Foros de matemática
28/07/2017, 03:58:09 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de insercción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Punto de inflexión  (Leído 1071 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
nktclau
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Conectado Conectado

Sexo: Femenino
Argentina Argentina

Mensajes: 3.171



Ver Perfil
« : 04/02/2017, 09:47:01 pm »

Hola GENTE!! necesito de su ayuda, por favor, con el siguiente ejercicio.

Analizar si es verdadero o falso que el punto [texx](0,0)[/texx] es un punto de inflexión de la función [texx]f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\ln(at^2+1)[/texx] con [texx]a>0[/texx]

Analicé la continuidad de [texx]g(t)=\ln(at^2+1)[/texx] la cual es continua en reales en particular en cualquier subintervalo [texx][0,b][/texx]

Luego por el teorema fundamental del cálculo parte 1. la función [texx]f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\ln(at^2+1)[/texx] con [texx]a>0[/texx] y tal que [texx]0\leq{x} \leq{ b}[/texx] cumple:

1- [texx]f(x)[/texx] es continua en [texx][0,b][/texx]

2- [texx]f(x)[/texx] es diferenciable en [texx](0,b)[/texx]

3- [texx]f'(x)=ln(ax^2+1)[/texx] con [texx]a>0[/texx]

Luego busco la derivada segunda de la función es: [texx]f''(x)=\displaystyle\frac{2ax}{ax^2+1}[/texx] con [texx]a>0[/texx]

El único posible punto de inflexión es [texx]x=0[/texx]

Por el teorema fundamental del calculo podemos asegurar que [texx]f(x)[/texx] es continua en [texx]x=0[/texx]

Pero no podemos asegurar que [texx]f(x)[/texx] sea diferenciable en [texx]x=0[/texx], ya que el teorema asegura que f es diferenciable en [texx](0,b)[/texx] por lo que no es punto  de inflexión.

¿es correcto?

Saludos

GRACIAS!! 
En línea
Samir M.
Physicsguy.
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 895

I'm back.


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 05/02/2017, 12:18:38 am »

Hola.

Para que una función [texx]f[/texx] tenga un punto de inflexión no es necesario que ésta sea diferenciable. Por ejemplo, considera la función continua [texx]f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{si } x<0 \\ \sqrt{x} & \text{si }x \geq 0 \end{cases}[/texx]. En [texx]x=0[/texx], a pesar de ser continua pero no diferenciable, sí presenta un punto de inflexión en ese punto.

Saludos.
En línea

[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.343


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 05/02/2017, 12:09:35 pm »

Hola

Hola GENTE!! necesito de su ayuda, por favor, con el siguiente ejercicio.

Analizar si es verdadero o falso que el punto [texx](0,0)[/texx] es un punto de inflexión de la función [texx]f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}ln(at^2+1)[/texx] con [texx]a>0[/texx]

Analicé la continuidad de [texx]g(t)=ln(at^2+1)[/texx] la cual es continua en reales en particular en cualquier subintervalo [texx][0,b][/texx]

Luego por el teorema fundamental del cálculo parte 1. la función [texx]f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}ln(at^2+1)[/texx] con [texx]a>0[/texx] y tal que [texx]0\leq{x} \leq{ b}[/texx] cumple:

1- [texx]f(x)[/texx] es continua en [texx][0,b][/texx]

2- [texx]f(x)[/texx] es diferenciable en [texx](0,b)[/texx]

3- [texx]f'(x)=ln(ax^2+1)[/texx] con [texx]a>0[/texx]

Luego busco la derivada segunda de la función es: [texx]f''(x)=\displaystyle\frac{2ax}{ax^2+1}[/texx] con [texx]a>0[/texx]

El único posible punto de inflexión es [texx]x=0[/texx]

Por el teorema fundamental del calculo podemos asegurar que [texx]f(x)[/texx] es continua en [texx]x=0[/texx]

Pero no podemos asegurar que [texx]f(x)[/texx] sea diferenciable en [texx]x=0[/texx], ya que el teorema asegura que f es diferenciable en [texx](0,b)[/texx] por lo que no es punto  de inflexión.

Tienes varias fallos de concepto al hacer esa afirmación:

1) En primer lugar como dice Samir M; no hace falta que la función sea diferenciable en el punto para que tenga un punto de inflexión. Tal punto es uno donde se pasa de concavidad a convexidad.

2) Incluso aunque exigiésemos la diferenciabilidad tal como has razonado, lo único que sabes es que el Teorema que has usado no te permite afirmar que [texx]f(x) [/texx]sea diferenciable en [texx]x=0[/texx], pero no te permite afirmar que necesariamente NO lo sea. Quizá con otro tipo de razonamiento si se puede afirmar que es diferenciable.

3) Y de hecho la función si es diferenciable en un entorno del [texx]0[/texx]. Ten en cuenta que en un entorno [texx](-\epsilon,\epsilon)[/texx] puedes definirla como:

[texx]f(x)=\displaystyle\int_{-\epsilon}^{x}ln(at^2+1)dt-\underbrace{\displaystyle\int_{-\epsilon}^{0}ln(at^2+1)dt}_{cte}[/texx]

y ahora puedes aplicar el mismo teorema fundamental del cálculo integral al que te referías para deducir la diferenciabilidad en un entorno del [texx][/texx]0.

Saludos.
En línea
nktclau
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Conectado Conectado

Sexo: Femenino
Argentina Argentina

Mensajes: 3.171



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 05/02/2017, 10:04:38 pm »

Hola el_mancoSamir M. Gracias por responder! 

Perdón que insista, es que no me queda claro. En clases manejamos la siguiente definición de punto de inflexión, si no me ciño a esto, no me lo tomarán como bien. perdón.

Trataré de ser clara para que se entienda los que nos han dicho en clases. Si hay algo que no se entienda por favor, pregunten. Es importante para mi aclarar este tema.



En clase nos dejaron claro que debe tener recta tangente, y de hecho hemos usado un ejemplo parecido al de Samir.

[texx]f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{si } x<0 \\ \sqrt{x} & \text{si }x \geq 0 \end{cases}[/texx]

y vemos que f no es derivable en [texx]x=0[/texx] ya que

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0^+}{\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=\displaystyle\lim_{x \to{}0^+}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}}=+\infty[/texx]

y [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0^-}{\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=0[/texx]

Ambos límites laterales son distintos por lo que [texx]f'(0)[/texx] no existe y por lo tanto aunque [texx]f(x)[/texx] fuera continua, y haya cambio de concavidad, en [texx]x=0[/texx] no existe recta tangente. De esa forma debemos analizar los ejercicios cuando se trata de puntos de inflexión.

Ahora en el ejercicio que tengo para analizar yo, tengo la función [texx]f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}ln(at^2+1)dt[/texx] con [texx]a>0[/texx]

¿Mi función [texx]f(x)[/texx] es continua en [texx][0,b][/texx]? si, pues me lo asegura el teorema fundamental del cálculo.

¿Es diferenciable en [texx]x=0[/texx]? es decir ¿tiene recta tangente en [texx]x=0[/texx]? y aquí mi duda

Analizaría de la misma forma que la función de Samir. pero ¿puedo ir por izquierda de cero? si mi función sólo está definida de [texx][0,+\infty)[/texx]? siempre siguiendo el razonamiento anterior, repito esto, pues sino estaría mal el ejercicio. ¿Si tomo a la izquierda de cero? claro podría ser diferenciable, ¿pero debería de ajustarme al intervalo que me dieron, y en tal caso sería falso?

GRACIAS!!!

Saludos
:sonrisa:

* jgdpgjrihgor.jpg (89.15 KB - descargado 151 veces.)
En línea
delmar
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 917


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 06/02/2017, 01:38:23 am »

Hola nktclau

Tu profesor esta considerando una definición de punto de inflexión,  que difiere, a la que consideran el_manco y Samir M. ¿Cuál es la verdadera en matematicas? Espero que los mas entendidos en este tema despejen las dudas.
 
Volviendo al tema y considerando la definición de tu profesor , en nuestro caso c=0 y la función f, esta definida y es continua en un intervalo abierto [texx](-r, r)[/texx] donde  r>0 y [texx]0\in{(-r, r)}[/texx],  (f también esta definida para valores de x<0 ).

¿Es derivable en c=0?, se puede averiguar de varias formas; pero una de ellas la muestro :

Averiguemos si existe la  derivada por su definicion :

Averiguamos si existe el límite por la derecha.

[texx]\displaystyle\lim_{h \to{+}0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{+}0}{\displaystyle\frac{f(h)}{h}}[/texx]

Denominando [texx]g(h)=h[/texx]

Se tiene [texx]f(h), \  g(h)[/texx], funciones que admiten derivadas [texx]f'(h), \ g'(h)[/texx], en  [texx](0,r)[/texx]

[texx]\exists{\displaystyle\lim_{h \to{+} 0}{f(h)}}=0[/texx]

[texx]\exists{\displaystyle\lim_{h \to{+} 0}{g(h)}}=0[/texx]

[texx]g'(h)=1\neq{0} \ \forall{h}\in{(0,r)}[/texx]

[texx]f'(h)=ln(ah^2+1) \ \forall{h}\in{(0,r)}[/texx]

[texx]\exists{\displaystyle\lim_{h \to{+}0}{\displaystyle\frac{f'(h)}{g'(h)}}=0}[/texx]

Con estas condiciones se puede aplicar H'ospìtal y concluir :

[texx]\exists{\displaystyle\lim_{h \to{+}0}{\displaystyle\frac{f(h)}{g(h)}}=0}=\displaystyle\lim_{h \to{+}0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}[/texx]

De una manera parecida se puede obtener el límite por la izquierda y en ese caso se concluye que existe la derivada de f en cero y es igual a cero.
Para ello hay que basarse en la sugerencia de el_manco

Saludos
En línea
delmar
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 917


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 06/02/2017, 02:32:57 pm »

Hola nktclau

En el mensaje anterior, con lo que se demostró, hay un indicio de que existe [texx]f'(0)[/texx].

Considerando la idea de el_manco en realidad [texx]\epsilon=r[/texx], consideremos la función :

[texx]G(x)=\displaystyle\int_{-r}^{x}\ln (at^2+1) \;dt[/texx], esta función existe [texx]\forall{x}\in{[-r,r]}[/texx], por la razón de que el integrando es una función continua en ese intervalo.

Por la propiedad aditiva de los integrales se tiene :

[texx]G(x)=\displaystyle\int_{-r}^{x}\ln (at^2+1) \ dt=\displaystyle\int_{-r}^{0}\ ln (at^2+1) \ dt + \displaystyle\int_{0}^{x} \ ln (at^2+1) \ dt[/texx]

Por lo tanto :

[texx]G(x)=\displaystyle\int_{-r}^{0}\ ln (at^2+1) \ dt +f(x), \ \ \forall{x}\in{[-r,r]}[/texx]

Esto implica :

[texx]f(x)=G(x)-\displaystyle\int_{-r}^{0}\ ln (at^2+1) \ dt, \ \ \forall{x}\in{[-r,r]}[/texx]

Denominando : [texx]H(x)=\displaystyle\int_{-r}^{0}\ ln (at^2+1) \ dt, \ \ \forall{x}\in{[-r,r]}[/texx], esta función en realidad es una función constante. Se tiene :

[texx]f(x)=G(x)-H(x), \ \ \forall{x}\in{[-r,r]}[/texx]

Por el Primer teorema del cálculo se tiene :

[texx]\exists{G'(x)}=ax^2+1, \ \ \forall{x}\in{(-r,r)}[/texx]

[texx]\exists{H'(x)=0}, \ \ \forall{x}\in{(-r,r)}[/texx]

Por lo tanto por propiedad de la diferencia de derivadas, se tiene :

[texx]\exists{f'(x)}=G'(x)+H'(x),\ \ \forall{x}\in{(-r,r)} [/texx]

[texx]f'(x)=ln(ax^2+1)[/texx]

Particularmente existe para [texx]x=0, \Rightarrow{f'(0)}=0[/texx]

Se llega ha este resultado sin necesidad de realizar una demostración tediosa, del límite por la parte izquierda.

Saludos
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.343


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 06/02/2017, 03:39:59 pm »

Hola

Hola el_mancoSamir M. Gracias por responder! 

Perdón que insista, es que no me queda claro. En clases manejamos la siguiente definición de punto de inflexión, si no me ciño a esto, no me lo tomarán como bien. perdón.

Trataré de ser clara para que se entienda los que nos han dicho en clases. Si hay algo que no se entienda por favor, pregunten. Es importante para mi aclarar este tema.



Por eso no hay problema; la definición puede variar con el autor. Si esa es la que usas, perfecto.

Cita
¿Mi función [texx]f(x)[/texx] es continua en [texx][0,b][/texx]? si, pues me lo asegura el teorema fundamental del cálculo.

¿Es diferenciable en [texx]x=0[/texx]? es decir ¿tiene recta tangente en [texx]x=0[/texx]? y aquí mi duda

Analizaría de la misma forma que la función de Samir. pero ¿puedo ir por izquierda de cero? si mi función sólo está definida de [texx][0,+\infty)[/texx]? siempre siguiendo el razonamiento anterior, repito esto, pues sino estaría mal el ejercicio. ¿Si tomo a la izquierda de cero? claro podría ser diferenciable, ¿pero debería de ajustarme al intervalo que me dieron, y en tal caso sería falso?

Es que ahí presupones que está defnida sólo en [texx][0,+\infty).[/texx] Pero en realidad la integral:

[texx]f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\ln(at^2+1)[/texx]

también tiene sentido para [texx]x<0[/texx].

Saludos.
En línea
nktclau
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Conectado Conectado

Sexo: Femenino
Argentina Argentina

Mensajes: 3.171



Ver Perfil
« Respuesta #7 : 14/02/2017, 09:30:01 pm »

Hola delmar [/b ] y el_manco  perdón por la tardanza de la respuestas y MUCHAS GRACIAS!! a ambos.

Me quedan algunas dudas:


Denominando : [texx]H(x)=\displaystyle\int_{-r}^{0}\ ln (at^2+1) \ dt, \ \ \forall{x}\in{[-r,r]}[/texx], esta función en realidad es una función constante.

¿Porqué es una constante?


Es que ahí presupones que está defnida sólo en [texx][0,+\infty).[/texx] Pero en realidad la integral:

[texx]f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\ln(at^2+1)[/texx]

también tiene sentido para x<0.


Y siempre que tenga sentido podré evaluar, ¿verdad? . No se por que, razón si la integral comenzaba en cero, es como que hata ahí llegaba.

Gracias!! a ambos

Saludos
En línea
delmar
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 917


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 14/02/2017, 09:48:29 pm »

Hola delmar [/b ] y el_manco  perdón por la tardanza de la respuestas y MUCHAS GRACIAS!! a ambos.

Me quedan algunas dudas:


Denominando : [texx]H(x)=\displaystyle\int_{-r}^{0}\ ln (at^2+1) \ dt, \ \ \forall{x}\in{[-r,r]}[/texx], esta función en realidad es una función constante.

¿Porqué es una constante?


Es que ahí presupones que está defnida sólo en [texx][0,+\infty).[/texx] Pero en realidad la integral:

[texx]f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\ln(at^2+1)[/texx]

también tiene sentido para x<0.


Y siempre que tenga sentido podré evaluar, ¿verdad? . No se por que, razón si la integral comenzaba en cero, es como que hata ahí llegaba.

Gracias!! a ambos

Saludos

Hola nktclau

Es una constante, por que los límites de integración son constantes (r y 0), en otras palabras es una integral definida, en consecuencia es un número que no depende de x.

Saludos
En línea
nktclau
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Conectado Conectado

Sexo: Femenino
Argentina Argentina

Mensajes: 3.171



Ver Perfil
« Respuesta #9 : 15/02/2017, 07:32:59 pm »

MUCHAS GRACIAS!!! Delmar!  me ayudó mucho la explicación  Aplauso Aplauso Aplauso Aplauso Aplauso
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!