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Autor Tema: Límite  (Leído 2631 veces)
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pierrot
pabloN
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« : 11/12/2016, 01:56:01 am »

Sea [texx](a_n)[/texx] tal que [texx]a_1=1[/texx] y [texx]a_{n+1}=\dfrac{n}{a_n},\;n\geq 1[/texx]. Determinar el valor del siguiente límite:

[texx]\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right)[/texx]

Bosquejo de solución:

Primero que nada, deducimos que:

[texx]a_n=\left\{\begin{array}{cll}1&\mbox{ si } &n=1,2\\ \frac{(n-1)!!}{(n-2)!!}&\mbox{ si } &n>2\end{array}\right.[/texx]

Ahora definamos [texx]b_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}[/texx] y [texx]c_n=\sqrt{n}[/texx]. El límite pedido es [texx]\lim \frac{b_n}{c_n}[/texx]. Si llamamos [texx]d_n=\frac{b_n}{c_n}[/texx] se trata de hallar [texx]\lim d_n[/texx]. Si existe [texx]L=\lim d_n[/texx] entonces [texx]L=\lim d_{2k}[/texx] ya que cualquier subsucesión de una sucesión convergente, converge al mismo límite que la sucesión madre. Luego, si llamamos [texx]d'_k=d_{2k}[/texx], [texx]c'_k=c_{2k}[/texx] y [texx]b'_k=b_{2k}[/texx], queremos determinar

[texx]\displaystyle \lim_{k\to \infty} d'_k=\lim_{k\to \infty} \frac{b'_k}{c'_k}[/texx]

Como [texx]c'_k=c_{2k}=\sqrt{2k}[/texx] es una sucesión monótona creciente y no acotada, podemos aplicar Stolz:

[texx]\begin{align*}
\lim_{k\to \infty} \frac{b'_k}{c'_k} &= \lim_{k\to \infty} \frac{b'_{k+1}-b'_k}{c'_{k+1}-c'_k} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{b_{2(k+1)}-b_{2k}}{c_{2(k+1)}-c_{2k}} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{\sum_{i=1}^{2(k+1)} \frac{1}{a_i} - \sum_{i=1}^{2k} \frac{1}{a_i}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{1}{a_{2(k+1)}}+\frac{1}{a_{2k+1}}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}} \\
&=\lim_{k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}+\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}}
\end{align*}[/texx]

Eliminando los factoriales dobles, nos queda:

[texx]\displaystyle \lim_{k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{2^{2k+1}(k!)^2(k+1)}{\big(2(k+1)\big)!}+\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}}{\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{2k}}[/texx]

Para calcular este límite, utilizamos el equivalente de Stirling: [texx]\displaystyle k!\sim \sqrt{2\pi k}\left(\frac{e}{k}\right)^k[/texx] y lo que resta es rutinario.

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