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Autor Tema: Máximo y Mínimo, Compacto y Weierstrass .  (Leído 659 veces)
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Francois
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« : 11/02/2017, 00:52:33 »

Buenas que tal a todos.

Quisiera por favor me expliquen como puedo resolver este problema.


Sea la funcion [texx]f:\mathbb{N}\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] definida por :

[texx]f(x)=0 [/texx] , si [texx] x=1 [/texx]  y [texx]f(x)=\dfrac{1}{x-1}[/texx] si [texx]x>1[/texx]

(i) ¿Es correcto afirmar que [texx]f[/texx] alcanza sus valores máximo y mínimo?
(ii) Probar que[texx] f(\mathbb{N})[/texx] es un  conjunto compacto.
(iii) Es aplicable el teorema de Weierstrass para la funcion [texx]f^{-1}:f(\mathbb{N})\rightarrow{\mathbb{N}}[/texx]



Solución:
Tengo solo esto  avanzado
(ii)  [texx] f(\mathbb{N})[/texx] Es cerrado y Acotado.

-[texx]f(\mathbb{N})=\left\{{0,1,1/2,1/3,...}\right\}[/texx] Como es un conjunto discreto es Cerrado.
- [texx]f(x)\leq{1}[/texx] para todo[texx] x\in{\mathbb{N}}[/texx] Luego es acotado.

Por tanto es compacto.
Es correcto?

para (i) y (iii) no se como hacerlo.
Podrían darme una ayuda?

Saludos!
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 11/02/2017, 06:39:30 »

Sea la funcion [texx]f:\mathbb{N}\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] definida por : [texx]f(x)=0 [/texx] , si [texx] x=1 [/texx]  y [texx]f(x)=\dfrac{1}{x-1}[/texx] si [texx]x>1[/texx]  (i) ¿Es correcto afirmar que [texx]f[/texx] alcanza sus valores máximo y mínimo?

Sí, es correcto. Como bien dices, [texx]f(\mathbb{N})=\{0,1,1/2,\ldots,1/n,\ldots\}[/texx]. El mínimo de éste conjunto es [texx]0=f(1)[/texx] y el máximo, [texx]1=f(2)[/texx] (ambos se alcanzan).

(iii) Es aplicable el teorema de Weierstrass para la funcion [texx]f^{-1}:f(\mathbb{N})\rightarrow{\mathbb{N}}[/texx]

No es aplicable. Si bien [texx]f(\mathbb{N})[/texx] es compacto (cerrado y acotado en [texx]\mathbb{R}[/texx]), la función [texx]f^{-1}[/texx] no es continua: [texx]\{1/n\}\to 0[/texx] y sin embargo [texx]\left\{{f^{-1}(1/n)}\right\}\to +\infty\ne 1=f^{-1}(0)[/texx].
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