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Autor Tema: La magia del 9  (Leído 923 veces)
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javistopi
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« : 18/01/2017, 09:03:02 am »

Partimos de un número que tenga tantos dígitos como queramos.
Construimos otro con las mismas cifras pero en distinto orden.
Restamos el menor del mayor.
El resultado lo reducimos a una sola cifra.
Esa cifra siempre será el 9!!!!!!

Ejemplo:

731586
Creamos otro con esas cifras en otro orden: 851367.
Restamos: 851367 - 731586 = 119781
reducimos: 1+1+9+7+8+1=27,  reducimos otra vez: 2+7=9

¿Por qué pasa eso?
¿Es alguna propiedad matemática?
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« Respuesta #1 : 18/01/2017, 09:07:42 am »

Hola, bienvenido.

Vamos a tomar primero números pequeños:

Si tomamos 10, es [texx]9+1[/texx], si tomamos 11, es [texx]9+2...[/texx] si tomamos 19 es otra vez [texx](2\cdot9)+1
 [/texx], es decir, el segundo número da la tabla del nueve más 1, y así va a seguir, repitiéndose cada múltiplo de 9.

Si 10 es 9+1, quiere decir que si sumamos las cifras de 10, [texx]1+0=1[/texx], nos da lo que le estamos sumando a 9

Igualmente con 11, que es [texx]9+2[/texx], al sumar [texx]1+1[/texx] nos da lo que le estamos sumando a 9.

Esto seguirá así puesto que detrás del 11, viene el 12, luego el 13.. las segundas cifras van seguidas, entonces, como vamos sumando consecutivamente 1,2,3 tenemos que se corresponde, lógicamente, con [texx]1+0[/texx], [texx]1+1[/texx], [texx]1+2[/texx], cuya suma también va dando los números seguidos.

Extendiendo este razonamiento a números de más cifras, deducirás que la suma de las cifras de un números es lo que le sobra a ese número para ser uno de la tabla de nueve; por ejemplo:

[texx]25=5+2=7[/texx].

¿Qué pasa si a 25 le quitamos 7? Pues que nos da 18 que es [texx]2\cdot 9[/texx].

Funciona por lo que se ha visto, el 9 es el símbolo que representa al número más grade de la base 10, que tiene estos símbolos, dígitos o cifras, como quieras decir: [texx]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9[/texx]

El primero siguiente es 10, el segundo siguiente 11... claro, al ir sumando las cifras se corresponde con el primer siguiente, con el segundo; y es la distancia a la que va a estar de 9 el número o de un múltiplo de 9.

Saludos.
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javistopi
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« Respuesta #2 : 18/01/2017, 09:15:43 am »

Muchas gracias por la erudita respuesta. Peazo explicación!!!!!
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« Respuesta #3 : 18/01/2017, 09:17:03 am »

Muchas gracias por la erudita respuesta. Peazo explicación!!!!!

De nada, a ti :sonrisa:

Piensa demás una cosa. Nosotros trabajamos en base 10, con esos 10 símbolos, pero es sólo una de las bases posibles; imagina que sólo tomamos estos cuatro símbolos; 0,1,2,3; entonces los números los formaríamos así

0,1,2,3,10,11...

Y ese 10 sería el 4, sería base cuatro, el 11 sería el cinco... Y pasaría lo mismo, no es porque sea 9, es porque es el penúltimo símbolo de la base, el que va detrás del que definimos con uno y cero, 10; que puede ser diez u otro número, ya trabajes en el sistema decimal o no.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 16/02/2017, 07:18:41 pm »

Hola.
Partimos de un número que tenga tantos dígitos como queramos.
Construimos otro con las mismas cifras pero en distinto orden.
Restamos el menor del mayor.
El resultado lo reducimos a una sola cifra.
Esa cifra siempre será el 9!!!!!!

Ejemplo:

731586
Creamos otro con esas cifras en otro orden: 851367.
Restamos: 851367 - 731586 = 119781
reducimos: 1+1+9+7+8+1=27,  reducimos otra vez: 2+7=9

¿Por qué pasa eso?
¿Es alguna propiedad matemática?

Basta demostrar que la resta de dos números formados por los mismos dígitos en distinto orden es múltiplo de 9.( ya que los múltiplos de 9 tienen la propiedad que la suma de sus cifras también es múltiplo de 9.

Sea el número de n+1 dígitos: [texx]N_1=\overline{a_na_{n-1}\ldots a_1 a_0}[/texx].  Puesto en forma de potencias de 10, [texx]N_1=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}a_i10^i[/texx]

Sea otra ordenación cualquiera de dígitos ( por ejemplo) [texx]N_2=\overline{a_3 a_{j+2}\ldots a_0 a_n}[/texx]  ,  [texx]N_2=a_310^n+ a_{j+2}10^{n-1}+\ldots + a_010 +  a_n[/texx]

Entonces , si suponemos sin perdida de generalidad que [texx]N_1>N_2[/texx]

[texx]N_1 -N_2=a_n10^n+ a_{n-1}10^{n-1}+\ldots + a_110 +  a_0-(a_310^n+ a_{j+2}10^{n-1}+\ldots + a_010 +  a_n)[/texx]

Agrupando los coeficientes , es decir sacando factor común los [texx]a_j[/texx], y restando cada término asociado a [texx]a_j[/texx]

Se pueden dar 2 casos:

a) Que el digito [texx]a_j [/texx] permanezca en su posición inicial ( guarde el orden) entonces la resta de la potencia de orden j será cero, [texx]a_j(10^j-10^j)=0 [/texx]

b) que el digito [texx]a_j[/texx] cambie de posición y ocupe la posición "k".

   -Si [texx] k<j [/texx], entonces:  [texx]a_j10^j-a_j10^k=a_j10^k(10^{j-k}-1)=9\cdot{} a_j10^k\left({\displaystyle\sum_{i=0}^{j-k-1}{}10^{i}}\right)=9\cdot{}m_j \text{ ,  con  } m_j=a_j10^k\left({\displaystyle\sum_{i=0}^{j-k-1}{}10^{i}}\right)\in{}\mathbb{N}
[/texx]


   -Si [texx] k>j [/texx] , entonces:  [texx]a_j10^j-a_j10^k=a_j10^j(1-10^{k-j})=-9\cdot{} a_j10^j\left({\displaystyle\sum_{i=0}^{k-j-1}{}10^{i}}\right)=-9\cdot{}m_j \text{ ,  con  }m_j=a_j10^j\left({\displaystyle\sum_{i=0}^{k-j-1}{}10^{i}}\right)\in{}\mathbb{N}[/texx]

En ambos casos cada término de la suma es múltiplo de 9 y por ello [texx]N_1-N_2[/texx] también lo es.

Saludos.

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« Respuesta #5 : 17/02/2017, 04:52:20 am »

No sabía que había chinos en el foro.  :sonrisa_amplia:  :cara_de_queso:
Muchas gracias pero ya te digo, para mí como si fuera chino.
Pedazo de desarrollo!!!!!!!!!!
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« Respuesta #6 : 17/02/2017, 06:31:15 am »

No sabía que había chinos en el foro.  :sonrisa_amplia:  :cara_de_queso:
Muchas gracias pero ya te digo, para mí como si fuera chino.
Pedazo de desarrollo!!!!!!!!!!

jajaja...

Bueno con un ejemplo se ve mejor :

[texx]N_1=43512=4\cdot{}10^4+3\cdot{}10^3+5\cdot{}10^2+1\cdot{}10^1+2\cdot{}10^0=40000+3000+500+10+2[/texx]

[texx]N_2=12345=1\cdot{}10^4+2\cdot{}10^3+3\cdot{}10^2+4\cdot{}10^1+5\cdot{}10^0=10000+2000+300+40+5 [/texx]
.......

[texx]N_1-N_2=4\cdot{}(10^4-10^1)+3\cdot{}(10^3-10^2)+5\cdot{}(10^2-10^0)+1\cdot{}(10^1-10^4)+2\cdot{}(10^0-10^3)[/texx]

[texx]N_1-N_2=4\cdot{}10^1(10^3-1)+3\cdot{}10^2(10^1-1)+5\cdot{}(10^2-1)+1\cdot{}10^1(1-10^3)+2\cdot{}(1-10^3)[/texx]

[texx]N_1-N_2=4\cdot{}10^1(999)+3\cdot{}10^2(9)+5\cdot{}(99)+1\cdot{}10^1(-999)+2\cdot{}(-999)[/texx]


[texx]N_1-N_2=9\cdot{}4\cdot{}10^1(111)+9\cdot{}3\cdot{}10^2+9\cdot{}5\cdot{}(11)-9\cdot{}1\cdot{}10^1(111)-9\cdot{}2\cdot{}(111)=9\cdot{}(4\cdot{}10\cdot{111}+3\cdot{}100+5\cdot{}11-10\cdot{111}-2\cdot{111})=9\cdot{}3463[/texx]

Que es múltiplo de nueve.

O de otra forma:

[texx]N_1-N_2=40000+3000+500+10+2-(10000+2000+300+40+5)=(40000-40)+(3000-300)+(500-5)+ (10-10000)+(2-2000)=\\ 39960+2700+495-9990-1998=9\cdot{}4440+9\cdot{}300+9\cdot{}55-9\cdot{}1110-9\cdot{}222=9\cdot{}3463[/texx]

Lo que te he escrito antes en chino, es demostrar que la resta de dos números con iguales dígitos en cualquier orden es múltiplo de 9 y por ello la suma de sus cifras también.

Saludos.


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