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Autor Tema: Triple summation  (Leído 487 veces)
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jacks
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« : 11/01/2017, 05:01:33 am »

Find sum of [texx]\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{7^i 7^j 7^k}[/texx].  given [texx]i \neq j \neq k[/texx].
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 11/01/2017, 07:12:18 am »

Hi

Find sum of [texx]\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{7^i 7^j 7^k}[/texx].  given [texx]i \neq j \neq k[/texx].

By inclusion-exclusion principle:

[texx]\displaystyle\sum_{i,j,k=0,\,i\neq j\neq k}^\infty\dfrac{1}{7^i7^j7^k}=\displaystyle\sum_{i,j,k=0}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}-\displaystyle\sum_{i,j,k=0,i=j}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}-\displaystyle\sum_{i,j,k=0,i=k}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}-\displaystyle\sum_{i,j,k=0,k=j}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}+\displaystyle\sum_{i,j,k=0,i=j=k}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}[/texx]

Where:

[texx]\displaystyle\sum_{i,j,k=0}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{}\dfrac{1}{7^i}\right)\left(\displaystyle\sum_{j=0}^\infty{}\dfrac{1}{7^j}\right)\left(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{1}{7^k}\right)=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{}\dfrac{1}{7^i}\right)^3[/texx]

[texx]\displaystyle\sum_{i,j,k=0,i=j}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}=\displaystyle\sum_{i,j,k=0,i=k}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}=\displaystyle\sum_{i,j,k=0,k=j}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}=\displaystyle\sum_{i,j=0}^\infty{}\dfrac{1}{7^i49^j}=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{}\dfrac{1}{7^i}\right)\left(\displaystyle\sum_{j=0}^\infty{}\dfrac{1}{49^j}\right)[/texx]

[texx]\displaystyle\sum_{i,j,k=0,i=j=k}^{\infty}\dfrac{1}{7^i7^j7^k}=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}\dfrac{1}{(7^3)^i}[/texx]

Best regards.
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« Respuesta #2 : 13/01/2017, 08:02:10 am »

Thanks Admin. got it.
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