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Autor Tema: Iteración de punto fijo  (Leído 1175 veces)
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pepiso
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« : 29/01/2017, 08:41:06 am »

Hola, debo usar el procedimiento de iteración de punto fijo para encontrar una aproximación a [texx]sqrt(3)[/texx]. Sin embargo no encuentro una iteración de punto fijo que converja a la solución, ¿alguna idea?

Un saludo.
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borjag
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« Respuesta #1 : 29/01/2017, 11:10:22 am »

Considera la función [texx] f(x)=\displaystyle\frac{x^2-3}{10} [/texx], (el 10 es arbitrario, necesitaba un número "suficientemente grande" y lo tomé sin pensar)
[texx]g(x)=x-f(x)[/texx]  ;  [texx]g'(x) = 1-\displaystyle\frac{2x}{10} [/texx]
Tenemos que  [texx]|g'(x)| < 1  \forall{x\in{}(0,10)}   [/texx] fijado [texx]x_0[/texx] en el intervalo,sabemos [texx](g\circ{}g\circ{}.....^{n)}\circ{}g)(x_0)[/texx] converge a [texx]\pm{\sqrt{3}}[/texx]
Haciendo pruebas en excel sale que es la positiva.
Puedes razonarlo fácilmente viendo que la sucesión es creciente (no para todo el intervalo, pero al menos en una parte), esto lo haces viendo el signo de [texx]g(x)-x = -f(x)[/texx] y escoges un subintervalo en que sea positiva
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #2 : 29/01/2017, 12:24:40 pm »

Aunque no es exactamente lo que buscas:

[texx]\sqrt{3} = 1+x [/texx] elevo al cuadrado [texx] 3 = 1 + x^2 + 2 \cdot x [/texx] resto uno y queda [texx] 2 = x \cdot (x+2) [/texx] entonces:

[texx] x = \dfrac{2}{x+2} [/texx] uso la función de iteración  [texx] g(x) = \dfrac{2}{x+2} [/texx] donde [texx] x_0 \in (\sqrt{2} - 2, +\infty) [/texx] que te converge a [texx] \sqrt{3} - 1 [/texx]

Al resultado final sólo hay que sumar uno.

Para [texx] x_0 = 1 [/texx] tenemos:         

[texx] x_1 =    0.6666667   [/texx]

[texx] x_2  =   0.75        [/texx]       

[texx] x_3  =    0.7272727  [/texx]

[texx] x_4  =   0.7333333   [/texx]

[texx] x_5  =   0.7317073   [/texx]

[texx] x_6  =   0.7321429   [/texx]

[texx] x_7  =    0.7320261  [/texx]

[texx] x_8  =    0.7320574  [/texx]

[texx] x_9  =    0.7320490  [/texx]

[texx] x_10 =    0.7320513  [/texx]

Nos queda [texx] (1 + x_10)^2 = 3.000001706 [/texx]
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