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Autor Tema: Convergencia de sucesión de funciones en un compacto.  (Leído 517 veces)
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Santusa
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« : 10/02/2017, 07:42:47 am »

Hola, cómo están todos:

Tengo dificultad con este enunciado:

Sea [texx]K[/texx] un espacio métrico compacto, [texx]\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\subset C(K)[/texx]. Si [texx]f_n\to f \text{ en } C(K)\Rightarrow \left(f_n(x)\right)_{n\in\mathbb{N}}[/texx] es equicontinua y uniformemente acotada.

Yo sé que la convergencia es uniforme y que cada [texx]f_n[/texx] es uniformemente continua, por ser continua sobbre el compacto [texx]K[/texx].

Muchas gracias y cariños.
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« Respuesta #1 : 10/02/2017, 07:07:56 pm »

Hola Santusa.

 Supongo que las funciones en [texx]C(K)[/texx] son funciones continuas de la forma [texx]f:K\to\mathbb{R}[/texx] (si hubiera alguna diferencia en el espacio de llegada, el argumento que presento a continuación puede adaptarse). Denotaré por [texx]\|\cdot\|[/texx] a la norma de la convergencia uniforme en [texx]C(K)[/texx] y por [texx]B(x,r)[/texx] a las bolas abiertas con centro [texx]x\in K[/texx] y radio [texx]r.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Para ver que [texx](f_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/texx] es equicontinua en un punto [texx]x_{0}\in K,[/texx] tomemos [texx]\varepsilon>0.[/texx] Sabemos que existe [texx]\delta_{f}>0[/texx] tal que [texx]f\big(B(x_{0},\delta_{f})\big)\subset\big(f(x_{0})-\varepsilon/3,f(x_{0})+\varepsilon/3\big).[/texx] Además de la convergencia uniforme se deduce que existe [texx]N\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]\|f_{n}-f\|\leq\varepsilon/3[/texx] para todo [texx]n\geq N.[/texx] Usando esto intenta mostrar que para todo [texx]x\in B(x_{0},\delta_{f})[/texx] y todo [texx]n\geq N[/texx] se cumple la desigualdad

[texx]d\big(f_{n}(x),f_{n}(x_{0})\big)\leq\varepsilon[/texx] (la desigualdad triangular puede ayudarte).

 Esto significa que [texx]f_{n}\big(B(x_{0},\delta_{f})\big)\subset\big(f_{n}(x_{0})-\varepsilon,f_{n}(x_{0})+\varepsilon\big)[/texx] para todo [texx]n\geq N.[/texx] Esto prueba que la familia [texx]\{f_{N},f_{N+1},\dots\}[/texx] es equicontinua en [texx]x_{0}[/texx], luego también lo será la familia completa, empezando en [texx]f_{1}[/texx] (¿por qué?).

[texx]\bullet[/texx] Para probar que la familia es uniformemente acotada, sabemos que existe cierto [texx]M\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]\|f_{n}-f\|\leq 1[/texx] para todo [texx]n\geq M.[/texx] A partir de aquí intenta probar que [texx]\|f_{n}\|\leq \|f\|+1[/texx] para todo [texx]n\geq M.[/texx] Esto implica que la familia [texx]\{f_{n}:\,n\geq M\}[/texx] es uniformemente acotada (por [texx]\|f\|+1[/texx]). Luego la familia completa también es uniformemente acotada (¿por qué?).

 Trata de completar los detalles del camino que aquí te indico y si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 10/02/2017, 07:19:05 pm »

Hola EnRlquE:

Hola Santusa.

 Supongo que las funciones en [texx]C(K)[/texx] son funciones continuas de la forma [texx]f:K\to\mathbb{R}[/texx] (si hubiera alguna diferencia en el espacio de llegada, el argumento que presento a continuación puede adaptarse). Denotaré por [texx]\|\cdot\|[/texx] a la norma de la convergencia uniforme en [texx]C(K)[/texx] y por [texx]B(x,r)[/texx] a las bolas abiertas con centro [texx]x\in K[/texx] y radio [texx]r.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Para ver que [texx](f_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/texx] es equicontinua en un punto [texx]x_{0}\in K,[/texx] tomemos [texx]\varepsilon>0.[/texx] Sabemos que existe [texx]\delta_{f}>0[/texx] tal que [texx]f\big(B(x_{0},\delta_{f})\big)\subset\big(f(x_{0})-\varepsilon/3,f(x_{0})+\varepsilon/3\big).[/texx] Además de la convergencia uniforme se deduce que existe [texx]N\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]\|f_{n}-f\|\leq\varepsilon/3[/texx] para todo [texx]n\geq N.[/texx] Usando esto intenta mostrar que para todo [texx]x\in B(x_{0},\delta_{f})[/texx] y todo [texx]n\geq N[/texx] se cumple la desigualdad

[texx]d\big(f_{n}(x),f_{n}(x_{0})\big)\leq\varepsilon[/texx] (la desigualdad triangular puede ayudarte).

 Esto significa que [texx]f_{n}\big(B(x_{0},\delta_{f})\big)\subset\big(f_{n}(x_{0})-\varepsilon,f_{n}(x_{0})+\varepsilon\big)[/texx] para todo [texx]n\geq N.[/texx] Esto prueba que la familia [texx]\{f_{N},f_{N+1},\dots\}[/texx] es equicontinua en [texx]x_{0}[/texx], luego también lo será la familia completa, empezando en [texx]f_{1}[/texx] (¿por qué?).

[texx]\bullet[/texx] Para probar que la familia es uniformemente acotada, sabemos que existe cierto [texx]M\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]\|f_{n}-f\|\leq 1[/texx] para todo [texx]n\geq M.[/texx] A partir de aquí intenta probar que [texx]\|f_{n}\|\leq \|f\|+1[/texx] para todo [texx]n\geq M.[/texx] Esto implica que la familia [texx]\{f_{n}:\,n\geq M\}[/texx] es uniformemente acotada (por [texx]\|f\|+1[/texx]). Luego la familia completa también es uniformemente acotada (¿por qué?).

 Trata de completar los detalles del camino que aquí te indico y si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Creo que con esta ayuda va a ser fácil.
P.S. Efectivamente [texx]C(K)[/texx] son las funciones continuas [texx]f:K\to\mathbb{R}[/texx]

Cariños.
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« Respuesta #3 : 15/02/2017, 08:36:49 am »

\(
\newcommand{\ty}[1][y]{\text{ #1 }}
\newcommand{\absojus}[2]{\displaystyle\mathop{\left|#1\right|}_{#2}}
\newcommand{\abso}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\real}[1][R]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\cuniforme}[2]{#1 \overset{u}{\rightarrow} #2}
\newcommand{\norma}[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand{\dist}[2]{d\left(#1\co #2\right)}
\newcommand{\co}{\text{, }}
\newcommand{\st}[1]{\left\{#1\right\}}
\renewcommand{\max}{\displaystyle\mathop{\rm máx}}
\renewcommand{\min}{\displaystyle\mathop{\rm mín}}
\)
Hola EnRlquE:
Muchas gracias por tu ayuda, basándome en lo que me dijiste, hice esto que sigue abajo, me gustaría que me dijeras si está bien el razonamiento.

Como [texx] K [/texx] es compacto, podemos utilizar las siguientes premisas:
   [texx] \cuniforme{f_n}{f}\ty[, las] f_n \ty f [/texx] son continuas, por lo tanto, uniformemente continuas en [texx] K,\ty[dado]\epsilon>0 [/texx], se tiene
   \begin{equation*}
   \exists \delta_0>0\,\forall x,y\in K:\dist{x}{y}<\delta_0\Rightarrow\abso{f(x)-f(y)}<\frac{\epsilon}{3}
   \end{equation*}
   Por otro lado, se tiene para [texx] \dist{x}{y}<\delta_0 [/texx] que [texx] \exists n_0 [/texx] donde se cumple [texx] \forall n\geq n_0 [/texx], que
   \begin{equation*}
   \abso{f_n(x)-f_n(y)}\leq \absojus{f_n(x)-f(x)}{<\frac{\epsilon}{3}}+\absojus{f(x)-f(y)}{<\frac{\epsilon}{3}}+
   \absojus{f(y)-f_n(y)}{<\frac{\epsilon}{3}}<\epsilon.
   \end{equation*}
   Además, se tiene que existen [texx] \delta_1,\dots,\delta_{n_0-1} [/texx], tales que
   \begin{equation*}
   \begin{array}{lcl}
   \dist{x}{y}<\delta_1&\Rightarrow&\abso{f_1(x)-f_1(y)}<\dfrac{\epsilon}{3}\\[3mm]
   \dist{x}{y}<\delta_2&\Rightarrow&\abso{f_2(x)-f_2(y)}<\dfrac{\epsilon}{3}\\
   &\vdots&\\
   \dist{x}{y}<\delta_{n_0-1}&\Rightarrow&\abso{f_{n_0-1}(x)-f_{n_0-1}(y)}<\dfrac{\epsilon}{3}
   \end{array}
   \end{equation*}
   Si tomamos [texx] \delta=\min\st{\delta_0,\delta_1,\dots,\delta_{n_0-1}} [/texx], se tiene
   \begin{equation*}
   \dist{x}{y}<\delta\Rightarrow
   \abso{f_n(x)-f_n(y)}<\epsilon\co \forall n\in\real[N].
   \end{equation*}
   Es decir
   \begin{equation*}
   \forall\epsilon>0\,\forall n\in \real[N]\,\forall x,y\in K\,\exists \delta>0:\dist{x}{y}<\delta\Rightarrow\abso{f_n(x)-f_n(y)}<\epsilon
   \end{equation*}
   Luego, las [texx] f_n [/texx] son equicontinuas.
   Para ver que las [texx] f_n [/texx] son uniformemente acotadas, sabemos que
   \begin{equation*}
   \exists n_0: n\geq n_0\Rightarrow\abso{f_n(x)-f(x)}<1
   \end{equation*}
   Por lo tanto, tenemos
   \begin{equation*}
   \abso{f_n(x)}-\abso{f(x)}\leq\abso{f_n(x)-f(x)}<1\Rightarrow\abso{f_n(x)}\leq\abso{f(x)}+1\leq\norma{f}+1=C_0
   \end{equation*}
   Por otro lado
   \begin{equation*}
   \begin{array}{lclcl}
   \abso{f_1(x)}&\leq&\norma{f_1}&=&C_1\\
   \abso{f_2(x)}&\leq&\norma{f_2}&=&C_2\\
   &\vdots&&&\\
   \abso{f_{n_0-1}(x)}&\leq&\norma{f_{n_0-1}}&=&C_{n_0-1}
   \end{array}
   \end{equation*}
   Sea [texx] C=\max\st{C_0,\dots,C_{n_0-1}} [/texx], se tiene [texx] \abso{f_n(x)}\leq C\co \forall n\in\real[N] [/texx].
   [texx] \therefore \left(f_n\right)_{n\in\real[N]}[/texx] es uniformemente acotada.

Cariños.
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« Respuesta #4 : 17/02/2017, 04:05:56 pm »

Hola Santusa.

 Está bien, en la primera parte de hecho pruebas que la familia es uniformemente equicontinua (en particular equicontinua).

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #5 : 18/02/2017, 02:21:31 pm »

\(
\newcommand\corazones[2]{\color{#1}{\heartsuit}\kern-2.5pt\color{#2}{\heartsuit}}
\)

Hola EnRlquE:

Hola Santusa.

 Está bien, en la primera parte de hecho pruebas que la familia es uniformemente equicontinua (en particular equicontinua).

Saludos,

Enrique.

Muchas gracias por revisar mi mensaje y atender siempre mis consultas.

Cariños. [texx]\corazones{red}{blue}[/texx]
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