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Autor Tema: Espacios Lp  (Leído 1248 veces)
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« : 07/11/2016, 01:38:18 pm »

Hola.

Me pueden ayudar con este planteamiento:


Demuestra que la función [texx] f [/texx]: [texx] \mathbb{R^3} [/texx] [texx] \Rightarrow{\mathbb{R}} [/texx] dada por [texx] f(x)=\displaystyle\frac{1}{ \left\|{x}\right\|} [/texx] pertenece a algunos espacios [texx] L_{loc}^{p}(\mathbb{R^3}) [/texx], aunque no pertenece a ningún [texx] L_{p}(\mathbb{R^3}) [/texx]
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« Respuesta #1 : 07/11/2016, 04:47:18 pm »

Hola pablillo.

 La principal dificultad la hora de probar que [texx]f\in L_{loc}^{\color{red}p}(\mathbb{R}^{3})[/texx] está al probar [texx]\int_{B(0,\delta)}f^{\color{red}p}(x)\,dx<\infty,[/texx] donde [texx]B(0,\delta)=\{x\in\mathbb{R}^{3}:\,\|x\|<\delta\}.[/texx] Trata de hacer un cambio de coordenadas esférico para lograrlo.

 Para ver que [texx]f\not\in L_{p}(\mathbb{R}^{3})[/texx] intenta hacer el mismo cambio de coordenadas para calcular la integral [texx]\int_{\mathbb{R}^{3}\setminus B(0,1)}\frac{1}{\|x\|^{p}}\,dx.[/texx]

 Si tienes alguna dificultad, pregunta.

Saludos,

Enrique.

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« Respuesta #2 : 07/11/2016, 05:02:54 pm »

Hola Enrique.

Gracias por tu ayuda....pero te comento que aunque tenía la idea de que debía hacer tal cambio de coordenadas, no se como realizarlo. Si me puedes ayudar con ello te agradecería infinitamente.

Saludos,  y gracias.
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« Respuesta #3 : 07/11/2016, 05:29:49 pm »

Hola.

[...]
Gracias por tu ayuda....pero te comento que aunque tenía la idea de que debía hacer tal cambio de coordenadas, no se como realizarlo. Si me puedes ayudar con ello te agradecería infinitamente.
[...]

 Pues hubiera sido ideal que comentases eso en tu mensaje original, así nos evitamos mensajes innecesarios y resolvemos la duda de forma más eficiente. Procura siempre acompañar las dudas que publiques con una descripción precisa de lo que has intentado o de la duda concreta que tengas.

 Sobre tu duda, podemos deducir del enlace que cité en mi anterior respuesta que

[texx]\displaystyle\int_{B(0,\delta)}f^{\color{red}p}(x,y,z)\,dxdydz=\int_{0}^{\delta}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}
f^{\color{red}p}(\rho\sen\varphi\cos\theta,\rho\sen\varphi\sen\theta,\rho\cos\varphi)\rho^{2}\sen\varphi\,d\theta d\varphi d\rho.[/texx]

 En nuestro caso particular, verifica que [texx]f^{\color{red}p}(\rho\sen\varphi\cos\theta,\rho\sen\varphi\sen\theta,\rho\cos\varphi)=\frac{1}{\rho^{\color{red}p}},[/texx] de modo que

[texx]\begin{align*}\displaystyle\int_{B(0,\delta)}f^{\color{red}p}(x,y,z)\,dxdydz&=\int_{0}^{\delta}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\rho^{\color{red}p}}\rho^{2}\sen\varphi\,d\theta d\varphi d\rho=\dots\\
\end{align*}
[/texx]

 Termina y si tienes dificultades, trata de concretarlas.

Saludos,

Enrique.

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« Respuesta #4 : 07/11/2016, 06:09:47 pm »

Gracias
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« Respuesta #5 : 07/11/2016, 06:20:32 pm »

Hola pablillo.

 Me percaté de que olvidé algunos exponentes en mis mensajes anteriores, ya están editados. Espero no tener ningún otro fallo. Trata de revisar las cuentas y si ves algo raro o te surge alguna duda, pregunta.

Saludos.
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