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Autor Tema: Sucesión  (Leído 1953 veces)
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Francois
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« : 23/01/2017, 05:23:38 pm »

Hola que tal a todos.
Estoy revisando tema sucesiones.
Espero puedan ayudarme.

Si [texx]0<b\leq{a}[/texx] y si [texx]x_{n}=(a^{n}+b^{n})^{\displaystyle\frac{1}{n}}[/texx].
Pruebe que [texx] \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_{n}}=a [/texx]

Saludos!
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« Respuesta #1 : 23/01/2017, 06:00:45 pm »

Dos cosas.
1.- El límite es cuando [texx]n\rightarrow{+\infty}[/texx] y no [texx]x[/texx]
2.- Estoy un poco oxidado, pero intentaría demostrar que [texx]a^n +b^n[/texx] tienden a [texx]a^n[/texx], y como luego se aplica la raíz enésima, ya tendríamos [texx]a[/texx]
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Fernando Revilla
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« Respuesta #2 : 23/01/2017, 06:17:33 pm »

Si [texx]0<b\leq{a}[/texx] y si [texx]x_{n}=(a^{n}+b^{n})^{\displaystyle\frac{1}{n}}[/texx].
Pruebe que [texx] \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x_{n}}=a [/texx]

Escribe

          [texx]x_{n}=(a^{n}+b^{n})^{\displaystyle\frac{1}{n}}=\left(a^{n}\left(1+\dfrac{b^n}{a^n}\right)\right)^{\displaystyle\frac{1}{n}}=a\left(1+\dfrac{b^n}{a^n}\right)^{\dfrac{1}{n}}.[/texx]
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Francois
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« Respuesta #3 : 23/01/2017, 06:42:31 pm »

 Muchas gracias.

 El limite puede ingresar a  [texx](\displaystyle\frac{b}{a})^{n} [/texx] lo cual es cero porque es menor a 1 .

Es cierto esto? O debo usar logaritmo?
Saludos.
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EnRlquE
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« Respuesta #4 : 23/01/2017, 07:11:01 pm »

Hola Francois.

 El límite no puede ingresar directamente a [texx]b^{n}/a^{n}[/texx] porque el exponente de [texx](1+b^{n}/a^{n})[/texx] depende de [texx]n.[/texx] Una forma de concluir es observar que como [texx]0<\frac{b}{a}\leq1,[/texx] entonces [texx]0<\frac{b^{n}}{a^{n}}\leq1[/texx] y en consecuencia

[texx]\displaystyle 1^{1/n}<\Big(1+\frac{b^{n}}{a^{n}}\Big)^{1/n}\leq (1+1)^{1/n}.[/texx]

 De esto se deduce que [texx]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{b^{n}}{a^{n}}\Big)^{1/n}=1.[/texx] Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #5 : 23/01/2017, 08:28:49 pm »

Otra forma,
          [texx]b<a\Rightarrow \displaystyle\lim _{n\to +\infty}x_{n}=\displaystyle\lim _{n\to +\infty}a\left(1+\dfrac{b^n}{a^n}\right)^{1/n}=a(1+0)^0=a,[/texx]
           
          [texx]b=a\Rightarrow \displaystyle\lim _{n\to +\infty} x_{n}=\displaystyle\lim _{n\to +\infty}a\left(1+1\right)^{1/n}=a2^0=a.[/texx]
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