19/02/2020, 03:33:58 *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Suman S  (Leído 3230 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Michel
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.013


Ver Perfil
« : 07/12/2016, 12:08:52 »

De todos los triángulos tales que la base y la altura correspondiente suman S, determinar el de área máxima.
En línea

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.146


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 07/12/2016, 17:38:10 »

Hola creo que tengo una respuesta al menos bastante original, que se me acaba de ocurrir. Me la ha inspirado una demostración del teoréma de Pitágoras, gráfica.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.


* pitagoras_y_maximo4.png (6.3 KB - descargado 305 veces.)
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.146


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 08/12/2016, 05:35:32 »

Otra variante basada en la misma idea:
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

* pitagoras_y_maximo5.png (1.24 KB - descargado 216 veces.)
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
Michel
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.013


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 09/12/2016, 12:50:17 »

Hola robinlambada.

No sé si has entendido mal el problema, lo cierto es que yo no entiendo tu solución.

Perdona estas preguntas, posiblemente debidas a un despiste mío:

¿Por qué partes de un triángulo rectángulo?

¿Dónde está el triángulo de área máxima, del que conocemos la suma de base y altura?

Saludos.
En línea

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.146


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 09/12/2016, 13:18:20 »

Hola:
Hola robinlambada.

No sé si has entendido mal el problema, lo cierto es que yo no entiendo tu solución.

Perdona estas preguntas, posiblemente debidas a un despiste mío:

¿Por qué partes de un triángulo rectángulo?
Porque la único relevante del triángulo para el problema es la suma de la base y la altura y su área y no su forma.

Todos los triángulos de igual base y altura sumarán lo mismo [texx]a+b=S[/texx] y tendrán el mismo área, y pedimos los de área máxima por pero estos son indistinguibles respecto a su suma y área, por ello basta tomar un representante de cada clase (la clase compuesta de todos los triángulos de igual base y altura) el representante elegido de cada clase es el rectángulo.


Cita

¿Dónde está el triángulo de área máxima, del que conocemos la suma de base y altura?

Saludos.


En la primera solución parto ( ver dibujo A) de situar los 4 triángulos en escuadra en las 4 esquinas del cuadrado mayor de lado [texx]a+b=S[/texx] fijo, es claro que si fijamos el cuadrado exterior (grande L=a+b=S) , al ir cambiando los triángulos rectángulos de distintos catetos, el cuadrado interior [texx]A=h^2[/texx], su tamaño y área irán variando. y es fácil comprobar que si el área de cualquier triángulo es máxima, también lo será la de los 4 que están en las esquinas, y la del cuadrado inscrito [texx]A=h^2[/texx], será mínima. ( esto es lo que buscamos)

Ahora partimos del dibujo B) hemos elegido los triángulos con [texx]a=b=\displaystyle\frac{S}{2}[/texx], si partiendo de esta situación giramos respecto del centro un ángulo cualquiera el cuadrado inscrito ya dejará de serlo ( dibujo C) , como con  los 4 triángulos  puestos en las esquinas de cualquier representante de las clases de triángulos, estos seguirán siendo siempre inscritos y por tanto cualquier cuadrado inscrito que este girado el mismo ángulo que el que esta en el dibujo c) tendrá mayor área.

P.D.: Creo que lo voy a explicar con más dibujos. De todas formas la segunda solución a mi juicio es más evidente.

Saludos.

AÑADIDO


* pitagoras_y_maximo41.png (6.3 KB - descargado 199 veces.)
* areamax.png (47.29 KB - descargado 226 veces.)
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
Michel
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.013


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 09/12/2016, 13:44:15 »

Hola de nuevo.

Me parece que tú partes de que la base y la altura son iguales, y eso no lo dice el enunciado, sino que tienen una suma constante S.

Creo que habrá que demostrar que, si la suma de base y altura es constante, el área es máxima cuando ambas son iguales.

¿Qué te parece?

Sañudos
En línea

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.146


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 09/12/2016, 15:08:45 »

Hola de nuevo.

Me parece que tú partes de que la base y la altura son iguales, y eso no lo dice el enunciado, sino que tienen una suma constante S.

Creo que habrá que demostrar que, si la suma de base y altura es constante, el área es máxima cuando ambas son iguales.

¿Qué te parece?

Sañudos

Parto de la solución correcto del dibujo B), en que a=b=S/2, pero se ve gráficamente que al girar el hueco ( el cuadrado interior naranja) que debe ser este cuadrado el de área mínima.
La clave que creo que no has visto, y quiero que me respondas es: si ves que para que los 4 triángulos amarillos tengan área máxima el cuadrado naranja la tendrá mínima. ya que la suma es constante e igual a [texx]S^2=(a+b)^2[/texx]

Por reducción al absurdo:

Si partimos de cualquier triángulo  con [texx]a+b=S[/texx] y [texx]a\neq{}b[/texx] (dibujo A) en blanco y negro o dibujos 1º y 2º  añadidos (naranjas y amarillos) en estos 3 dibujos se cumple las hipótesis.

Si en todos ellos tal que  [texx]a\neq{}b[/texx] circunscribimos una circunferencia en ellos, esta circunferencia, no sera inscrita en el cuadrado de lado S., es decir la diagonal de cualquier cuadrado naranja formado como en las figuras, sera mayor que S (el lado del cuadrado exterior) el cuadrado de área mínima será el de menor diagonal obviamente, (manteniendo que debe ser inscrito) por tanto este se da cuando a=b).

P.D.: Tengo virus y geogebra no me va bien, si lo arreglo lo simulo.

AÑADIDO

Visto desde otra perspectiva, se demuestra porque de las circunferencias con igual centro que el cuadrado que tienen al menos 4 puntos en común con este, la de menor diámetro es la inscrita.


* areamax10.png (10.71 KB - descargado 208 veces.)
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
Michel
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.013


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 10/12/2016, 12:54:53 »

Hola robinlambada.

Te envío lo que he hecho yo para reslver este problema.

Si a y h son la base y la altura del triángulo, ha de verificarse a+h=S.

Por otra parte, el área A=a.h/2 h de ser máxima, y lo será cuando lo sea a.h.

En algún problema anterior se ha demostrado que si la suma de dos segmentos es constante, el producto es máximo cuando los dos segmentos sean iguales.

Entonces el triángulo tendrá área máxima cuando a=h=S/2, y valdrá  [texx]\displaystyle\frac{S^2}{8}[/texx].

Pero con base y altura iguales y con esa área, hay infinitos triángulos (ver figura): los de base BC y altura cualquier punto de la paralela a BC trazada a la distancia h.


Veré con detenimiento tus rspuestas y te contestarñe.

* SUMAN_S.ggb (4.52 KB - descargado 87 veces.)
En línea

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.146


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 11/12/2016, 08:55:44 »

Hola robinlambada.

Te envío lo que he hecho yo para reslver este problema.

Si a y h son la base y la altura del triángulo, ha de verificarse a+h=S.

Por otra parte, el área A=a.h/2 h de ser máxima, y lo será cuando lo sea a.h.

En algún problema anterior se ha demostrado que si la suma de dos segmentos es constante, el producto es máximo cuando los dos segmentos sean iguales.

Entonces el triángulo tendrá área máxima cuando a=h=S/2, y valdrá  [texx]\displaystyle\frac{S^2}{8}[/texx].
Sin necesidad de haber visto la demostración, por tus palabras me estás dando la razón con que la forma de los triángulos de igual base y altura no es relevante, aunque no he visto tal demostración, tu lo habrás demostrado para dos segmentos, es decir, no para triángulos, habrás demostrado que de todos los pares de segmentos que suman S en los que su producto es máximo son cuando coinciden en longitud, sin duda. Pero ¿Cuanto valen los demás lados y los ángulos de dichos triángulos de área máxima? es irrelevante ,pues hay infinitas soluciones. En la demostración que haces basándote en la que hiciste de los segmentos, solo usas (que me parece perfecto) la base , la altura y su suma, no la forma de los triángulos.

En la 2ª demostración que hago,se ve más claro la irrelevancia de la forma de los triángulos, con estas transformaciones que hago ( no tienen por que ser triángulos rectángulos), pero  cualquier triángulo lo puedo transformar sin variar su área para que 2 quepan en un rectángulo como este dibujo.




Es claro que el area del cuadrado interior debe ser mínima, como [texx]A_{int}\geq{0}[/texx], si encontramos un tipo de triángulo que consiga que  [texx]A_{int}=0[/texx], este tendrá área máxima, se da si  [texx] a=h.[/texx]
Saludos.

* triangulos1.png (1.97 KB - descargado 195 veces.)
* maximiza_area.gif (655.18 KB - descargado 1947 veces.)
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
Michel
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.013


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 13/12/2016, 13:39:58 »

Hola robinlambada.

Tus razonamientos me parecen correctos.

Ya conoces el procedimiento (si quieres, rutina) que sigo normalmente para resolver los problemas de construcción (SEPR), por eso me extrañó la forma que elegiste.

Permíteme que insista recomendártelo, así como a todos los foreros interesados por la geometría sintética.

Saludos.

Se me olvidaba: muy buenas las figuras, incluida la animación.

Yo soy de la época del cine en blanco y negro (y mudo).
En línea

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.146


Ver Perfil
« Respuesta #10 : 13/12/2016, 17:14:25 »

Hola.
Hola robinlambada.

Tus razonamientos me parecen correctos.

Ya conoces el procedimiento (si quieres, rutina) que sigo normalmente para resolver los problemas de construcción (SEPR), por eso me extrañó la forma que elegiste.
Realmente a bote pronto no se que significan las siglas SEPR y si hay un procedimiento general para resolver problemas de construcción, realmente lo desconozco.
Cita
Permíteme que insista recomendártelo, así como a todos los foreros interesados por la geometría sintética.
Gracias, me vendría genial, pero no he encontrado nada en internet referente a geometría con las siglas SERP.

¿Podrías indicarme como encontar información sobre este procedimiento para resolver problemas geométricos?
Gracias.
Cita
Se me olvidaba: muy buenas las figuras, incluida la animación.

Yo soy de la época del cine en blanco y negro (y mudo).

Gracias , La animación es muy fácil de conseguir con geogebra (como la he hecho ) sólo tienes que utilizar algún parámetro y pulsando en este con el botón derecho del ratón activar la opción de animación.

Cuando ya lo tienes animado en geogebra, pulsas el icono de la flecha(seleccionar) y  enmarcas con el ratón el ( rectángulo ) área de pantalla a exportar, por último lo exportas como imagen tipo gif (animación).

Saludos.
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
Michel
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.013


Ver Perfil
« Respuesta #11 : 13/12/2016, 18:38:52 »

Hola .

Contesto a vuelta de correo a tu duda:

Las siglas SEPR corresponden a la expresión SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO (JEJEJE) con la que suelo empezar mis soluciones.

Ya es tarde; mañana intentaré contestar a tus preguntas.

Saludos.
En línea

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
Michel
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.013


Ver Perfil
« Respuesta #12 : 14/12/2016, 06:12:48 »

Hola robinlambada.

Yo he utilizado, y sigo utilizando, desde hace muchos años el

CURSO DE GOMETRÍA MÉTRICA, de PEDRO PUIG ADAM

que me parece estupendo, y creo que se entiende muy bien.

Tiene un amplio capítulo dedicado a las construcciones geométricas por distintos métodos.

Puede bajarse el TOMO 1, que es el que nos interesa, simplemente con PUIG ADAM GEOMETRÍA MÉTRICA.

Ya me dirás qué te parece.

Geométricos y constructivos saludos.

Merece la pena estudiar este libro
En línea

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.146


Ver Perfil
« Respuesta #13 : 14/12/2016, 08:43:34 »

Spoiler (click para mostrar u ocultar)
Gracias, lo voy a estudiar y te daré mi opinión.
A mi me ha gustado mucho, por lo intuitivo y original, el método cinemático para resolver problemas, lo dejo por si no lo conoces o pueda interesar a alguien.

Solo poner en google "método cinemático en problemas geométricos mir"

Saludos.
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
Michel
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.013


Ver Perfil
« Respuesta #14 : 16/12/2016, 08:11:25 »

Hola robin.

Ya conocía el libro que citas de MIR, de los que tengo algunos, muy buenos, que he utilizado bastante.

Como yo he estado siempre con la Geometría Euclidea, no he tratabajado la vesctorial, la analítica ..., porque la que verdaderamente me entusiasma es aquella (GS) con la que pienso seguir hasta...

Cinemáticos saludos.


En línea

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!