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Autor Tema: Criptografía-I Un Ejemplo de Cifrado y Descifrado Criptográfico.  (Leído 2791 veces)
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Víctor Luis
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« : 14/01/2017, 06:34:20 am »

Buenos Días...


• He leído un poco, no tanto como quisiera, sobre Criptografía, su historia y el proceso evolutivo de esta ciencia; pero antes de continuar mis lecturas, quisiera que me ayuden a comprender esto con un simple ejemplo, ya que los ejemplos de las literaturas que bajé, no me son del todo claras.

○ Por ejemplo, si quisiera cifrar y enviar el mensaje:

Foro Matemático


• ¿Cómo se procedería a hacer esto?




Gracias... y Saludos Cordiales...
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« Respuesta #1 : 14/01/2017, 06:42:35 am »

Hay millones de algoritmos.
Si puedes mira la pelicula "DESCIFRANDO ENIGMA" que es un biopic de Turing en la época en la que se descifró Enigma.
El título es en español de España.
El original con actores y de todo lo tienes en este link.

http://m.imdb.com/title/tt2084970/

Una de las formas más comunes, sobre todo entre niños, es cambiar una letra por la siguiente o por [texx]letra+k[/texx], siendo k cualquier natural no muy alto y cuando llegamos a la z volvemos a la a.
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« Respuesta #2 : 14/01/2017, 06:44:05 am »

Por cierto, hay encriptaciones no matemáticas.
Hay una basada en el pelo y otra en un palo....
Ahí lo dejo.
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Víctor Luis
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« Respuesta #3 : 14/01/2017, 08:32:00 am »

Buenas SuGata...


• Lo que comprendí de mi lectura en Criptografía, es que se toman dos primos [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] para conformar un compuesto [texx]n=p\cdot{}q[/texx] y con [texx]n[/texx] se va cifrando o encriptando el mensaje... y eso es lo que no comprendo en sí, aplicar la función matemática que se indica, que estimo con un modulo se encripta letra por letra, por eso solicitaba un ejemplo de eso, para yo poder hacer mis preguntas y comprender el proceso.

◘ El objetivo es ver las opciones metodológicas que se disponen, para aplicar en lo que se denominaría como "Criptografía Estructural" la cual estimo puede tener mayor capacidad de cifrado de texto, tratando no solo letra a letra, sino letras y palabras ordenados por párrafos, todo encriptado en un solo número.



Saludos...
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« Respuesta #4 : 14/01/2017, 06:02:54 pm »

Hola

 Mira este documento, en particular la página 15 y sucesivas:

https://www.uam.es/departamentos/ciencias/matematicas/premioUAM/premiados3/simulacion_criptografia.pdf

Saludos.
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« Respuesta #5 : 15/01/2017, 12:42:15 am »

Muchas Gracias Amigo El_Manco...


• Le di ya una ojeadita, donde veo que tengo que repasar el teorema de Euclides y el de Resto de Chino... aunque no sé si es eso lo que necesito saber...

○ Lo que hacen es conformar [texx]n[/texx] como producto de dos primos [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] donde [texx]n[/texx] es la base lineal-numérica para cifrar el mensaje, es decir, fraccionarlo con un modulo para el cifrado letra a letra, siendo que para cada letra se necesita una fraccion de 4-5 digitos, ó algo así, para un mensaje un tanto largo, se necesita no mas un [texx]n[/texx] grande.

○ En mi idea, lo que intento, es buscar un modalidad para cifrar mucha mayor cantidad de información en un natural que no sea muy grande, sino proporcional a la magnitud del texto, para lo cual, no se puede tomar cualquier natural, como se hace con [texx]n[/texx] sino que hay naturales con estructura numérica tan amplia, que no es solo lineal ó unidimensional como este número: 10010111  sino, que es bidimensional, donde por ejemplo de cada "1" tenemos una extensión numérica lineal, que nos permite cifrar mayor cantidad de texto, antes de pasar al siguiente "1" y con los "0" se complementarían estos hasta llegar a otro "1"... no sé si me di a entender.

○ Es necesario el manejo y/o conversión de decimal a hexadecimal y viceversa? Aún no lo leí bien y completo... pero, qué otras formas se aplican en el proceso del cifrado mismo?




Saludos Cordiales.... y Muchas Gracias...
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« Respuesta #6 : 15/01/2017, 05:05:41 am »

Hola

• Le di ya una ojeadita, donde veo que tengo que repasar el teorema de Euclides y el de Resto de Chino... aunque no sé si es eso lo que necesito saber...

○ Lo que hacen es conformar [texx]n[/texx] como producto de dos primos [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] donde [texx]n[/texx] es la base lineal-numérica para cifrar el mensaje, es decir, fraccionarlo con un modulo para el cifrado letra a letra, siendo que para cada letra se necesita una fraccion de 4-5 digitos, ó algo así, para un mensaje un tanto largo, se necesita no mas un [texx]n[/texx] grande.

○ En mi idea, lo que intento, es buscar un modalidad para cifrar mucha mayor cantidad de información en un natural que no sea muy grande, sino proporcional a la magnitud del texto, para lo cual, no se puede tomar cualquier natural, como se hace con [texx]n[/texx] sino que hay naturales con estructura numérica tan amplia, que no es solo lineal ó unidimensional como este número: 10010111  sino, que es bidimensional, donde por ejemplo de cada "1" tenemos una extensión numérica lineal, que nos permite cifrar mayor cantidad de texto, antes de pasar al siguiente "1" y con los "0" se complementarían estos hasta llegar a otro "1"... no sé si me di a entender.

 El que vaya letra a letra o no es indiferente a la hora de explicar como funciona la encriptación RSA. Tu piensa que lo que encripta es un número. El número puede representar una letra, o parte de un archivo imagen, o de texto que a su vez podría estar comprimido, compactado o encapsualdo de otra forma.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 16/01/2017, 06:59:06 am »

Buenos Días...


► Siendo las claves públicas [texx]\{41,247\}[/texx] se envía el cifrado [texx]t=67[/texx] ... Cuál es el mensaje [texx]m[/texx] descifrado? ó la letra que corresponde en ASCII ?




Saludos...
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« Respuesta #8 : 16/01/2017, 07:18:10 am »

Hola

► Siendo las claves públicas [texx]\{41,247\}[/texx] se envía el cifrado [texx]t=67[/texx] ... Cuál es el mensaje [texx]m[/texx] descifrado? ó la letra que corresponde en ASCII ?

Tenemos: [texx]247=13\cdot 19[/texx].

Por tanto [texx]\varphi(247)=(13-1)(19-1)=216[/texx]

El inverso de [texx]41[/texx] mod [texx]216[/texx], es decir, la solución de [texx]41x=1[/texx] mod [texx]216[/texx] es [texx]137[/texx].

Finalmente:

[texx]67^{137}[/texx] mod [texx]247=71[/texx]

Así que el mensaje era [texx]71[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #9 : 16/01/2017, 07:25:43 am »

Muy Buenos Días El_Manco...


► EXCELENTE y EXACTO...!!!!   El mensaje era "71"

• Es decir, que para calcular [texx]d=137[/texx] antes determinamos [texx]216[/texx] con la función de Euler y para esto, necesitamos saber los divisores [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx]

→ Existe otra forma de determinar [texx]d[/texx] conociendo los divisores [texx]\{p,q\}[/texx] ó quizas sin estos?




Saludos Cordiales....
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« Respuesta #10 : 16/01/2017, 07:33:39 am »

Hola

→ Existe otra forma de determinar [texx]d[/texx] conociendo los divisores [texx]\{p,q\}[/texx] ó quizas sin estos?

No lo sé. No sé si existen otras formas esencialmente distintas (digo esencialmente, distintas en la medida que seguro que hay varias formas de hacer las operaciones, aunque en el fondo se termine haciendo lo mismo).

Desde luego no debería de existir otra forma sin calcular [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] que sea más rápida o más ligera que calculándolo, porque se supone que la fortaleza de esta encriptación está en la dificultad de factorizar.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 16/01/2017, 07:42:16 am »

Buenos Días El_Manco...


• Una consulta mas... Existe una metodología ó cómo se haría para cifrar varios mensajes [texx]m[/texx] con las claves públicas [texx](e,d)[/texx] donde [texx]d[/texx] es pública como también es [texx]n[/texx] pero este no es producto de primos [texx]p[/texx] ni [texx]q[/texx] tan solo un natural impar del Conjunto FV.



Saludos...
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« Respuesta #12 : 16/01/2017, 07:57:00 am »

Hola

• Una consulta mas... Existe una metodología ó cómo se haría para cifrar varios mensajes [texx]m[/texx] con las claves públicas [texx](e,d)[/texx] donde [texx]d[/texx] es pública como también es [texx]n[/texx] pero este no es producto de primos [texx]p[/texx] ni [texx]q[/texx] tan solo un natural impar del Conjunto FV.

Te estoy contestando a vuelapluma sin analizarlo con calma. En principio vadría igual aunque [texx]n[/texx] fuese un producto de más primos (no sólo de dos). Pero así lo que haces es debilitar el método. Ya que si [texx]n[/texx] tiene divisores primos más pequeños, se factoriza más fácilmente.

Saludos.
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« Respuesta #13 : 16/01/2017, 08:18:50 am »

Buenas El_Manco...


• En realidad no interesa si se factoriza [texx]n[/texx] ya que en este van los textos [texx]m[/texx] osea no se envían cifrados [texx]t[/texx] como indica el documento en PDF que me sugeriste.
→ Mi idea es recorrer la estructura de [texx]n[/texx] y cifrar un mensaje con la valoración de cada ladrillo estructural, donde de seguro, cada valoración no será compatible con las claves [texx](e,d)[/texx] que se emplean en criptografía, mas servirán para tomar las valoraciones que se ajusten al encriptado de cada letra del mensaje, ya que disponemos de muchísimas valoraciones dentro de la estructura.


◘ Una consulta mas por favor... Cuál es la complejidad de factorizar un ([texx]Mn[/texx]) número de Mersenne compuesto ?
 Por ejemplo [texx]2^{463}-1[/texx] el cual tiene 140 digitos.




Saludos Cordiales...
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« Respuesta #14 : 17/01/2017, 10:05:37 am »

Buenas Tardes El_Manco...


• Los [texx]Mn[/texx] Números de Mersenne compuestos, no siempre tienen dos divisores primos, es decir, no todos son "semiprimos" pero tienen la caracteristica de poder determinar muy fácilmente su ciclo-estructural, permitiéndonos factorizarlo, ya sea buscando el punto de factorización y aplicar Fermat para determinar sus divisores, ó aplicar Fermat desde su raíz cuadrada, donde al iterar la raiz, no evaluamos todos, sino seleccionamos cuáles con el ciclo, como también iterar el ciclo desde la media de la raiz, que nos dará uno de los divisores primos, donde los seleccionados son los que son naturales impares, que pertenezcan al Conjunto FV, sean primos y por último dividan al [texx]Mn[/texx] compuesto.
→ Con estas alternativas, es relativamente fácil factorizar los [texx]Mn[/texx] compuestos hasta [texx]2^{97}-1[/texx] quedándome en [texx]2^{101}-1[/texx] que es semiprimo y divisores un tanto grandes, donde la iteración es mucha y espero buscar un modo de selección de candidatos a ser divisores.

○ Por eso preguntaba, si se tiene el grado de complejidad en factorizar este tipo de compuestos.

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« Respuesta #15 : 18/01/2017, 03:23:47 am »

Buenos Días...


Código:
Clave Pública: [143, x]

Clave Privada: [a , b]

Mensaje Cifrado: { 43,49,51,4D,1C,45,3C,4A,3C,46,3E,4E,48,41,4B }

[texx]x[/texx] es opcional, para indicar el divisor a emplear.

Con [texx]a[/texx] desciframos el mensaje, de acuerdo al tipo de estructura.

[texx]b[/texx] es opcional, por si queremos complicar el descifrado.

El [texx]Mensaje \ Cifrado[/texx] está en hexadecimal, debiendo convertirlo a decimal y con estos valores decodificamos y/o restauramos el texto del mensaje.


► Cuál es el mensaje ?




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« Respuesta #16 : 18/01/2017, 06:21:19 am »

Buenas El_Manco...


• En realidad no interesa si se factoriza [texx]n[/texx] ya que en este van los textos [texx]m[/texx] osea no se envían cifrados [texx]t[/texx] como indica el documento en PDF que me sugeriste.
→ Mi idea es recorrer la estructura de [texx]n[/texx] y cifrar un mensaje con la valoración de cada ladrillo estructural, donde de seguro, cada valoración no será compatible con las claves [texx](e,d)[/texx] que se emplean en criptografía, mas servirán para tomar las valoraciones que se ajusten al encriptado de cada letra del mensaje, ya que disponemos de muchísimas valoraciones dentro de la estructura.


◘ Una consulta mas por favor... Cuál es la complejidad de factorizar un ([texx]Mn[/texx]) número de Mersenne compuesto ?
 Por ejemplo [texx]2^{463}-1[/texx] el cual tiene 140 digitos.




Saludos Cordiales...
Hola

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Clave Pública: [143, x]

Clave Privada: [a , b]

Mensaje Cifrado: { 43,49,51,4D,1C,45,3C,4A,3C,46,3E,4E,48,41,4B }

[texx]x[/texx] es opcional, para indicar el divisor a emplear.

Con [texx]a[/texx] desciframos el mensaje, de acuerdo al tipo de estructura.

[texx]b[/texx] es opcional, por si queremos complicar el descifrado.

El [texx]Mensaje \ Cifrado[/texx] está en hexadecimal, debiendo convertirlo a decimal y con estos valores decodificamos y/o restauramos el texto del mensaje.


► Cuál es el mensaje ?

No entiendo nada. ¿Qué tipo de codificación estás usando? ¿La misma que usamos en el ejemplo anterior? Entonces falta que des [texx]x[/texx]. ¿Otro tipo de codificación diferente? No entiendo que pretendes ilustrar con ese ejemplo. No sé a que viene.

◘ Una consulta mas por favor... Cuál es la complejidad de factorizar un ([texx]Mn[/texx]) número de Mersenne compuesto ?
 Por ejemplo [texx]2^{463}-1[/texx] el cual tiene 140 digitos.

 Efectivamente factorizar un número "tipo" Mersenne es más fácil, igual que es más fácil analizar su primalidad. Ahora bien no sé si se ha determinado una cota que mida la complejidad esperada para tal factorización.

Saludos.
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« Respuesta #17 : 19/01/2017, 07:21:21 am »

Buenos Días El_Manco...



Cita de: El_Manco
No entiendo nada. ¿Qué tipo de codificación estás usando? ¿La misma que usamos en el ejemplo anterior? Entonces falta que des [texx]x[/texx].


► Estos serían los datos:

Código:
Clave Pública: {143, 2}

Texto Cifrado: [43,49,51,4D,1C,45,3C,4A,3C,46,3E,4E,48,41,4B]


○ Disculpa, pero en realidad no es la misma metodología de la criptografía que se explica en el documento PDF; pero aplico casi las mismas herramientas lógicas.

PASOS.


• Siendo [texx]n=143[/texx] el natural compuesto, procedemos a factorizarlo, determinando sus divisores primos [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx]

• Convertimos el mensaje cifrado de hexadecimal a decimal.

• Recorremos la estructura numérica de [texx]n[/texx] con [texx]x=2[/texx] y desde el punto funcional de la estructura, decodificamos y/o conformamos el mensaje con el divisor [texx]p[/texx] convirtiendo cada resultado a letras según el codigo ASCI y lo concatenamos para mostrar todo el mensaje.


OBSERVACIONES.


◘ Sin la factorización de [texx]n[/texx] no podemos a desencriptar el mensaje, que es lo mismo lo que se aplica en RSA... verdad?

◘ En lugar de tener [texx]e[/texx] y [texx]d[/texx] que son soluciones modulares, para el cifrado RSA, aplicables a cada letra encriptada, para obtener el valor real de estas en el codigo ASCI, en este caso, la obtención de ese valor real, se lo realiza con los divisores primos, que si no se indica cuál, será [texx]p[/texx] que es el menor de los divisores.



VENTAJAS DE LA METODOLOGÍA.


• En el cifrado RSA, se emplean [texx]e[/texx] como clave pública y [texx]d[/texx] como clave privada, las cuales son constantes y esto está bien; pero funcionan como constantes... me explico, si el mensaje a cifrar es: "OTROS TOROS"  esto se podría llegar a deducir, ya que ambas palabras terminan en "..ROS" como también las dos letras iniciales de cada palabra se dan invertidos: "OT...." y "TO...".
→ Se puede deducir, porque el cifrado para «cada letra» es el mismo, es decir, en las letras "O" tendremos el mismo valor convertido a hexadecimal ó a otra base, que será el mismo, algo que en mi metodología no se dá, siendo que las "O" cifradas tendrán diferentes valores, que son, casi con absoluta certeza, imposibles de deducir, como sucede con el sistema RSA... claro que esto, sin agregar algo en la clave privada, que como es secreto, complique mas el descifrado del mensaje.




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« Respuesta #18 : 19/01/2017, 08:03:05 am »

Hola

• En el cifrado RSA, se emplean [texx]e[/texx] como clave pública y [texx]d[/texx] como clave privada, las cuales son constantes y esto está bien; pero funcionan como constantes... me explico, si el mensaje a cifrar es: "OTROS TOROS"  esto se podría llegar a deducir, ya que ambas palabras terminan en "..ROS" como también las dos letras iniciales de cada palabra se dan invertidos: "OT...." y "TO...".
→ Se puede deducir, porque el cifrado para «cada letra» es el mismo, es decir, en las letras "O" tendremos el mismo valor convertido a hexadecimal ó a otra base, que será el mismo, algo que en mi metodología no se dá, siendo que las "O" cifradas tendrán diferentes valores, que son, casi con absoluta certeza, imposibles de deducir, como sucede con el sistema RSA... claro que esto, sin agregar algo en la clave privada, que como es secreto, complique mas el descifrado del mensaje.

Sinceramente yo no tengo conocimientos sobre criptografía para saber exactamente como se aplica el cifrado de RSA. Ahora ólvidate de que se esté aplicando letra a letra para textos (en ese caso hay métodos estadísticos basados en las veces que se repite cada letra que descifrarían fácilmente un mensaje suficientemente largo). El cifrado de RSA lo que codifica son números, que podrán representar cualquier cosa y normalmente lo harán de manera codificada: un texto comprimido, una imagen comprimida con los mil y un sistemas que hay, un documento de tipo X el que sea...¡yo qué sé!.

Lo que se explica en los textos divulgativos sobre el cifrado RSA es la idea esencial. Por ejemplo el documento que te enlace está hecho por y para estudiantes de Secundaria.A la hora de aplicarlo en la práctica habría que buscar documentos específicos, mucho más técnicos donde se explique exactamente como se hace. Yo no tengo tiempo ahora de profundizar en esto. Intenta buscar en google y preferiblemente en inglés.

Saludos.
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« Respuesta #19 : 19/01/2017, 08:47:26 am »

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• Lo comprendo y Muchas Gracias...  Estimo que en Criptografía, también se trata la Factorización, donde Fermat nos dice [texx]x^{2}-y^{2}[/texx] partiendo de un probable:

[texx]x=\sqrt[ ]{n}[/texx]

Del cual calculamos:

[texx]y=\sqrt[ ]{x^{2}-n}[/texx]

que de ser una raiz entera, habríamos llegado a la factorización de [texx]n[/texx] siendo sus divisores:

[texx]p=x-y[/texx]

[texx]q=x+y[/texx]


• Cuando [texx]x[/texx] no da [texx]y[/texx] como raiz entera, se procede a iterar [texx]x=x+1[/texx] volviendo a evaluar la conformación de [texx]y[/texx] y así hasta que se cumpla y se llegue a la factorización.
→ SqrMatrix había explicado que hay forma y/o formas de simplificar el proceso de iteración de [texx]x[/texx] para no realizar muchas evaluaciones,... pregunto sobre esto, porque tengo otra manera de iterar que sería [texx]x=x+c[/texx] donde [texx]c[/texx] es una proporción constante que nos lo determina el ciclo-estructural; pero con compuestos grandes y divisores muy distintos en tamaño, que hace se alejen de la raiz cuadrada, Fermat es muy complejo y mi selección no es suficiente, por lo que, si es que se puede, en la medida de tú tiempo, saber sobre esas formas para ver si en esto también tiene su intervención las proporciones del ciclo.... algo em dice que así es.




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