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Autor Tema: Integrales Triples - Problema  (Leído 647 veces)
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Hardank
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« : 08/02/2017, 09:50:10 am »

Bueno tengo cierta duda con este ejercicio y algunos asesoramiento. No se ve tan difícil, pero parece que en su simplicidad se complica de alguna manera. Ya he hecho 5 ejercicios de una guía de 50 ejercicios. Pero la diferencia es que eran sólidos conocidos cortados por planos como [texx]z=3 o x=1[/texx]. Sólidos como un paraboloide (estaba en los 5 ejercicios), pero cortado con diferentes planos, formando diferentes proyecciones pero no tan complicadas. Se que el truco de las integrales triples son saber graficar, lo importante es graficar lo mejor posible sus funciones. Para poder ver el sólido que se forma y hacer las proyecciones indicadas. Lo demás es calcular.

Me gustaría saber cuales son todas las funciones más usadas en integrales triples, y también las que suelen aparecer "para" complicar el asunto. Me refiero a que me digan esto es un Paraboloide: [texx]z= x^2+y^2[/texx], su formulas, trucos para conseguir sus puntos, este otro es una elipsoide, etc. Como también como graficarlos. Yo me di cuenta mientras las profesora explico un ejercicio con un paraboloide y un plano [texx]z=2[/texx] pero haciendo proyecciones en los 3 planos posibles. Que por ejemplo, el paraboloide era [texx]z=x^2+y^2+1[/texx]. Visualice que ella tomaba plano xz y plano yz para graficar en ambas una parabola común en un plano cartesiano. Pero dando valores a "x" y y"... como x=0. Unió las gráficas y creo el paraboloide. Todo bien entendí la clase, todo y se graficar un paraboloide y los planos (normales). Pero de ahí en adelante, los ejercicios que dio para que practiquemos. Los primeros si se pueden hacer con lo que enseño el martes porque son puras paraboloides cortadas por diferentes planos. Pero existen casos que no he visto y como todo, me bloquean. Y tengo este problema que no se graficarlo. Y como la profesora no nos dio una guía de las funciones diferentes que pueden salir en el espacio, se complica. He buscado por internet pero sale información a medias, no clara, incluso en algunas fuentes diferentes, difieren en sus formas. Por ende, acudo a ustedes que siempre me dan claridad.

6. Sólido limitado por:

[texx]y+z=1 ; y=\sqrt[ ]{x} ; x=z=0[/texx]

El ejercicio me pide proyección en los 3 planos, calcular volumen en xy, xz y yz. Pero plantear las integrales en ambos tipos. Es decir, las 6 integrales triples que se pueden armar por cualquier sólido formado. Y calcular el volumen.

Se que hay un plano que pude graficar sin problemas, pero la [texx] y=\sqrt[ ]{x}[/texx] me parece que es una parábola. Pero no se como graficarla en el espacio. Una cosa es un paraboloide, otra una parábola (o mejor dicho la mitad de una parábola). En el espacio claro está. Y realmente no se que hacer. Ni que sólido forma. Solo necesito saber como queda la gráfica, que forma, y en el espacio. Como hacen con una función que tiene solo 2 variables de las 3 posibles?. Puedo graficar [texx]y=\sqrt[ ]{x}[/texx] en un plano cartesiano. Pero queda igual en el espacio?. Solo que estando "pegado" en el plano xy (mi suelo en el espacio). Pero no estoy seguro.

Solo quiero saber esto y si es posible el procedimiento para la proyección del plano xy. Sus regiones e integrales triples planteadas. Yo a base de eso puedo realizar las demás proyecciones, y plantear las 4 integrales triples que aún quedarían por los 2 planos que faltan (xz, yz). Y calcular el volumen. Les agradecería ayudarme solo hasta plantear la integral triple en el plano xy en ambos ORDEN (dzdydx, dzdxdy)... claramente en este plano el "dz" está por delante de ambos diferenciales. Solo me gustaría ayuda para graficar en el espacio y su respectiva proyección en el plano xy. Luego yo por mi mismo, me lanzo en los otras proyecciones en los otros planos y planteo sus integrales. Y resuelvo un par de integrales triples de diferentes proyecciones en el plano para ver si el volumen me da igual y por ende, esta bien el ejercicio.

Solo pido eso, pero si quieren resolver las integrales triples que plantean y darme un resultado. Excelente, y acepto todo PDF de buena calidad que explique funciones o este tema de manera magistral. Que no tenga tantos tecnicismos. Sino que su lenguaje sea digerible o al menos aceptable para su entendimiento.

Tengo varios PDF's , pero ayer vi la clase de integrales triples y he estado leyendo cuando puedo. Mientras resuelvo ejercicios de integrales triples. Porque se que uno APRENDE MÁS HACIENDO MÁS Pero también he dejado algo de tiempo para Física II. Otra cosa, si tienen algún procedimiento para poder visualizar cualquier función sería bueno saberla :cara_de_queso:

Saludos a todos! y gracias por tomarse el tiempo de ayudarme.  :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia:
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delmar
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« Respuesta #1 : 08/02/2017, 03:02:01 pm »

Hola Hardank

Adjunto una imagen para que se pueda entender mejor. El sólido mirándolo desde la parte positiva del eje x (flecha en el esquema), esta limitado en su parte frontal por una superfice cilindrica generada por el movimiento del eje z, sobre la curva [texx]y=\sqrt[ ]{x}, \ z=0[/texx]

En su parte inferior esta limitado por el plano [texx]z=0[/texx]

En su parte posterior esta limitado por el plano [texx]x=0[/texx]

En su parte superior esta limitado por el plano [texx]y+z=1[/texx]

En su parte lateral derecha por el plano [texx]z=1-y[/texx], este plano es perpendicular al plano coordenado YZ

La integral sería :

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1} \ dy  \displaystyle\int_{0}^{y^2}\ dx \displaystyle\int_{0}^{1-y} \ dz[/texx]

Explicación :

Considerando x e y constante z varía desde [texx]z=0[/texx] hasta una altura [texx]z=1-y[/texx] determinada por el plano.

Luego considerando y constante, x varía (observando la proyección del sólido sobre el plano XY) desde [texx]x=0[/texx] hasta [texx]y^2[/texx]

Finalmente [texx]y[/texx] varía desde 0 hasta 1, considerando la intersección entre [texx]y=\sqrt[ ]{x}, \ z00[/texx] y [texx]y=1, \ z=0[/texx], esa intersección es el punto (1,1)

Considerando el otro orden la integral sería :

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1} \ dx \displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1} \ dy \displaystyle\int_{0}^{1-y} \ dz[/texx]

En la segunda integral observando la proyección del sólido sobre el plano XY, manteniendo x constante y varía desde [texx]\sqrt[ ]{x}[/texx] hasta 1; [texx]y=1, \ z=0[/texx] es la intersección del plano [texx]y+z=1[/texx] con el plano XY

Finalmente x varía desde 0 hasta 1

Saludos

Nota. Otros foristas pueden orientarte sobre las  formas algebraicas de los diversos solidos, sabes enseñando también se aprende

Nota : Enmende la errata gracias, ilarrosa por tu observación.

* integralestriples1.jpg (43.5 KB - descargado 22 veces.)
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 08/02/2017, 03:32:26 pm »


La integral sería :

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1} \ dy  \displaystyle\int_{0}^{x^2}\ dx \displaystyle\int_{0}^{1-y} \ dz[/texx]

Ahí hay una pequeña errata, debe ser:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1} \ dy  \displaystyle\int_{0}^{y^2}\ dx \displaystyle\int_{0}^{1-y} \ dz[/texx]

como bien aclara delmar a continuación en el texto. En general, una variable sobre la que ya se ha integrado, o se está integrando, no puede aparecer en los límites.

Saludos,



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Hardank
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« Respuesta #3 : 09/02/2017, 12:41:12 am »

Muchas gracias a los dos por su colaboración. Ya realice las proyecciones en los planos XZ, YZ. Y al hacerme la gráfica, pude aprender ciertas cosas además de saber como era la gráfica  :risa:

Como dije realice las proyecciones en los otros 2 planos, plantee las integrales triples correspondientes a Tipo I y Tipo II en ambos planos. Pondré las proyecciones e integrales triples planteadas, si me equivoque en algún límite de integración, por favor, explique :sonrisa:

Proyección en el Plano XZ

[texx]z=1-y [/texx] -->[texx] y= 1-z[/texx] (techo) ; [texx] y=\sqrt[ ]{x}[/texx] (piso)

[texx]\sqrt[ ]{x}\leq{y}\leq{1-z}[/texx] <--- mi región.

Claramente luego pase a hacer un plano cartesiano en XZ, grafique, busque las funciones respectivas y obtuve mis límites de integración de las 2 integrales faltantes.

Mi integral triple - Tipo I (dzdx) es:
[texx]
\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{1-x}}^{1-\sqrt[ ]{x}}\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1-z}dydzdx[/texx]


Mi integral triple - Tipo II (dxdz) es:
[texx]
\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{(1-z)^2}^{1-z^2}\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1-z}dydxdz[/texx]

Proyección en el Plano YZ


[texx]y=\sqrt[ ]{x} [/texx] -->[texx] x=y^2[/texx] (techo) ; [texx] z=1-y; x=z=0 --> x=1-y[/texx] (piso)

[texx]1-y\leq{x}\leq{y^2}[/texx] <--- mi región. Claramente como en el anterior pase a hacer un plano cartesiano en YZ, grafique, busque las funciones respectivas y obtuve mis límites de integración de las 2 integrales faltantes.

2 integrales triples (2 regiones diferentes en el plano YZ) - Tipo I (dzdy) es:
[texx]
\displaystyle\int_{0}^{0,61}\displaystyle\int_{0}^{y^2}\displaystyle\int_{1-y}^{y^2}dxdzdy[/texx] + [texx]
\displaystyle\int_{0,61}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-y}\displaystyle\int_{1-y}^{y^2}dxdzdy[/texx]


Mi integral triple - Tipo II (dydz) es:
[texx]
\displaystyle\int_{0}^{0,38}\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{z}}^{1-z}\displaystyle\int_{1-y}^{y^2}dxdydz[/texx]

En total me quedaron 5 integrales triples (sin contar las otras 2 integrales triples del plano XY), pueden echarle un ojo a ver si cometí un error en sus límites de integración?. Y corregirme :sonrisa:

Muchas gracias y delmar he asimilado tu lección, trataré de que cuando pregunte algunas dudas, colocar también formas algebraicas, o información importante acerca de mi duda, para que sirva de apoyo hacia otros que quieran aprender... tienes mucha razón :sonrisa: "Enseñando también se aprende".
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delmar
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« Respuesta #4 : 09/02/2017, 10:29:05 pm »

Hardank, te ayudo con el integral basado en la proyección sobre el plano XZ

En el tipo II es :

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1} \ dz \displaystyle\int_{0}^{(1-z)^2} \ dx  \displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1-z} \ dy[/texx]

En el primer límite de integración aciertas, para x y z constantes y varía desde [texx]\sqrt[ ]{x}[/texx] hasta [texx]1-z[/texx]

Es conveniente graficar la proyección del sólido sobre XZ, denominamos región R. Constituye una región limitada por el eje Z positivo, el eje X positivo y por  la proyección de la curva :

[texx]z=1-y[/texx]

[texx]y=\sqrt[ ]{x}[/texx]

Esto implica : [texx]1-z=\sqrt[ ]{x}\Rightarrow{x=(1-z)^2}[/texx]

La proyección de la curva será :[texx]x=(1-z)^2, \ y=0[/texx]

Basándonos en la región R se observa que para un z constante, x varía desde 0 hasta [texx](1-z)^2[/texx]

Finalmente z varía desde 0 hasta 1

Para el tipo I

La integral sería :

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1} \ dx \displaystyle\int_{0}^{1-\sqrt[ ]{x}} \ dz  \displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1-z} \ dy[/texx]

Para los límites de la segunda integral, considerando x constante, basándonos en R, se observa que z varía desde 0 hasta [texx]1-\sqrt[ ]{x}[/texx]


Saludos

Nota : Desarrolle Tipo II primero por facilidad.

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« Respuesta #5 : 09/02/2017, 10:52:13 pm »

Hardank, te ayudo con el integral basado en la proyección sobre el plano XZ

En el tipo II es :

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1} \ dz \displaystyle\int_{0}^{(1-z)^2} \ dx  \displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1-z} \ dy[/texx]

En el primer límite de integración aciertas, para x y z constantes y varía desde [texx]\sqrt[ ]{x}[/texx] hasta [texx]1-z[/texx]

Es conveniente graficar la proyección del sólido sobre XZ, denominamos región R. Constituye una región limitada por el eje Z positivo, el eje X positivo y por  la proyección de la curva :

[texx]z=1-y[/texx]

[texx]y=\sqrt[ ]{x}[/texx]

Esto implica : [texx]1-z=\sqrt[ ]{x}\Rightarrow{x=(1-z)^2}[/texx]

La proyección de la curva será :[texx]x=(1-z)^2, \ y=0[/texx]

Basándonos en la región R se observa que para un z constante, x varía desde 0 hasta [texx](1-z)^2[/texx]

Finalmente z varía desde 0 hasta 1

Para el tipo I

La integral sería :

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1} \ dx \displaystyle\int_{0}^{1-\sqrt[ ]{x}} \ dz  \displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1-z} \ dy[/texx]

Para los límites de la segunda integral, considerando x constante, basándonos en R, se observa que z varía desde 0 hasta [texx]1-\sqrt[ ]{x}[/texx]


Saludos

Nota : Desarrolle Tipo II primero por facilidad.



Muchas gracias por corregir mis errores. Pensé que lo había hecho perfecto, pero por si acaso es mejor preguntar. Y bueno pude ver mis errores. Y siempre gráfico mi proyección del sólido sobre el plano. Para ver que me forma y cual es su región. Por lo visto, me equivoque en las integrales triples de las que estaba muy seguro en sus límites, ya que mi preocupación recaía en las integrales triples y sus límites de integración de la proyección del plano YZ en la cual me preocupaba, pero resulta que estan perfectas, al menos eso me das a entender porque no mencionaste el planoYZ

Lo bueno es que mis errores no fueron tan garrafales. Solo un pequeño descuido, pero debo mejorar eso. Gracias de verdad. Hoy ví transformaciones a coordenadas cilindricas y esféricas. Pero por ahora, solo me dedico a hacer integrales triples y sus gráficas. Para manejarlo bien, es lo importante.

Gracias Delmar, como siempre buena explicación. Saludos.
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« Respuesta #6 : 09/02/2017, 11:13:28 pm »

Hardank, las integrales basadas en la proyección sobre el plano YZ, no las he revisado; pero a ojo de águila no son ciertas. Date cuenta que la proyección del sólido, es un triángulo rectángulo isóceles de cateto 1 y que considerando un y y z constante el x de los puntos del sólido varían de 0 hasta [texx]y^2[/texx]. Espero que lo revises.

Saludos
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« Respuesta #7 : 11/02/2017, 11:24:32 am »

Hardank, las integrales basadas en la proyección sobre el plano YZ, no las he revisado; pero a ojo de águila no son ciertas. Date cuenta que la proyección del sólido, es un triángulo rectángulo isóceles de cateto 1 y que considerando un y y z constante el x de los puntos del sólido varían de 0 hasta [texx]y^2[/texx]. Espero que lo revises.

Saludos

Gracias por la observación, no me había percatado. Había colocado en la región 0. Pero no se porque motivo coloque eso. Tuvo que ser un desliz mental. Pero ya la revise totalmente y me percate de algunos errores, los cuales corregí. Así que estoy mejor ahora. Gracias por la ojeada :cara_de_queso:
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« Respuesta #8 : 17/02/2017, 10:07:00 pm »

Al tratarse de unos problemas nuevos, pase el último mensaje de Hardank a un nuevo hilo http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=93437.0 (Intregrlas Triples - 4 problemas).

Y Hardank es mejor que en lo sucesivo plantees una sola cuestión en cada mensaje. Es más fácil seguir el desarrollo del tema así, y se evita que mucha gente piense que está todo resuelto cuando aún no has recibido más que una respuesta parcial.
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