuesta en la parte a).

Sabemos que [texx]A[/texx] admite descomposición de Cholesky, por lo que existe una matriz triangular inferior [texx]B[/texx] tal que

    [texx]A=BB^t[/texx].

Queremos construir una descomposición [texx]A=CDC^t[/texx], donde los elementos de la diagonal de [texx]C[/texx] sean 1, así que tirando lápiz llegué a lo siguiente:

    [texx]A=BB^t[/texx]

       [texx]=\begin{bmatrix}b_{1,1}&0\\ b_{2,1}& b_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{2,1}\\ 0& b_{2,2}\end{bmatrix}[/texx]

       [texx]=\begin{bmatrix}1&0\\ \dfrac{b_{2,1}}{b_{1,1}}& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{1,1}&0\\ 0& b_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{1,1}&0\\ 0& b_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\dfrac{b_{2,1}}{b_{1,1}}\\ 0& 1\end{bmatrix}[/texx]

       [texx]=\begin{bmatrix}1&0\\ \dfrac{b_{2,1}}{b_{1,1}}& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{1,1}^2&0\\ 0& b_{2,2}^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\dfrac{b_{2,1}}{b_{1,1}}\\ 0& 1\end{bmatrix}[/texx]

       [texx]=CDC^t[/texx]


Trata de generalizarlo para el caso [texx]3\times 3[/texx], va a ser lo mismo, y propone una demostración para el caso general.


Luego de hacer esta cuenta noté que en la parte b) ya te sugerían la forma de la matriz diagonal [texx]D[/texx]. Con el procedimiento anterior tienes también el algoritmo para hallar [texx]C[/texx] y [texx]D[/texx].

Sobre la unicidad, sospecho que basta revisar si la descomposición de Cholesky es única y concluir desde ahí.
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