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Autor Tema: Distancia de un punto a un conjunto  (Leído 1235 veces)
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Carolina Herschel
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« : 06/12/2016, 12:18:00 pm »

Buenas.

Sea [texx](X,d)[/texx] un espacio métrico y [texx]K\subset{X}[/texx] un conjunto compacto no vacío. Para [texx]x\in{X}[/texx] se define [texx]dist(x,K)=\inf \left\{{d(x,y):y\in K}\right\}[/texx]. Demuestre que existe [texx]k_0\in K[/texx] tal que [texx]d(x,k_0)=d(x,K)[/texx].

Creo que tengo que construir una sucesión de puntos en [texx]K[/texx] tal que converjan a [texx]k_0[/texx], y luego usar el hecho de que [texx]K[/texx] es cerrado para concluir que el punto está en [texx]K[/texx]. No se si esa idea esté bien, y en dado caso no sé cómo construir esa sucesión  :¿eh?:

Gracias. Saludos.
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« Respuesta #1 : 06/12/2016, 05:44:20 pm »

Hola Carolina Herschel.

 Podemos terminar la idea que tienes en mente. Por definición de [texx]\text{dist}(x,K)[/texx] existe una sucesión de puntos [texx](y_{n})_{n\in\mathbb{N}}\subset K[/texx] ta que [texx]d(x,y_{n})<\text{dist}(x,K)+\frac{1}{n}.[/texx] Además como [texx]K[/texx] es compacto, existe una subsucesión de [texx](y_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/texx] que es convergente (es decir, a menos de tomar una subsucesión, podemos suponer que [texx]\lim_{n\to\infty}y_{n}=y_{0}[/texx] para cierto [texx]y_{0}\in K[/texx]). A partir de aquí trata de concluir.

 Alternativamente podemos resolver el ejercicio de esta otra forma. Primero intenta mostrar que la función [texx]f:K\to\mathbb{R}^{+}[/texx] definida por [texx]f(y)=d(x,y)[/texx] es continua. Esto implica que el conjunto [texx]f(K)\subset\mathbb{R}^{+}[/texx] es compacto, luego tiene mínimo. Es decir, existe [texx]m\in f(K)[/texx] tal que [texx]m\leq f(y)[/texx] para todo [texx]y\in K.[/texx] Finalmente, basta tomar cualquier [texx]y_{0}\in f^{-1}(\{m\}).[/texx]

 Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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Carolina Herschel
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« Respuesta #2 : 06/12/2016, 09:21:37 pm »

Lo entendí, gracias. Es que por la definición de ínfimo existe una sucesión [texx]\left\{{y_n}\right\}\subset{K}[/texx] tal que [texx] \left\|{x-y_n}\right\|[/texx] converge a [texx]dist(x,K)[/texx]. Como [texx]K[/texx] es cerrado, entonces el límite de [texx]y_n[/texx] pertenece a [texx]K[/texx]. Había olvidado esa definición de ínfimo, es muy importante.

Gracias Enrique, siempre eres de mucha ayuda.

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 07/12/2016, 05:53:49 am »

Hola

Lo entendí, gracias. Es que por la definición de ínfimo existe una sucesión [texx]\left\{{y_n}\right\}\subset{K}[/texx] tal que [texx] \left\|{x-y_n}\right\|[/texx] converge a [texx]dist(x,K)[/texx]. Como [texx]K[/texx] es cerrado, entonces el límite de [texx]y_n[/texx] pertenece a [texx]K[/texx]. Había olvidado esa definición de ínfimo, es muy importante.

Cuidado porque tal como has resumido la cuestión, pareciera que sólo necesitas que [texx]K [/texx]sea cerrado y no dejas claro el uso de la compacidad.

Tu sabes que [texx] \left\|{x-y_n}\right\|[/texx] converge a [texx]dist(x,K)[/texx]. Pero no sabes si [texx]\{y_n\}[/texx] es convergente. Como indicó EnRIquE hay usar la compacidad para justificar que [texx]\{y_n\}[/texx] tiene una subsucesión convergente,

Saludos.
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