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Autor Tema: Existencia y unicidad de límites directos  (Leído 553 veces)
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malboro
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« : 31/12/2016, 11:26:12 am »

Hola

En la página 15 la proposición 1.2.1 del libro Profinite Groups, de Luis Ribes, Pavel Zalesskii:



 hay una parte en la prueba que define [texx]\widetilde{x}+\widetilde{y}[/texx] como la clase de [texx]\varphi_{ik}(x)=
\varphi_{jk}(y)[/texx], es facil ver que esta bien definido. ¿Qué quiere decir con que esta bien definido?

Luego también dice que para cada [texx]i\in{I}[/texx] sea [texx]\varphi_i:A_i\longrightarrow{A}[/texx] entonces es un homomorfismo, lo que no consigo es probar que sean compatibles. Espero alguna idea.

Gracias.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 03/01/2017, 07:35:57 am »

Hola

 Antes de nada. Por favor:

- Recuerda poner el título y autores del libro, no sólo un enlace.
- Es deseable que además del enlace incluyas un "pantallazo" del resultado sobre el cuál preguntas. Ya te comenté esto en otro hilo. ¿Sabes cómo hacerlo?.

 Una vez más te lo he corregido yo.

En la página 15 la proposición 1.2.1 del libro Profinite Groups, de Luis Ribes, Pavel Zalesskii:



 hay una parte en la prueba que define [texx]\widetilde{x}+\widetilde{y}[/texx] como la clase de [texx]\varphi_{ik}(x)=
\varphi_{jk}(y)[/texx], es facil ver que esta bien definido. ¿Qué quiere decir con que esta bien definido?

 Dos cosas:

 1) Que no depende del índice [texx]k[/texx] escogido, es decir, que dado otro [texx]k'\succeq i,j[/texx], los elementos [texx]\varphi_{ik}(x)+\varphi_{jk}(y)[/texx] y [texx]\varphi_{ik'}(x)+\varphi_{jk'}(y)[/texx] definen la misma clase. Para ello basta tomar [texx]k''\succeq k,k'[/texx] y ver que coinciden:

[texx]\varphi_{kk''}(\varphi_{ik}(x)+\varphi_{jk}(y))=\ldots=\varphi_{ik''}(x)+\varphi_{jk''}(y)[/texx]

y

[texx]\varphi_{k'k''}(\varphi_{ik'}(x)+\varphi_{jk'}(y))=\ldots=\varphi_{ik''}(x)+\varphi_{jk''}(y)[/texx]

 2) Que no depende del representante. Es decir, si tienes [texx]x\in A_i[/texx] y [texx]x'\in A_{i'}[/texx] que el cociente [texx]A[/texx] representan la misma clase entonces [texx]\widetilde{x}+\widetilde{y}=\widetilde{x'}+\widetilde{y}[/texx], y lo mismo para [texx]y[/texx] (aunque dado que son grupos abelianos, basta probarlo para [texx]x[/texx]).

 Que [texx]x\in A_i[/texx] y [texx]x'\in A_{i'}[/texx] representen la misma clase significa que existe [texx]k\succeq i,i'[/texx] tal que [texx]\varphi_{ik}(x)=\varphi_{i'k}(x')[/texx].
 
 Tomando [texx]k'\succeq k,j[/texx] por la definición de suma que hemos hecho la clase de [texx]\widetilde{x}+\widetilde{y}[/texx] tiene por representante al elemento [texx]\varphi_{ik'}(x)+\varphi_{jk'}(y)[/texx] y la clase de [texx]\widetilde{x'}+\widetilde{y}[/texx] tiene por representante al elemento [texx]\varphi_{i'k'}(x')+\varphi_{jk'}(y)[/texx]

 Pero si [texx]\varphi_{ik}(x)=\varphi_{i'k}(x')[/texx] aplicando [texx]\varphi_{kk'}[/texx] también [texx]\varphi_{ik'}(x)=\varphi_{i'k'}(x')[/texx] y de ahí la igualdad.

Cita
Luego también dice que para cada [texx]i\in{I}[/texx] sea [texx]\varphi_i:A_i\longrightarrow{A}[/texx] entonces es un homomorfismo, lo que no consigo es probar que sean compatibles. Espero alguna idea.

Tienes que probar que dados [texx]i'\succeq i[/texx], se cumple:

[texx]\varphi_{i'}\circ \varphi_{ii'}=\varphi_{i}[/texx]

Equivalentemente que dado [texx]x\in A_i[/texx] define la misma clase que [texx]\varphi_{ii'}(x)\in A_{i'}[/texx]. Pero es inmediato dado que [texx]i'\succeq i',i[/texx] se tiene que:

[texx]\varphi_{i'i'}(\varphi_{ii'}(x))=\varphi_{ii'}(x)[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 03/01/2017, 12:14:10 pm »

Gracias Manco.

No se como hacer eso del pantallazo, supongo que puedo tomar una foto a la pantalla desde la misma computadora y la guardo luego la adjunto al foro.
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« Respuesta #3 : 03/01/2017, 12:43:10 pm »

Hola

No se como hacer eso del pantallazo, supongo que puedo tomar una foto a la pantalla desde la misma computadora y la guardo luego la adjunto al foro.

Mejor que una foto, captura la pantalla directamente con el ordenador. Pulsando en el teclado la tecla Impr Pant se copia al portapapeles. Luego abres cualquier aplicación de dibujo (por ejemplo el Paint que viene con el Windows) que tengas, pegas el contenido del portapapeles, recortas la parte que te interesa y grabas el resultado.

Puedes obtener más información en internet sobre esto buscando por: "captura de pantalla" (en Windows, en Mac, en Linux,... según el sistema operativo que uses).

Saludos.

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« Respuesta #4 : 03/01/2017, 12:50:16 pm »

Ok Manco gracias.
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